Кольцо наборов

В математике существуют два различных понятия кольца множеств , оба относятся к определенным семействам множеств .

В теории порядка непустое семейство множеств ${\mathcal {R}}$ называется кольцом (множеств), если оно замкнуто относительно объединения и пересечения . ^[1] То есть следующие два утверждения верны для всех множеств $A$ и $B$ ,

$A,B\in {\mathcal {R}}$ подразумевает $A\cup B\in {\mathcal {R}}$ и
$A,B\in {\mathcal {R}}$ подразумевает $A\cap B\in {\mathcal {R}}.$

В теории меры непустое семейство множеств ${\mathcal {R}}$ называется кольцом (множеств), если оно замкнуто относительно объединения и относительного дополнения (теоретико-множественной разности). ^[2] То есть следующие два утверждения верны для всех множеств $A$ и $B$ ,

$A,B\in {\mathcal {R}}$ подразумевает $A\cup B\in {\mathcal {R}}$ и
$A,B\in {\mathcal {R}}$ подразумевает $A\setminus B\in {\mathcal {R}}.$

Это означает, что кольцо в теоретико-мерном смысле всегда содержит пустое множество . Кроме того, для всех $A$ и $B$ множеств

A\cap B=A\setminus (A\setminus B),

который показывает, что семейство множеств, замкнутое относительно относительного дополнения, также замкнуто относительно пересечения, так что кольцо в теоретико-мерном смысле также является кольцом в теоретико-порядковом смысле.

Примеры [ править ]

Если $X$ — любое множество, то степенное множество X $($ семейство всех подмножеств $X$ ) образует кольцо множеств в любом смысле.

Если $(X, \leq)$ — частично упорядоченное множество , то его верхние множества (подмножества $X$ с дополнительным свойством, что если $x$ принадлежит верхнему множеству U и $x \leq y$ , то $y$ также должно принадлежать $U$ ) замкнуты относительно как пересечения, так и объединения. Однако в целом он не закроется под различия наборов.

Открытые . и закрытые множества любого топологического пространства замкнуты как относительно объединений, так и относительно пересечений ^[1]

На вещественной прямой $R$ семейство множеств, состоящее из пустого множества и всех конечных объединений полуоткрытых интервалов вида $(a, b]$ с $a, b \in R$ , является кольцом в теоретико-мерном смысле.

Если $T$ — любое преобразование, определенное в пространстве, то множества, отображаемые в себя с помощью $T$ , замкнуты как относительно объединений, так и относительно пересечений. ^[1]

Если два кольца множеств определены на одних и тех же элементах, то множества, принадлежащие обоим кольцам, сами образуют кольцо множеств. ^[1]

Связанные структуры [ править ]

Кольцо множеств в теоретико-порядковом смысле образует дистрибутивную решетку решетки , в которой операции пересечения и объединения соответствуют операциям пересечения и соединения соответственно. И наоборот, каждая дистрибутивная решетка изоморфна кольцу множеств; в случае конечных дистрибутивных решеток это теорема о представлении Биркгофа , и множества можно рассматривать как нижние множества частично упорядоченного множества. ^[1]

Семейство множеств, замкнутое относительно объединения и относительного дополнения, также замкнуто относительно симметричной разности и пересечения. И наоборот, каждое семейство множеств, замкнутое как относительно симметричной разности, так и относительно пересечения, также замкнуто относительно объединения и относительного дополнения. Это связано с тождествами

$A\cup B=(A\,\triangle \,B)\,\triangle \,(A\cap B)$ и
$A\setminus B=A\,\triangle \,(A\cap B).$

Симметричная разность и пересечение вместе придают кольцу в теоретико-мерном смысле структуру булевого кольца .

В теоретико-мерном смысле σ-кольцо — это кольцо, замкнутое относительно счетных объединений, а δ-кольцо — кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений. Явно, σ-кольцо над $X$ это набор ${\mathcal {F}}$ такая, что для любой последовательности $\{A_{k}\}_{k=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}},$ у нас есть ${\textstyle \bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\in {\mathcal {F}}.}$

Учитывая набор $X,$ поле множеств — также называемое алгеброй над $X$ − кольцо, содержащее $X.$ Из этого определения следует, что алгебра замкнута относительно абсолютного дополнения. $A^{c}=X\setminus A.$ — σ-алгебра это алгебра, также замкнутая относительно счетных объединений, или, что то же самое, σ-кольцо, содержащее $X.$ В самом деле, по законам де Моргана δ-кольцо, содержащее $X$ также обязательно является σ-алгеброй. Поля множеств, и особенно σ-алгебры, занимают центральное место в современной теории вероятностей и определении мер .

Полукольцо (множеств) — это семейство множеств. ${\mathcal {S}}$ со свойствами

$\varnothing \in {\mathcal {S}},$ $\varnothing \in {\mathcal {S}},$
- Если (3) выполнено, то $\varnothing \in {\mathcal {S}}$ если и только если ${\mathcal {S}}\neq \varnothing .$
$A,B\in {\mathcal {S}}$ подразумевает $A\cap B\in {\mathcal {S}},$ и
$A,B\in {\mathcal {S}}$ подразумевает $A\setminus B=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}$ для какого-то непересекающегося $C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}.$

Каждое кольцо (в смысле теории меры) является полукольцом. С другой стороны, ${\mathcal {S}}:=\{\emptyset ,\{x\},\{y\}\}$ на $X=\{x,y\}$ является полукольцом, но не кольцом, так как не замкнуто относительно объединений.

А полуалгебра ^[3] или элементарная семья ^[4] это коллекция ${\mathcal {S}}$ подмножеств $X$ удовлетворяющий свойствам полукольца, за исключением (3), замененного на:

Если $E\in {\mathcal {S}}$ то существует конечное число взаимно непересекающихся множеств $C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}$ такой, что $X\setminus E=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}.$

Это условие сильнее, чем (3), что можно увидеть следующим образом. Если ${\mathcal {S}}$ является полуалгеброй и $E,F\in {\mathcal {S}}$ , то мы можем написать $F^{c}=F_{1}\cup \ldots \cup F_{n}$ для непересекающихся $F_{i}\in S$ . Затем:

E\setminus F=E\cap F^{c}=E\cap (F_{1}\cup \ldots \cup F_{n})=(E\cap F_{1})\cup \ldots \cup (E\cap F_{n})

и каждый $E\cap F_{i}\in S$ поскольку он замкнут относительно пересечения, и непересекающийся, поскольку они содержатся в непересекающемся $F_{i}$ х. При этом условие строго сильнее: любой $S$ которое является одновременно кольцом и полуалгеброй, является алгеброй, следовательно, любое кольцо, которое не является алгеброй, также не является полуалгеброй (например, совокупность конечных множеств на бесконечном множестве $X$ ).

См. также [ править ]

Алгебра множеств - Тождества и отношения с участием множеств.
$δ$ -кольцо - Кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений.
Поле множеств - алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
𝜆-система (система Дынкина) - семейство, замкнутое относительно дополнений и счетных непересекающихся объединений.
Класс Monotone — теорема.
$π$ -система - семейство множеств, замкнутых при пересечении.
σ-алгебра - алгебраическая структура алгебры множеств.
𝜎-идеал - семейство, замкнутое относительно подмножеств и счетных объединений.
𝜎-кольцо – кольцо, замкнутое счетными объединениями.

Семьи ${\mathcal {F}}$ сетов закончилось $\Omega$ v т Это
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
$π$ -system
Semiring										Never
Semialgebra (Semifield)										Never
Monotone class						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
𝜆-system (Dynkin System)				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
Ring (Order theory)
Ring (Measure theory)										Never
δ-Ring										Never
𝜎-Ring										Never
Algebra (Field)										Never
𝜎-Algebra (𝜎-Field)										Never
Dual ideal
Filter				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Prefilter (Filter base)				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Filter subbase				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Open Topology							(even arbitrary $\cup$ )			Never
Closed Topology						(even arbitrary $\cap$ )				Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a *semiring* is a $π$ -system where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A *semialgebra* is a semiring where every complement $\Omega \setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Биркгоф, Гаррет (1937), «Кольца множеств», Duke Mathematical Journal , 3 (3): 443–454, doi : 10.1215/S0012-7094-37-00334-X , MR 1546000 .
^ Де Барра, Гар (2003), Теория меры и интеграция , Horwood Publishing, стр. 13, ISBN 9781904275046 .
^ Дарретт 2019 , стр. 3–4.
^ Фолланд 1999 , стр. 23.

Источники [ править ]

Дарретт, Ричард (2019). Вероятность: теория и примеры (PDF) . Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике. Том. 49 (5-е изд.). Кембридж, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-108-47368-2 . OCLC 1100115281 . Проверено 5 ноября 2020 г.
Фолланд, Джеральд Б. (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-31716-0 .

Внешние ссылки [ править ]

Кольцо множеств в математической энциклопедии

[b37-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Биркгоф, Гаррет (1937), «Кольца множеств», Duke Mathematical Journal , 3 (3): 443–454, doi : 10.1215/S0012-7094-37-00334-X , MR 1546000 .

[2] Де Барра, Гар (2003), Теория меры и интеграция , Horwood Publishing, стр. 13, ISBN 9781904275046 .

[FOOTNOTEDurrett20193–4-3] Дарретт 2019 , стр. 3–4.

[FOOTNOTEFolland199923-4] Фолланд 1999 , стр. 23.

[1]

[2]

[3]

[4]