Свойство конечного пересечения

В общей топологии — раздел математики непустое семейство A подмножеств . множества , $X$ Говорят, что оно обладает свойством конечного пересечения (FIP), если пересечение над любым конечным поднабором $A$ не пуст . Он обладает свойством сильного конечного пересечения (SFIP), если пересечение по любому конечному подмножеству $A$ бесконечен. Множества со свойством конечного пересечения называются также центрированными системами и подбазисами фильтров .

Свойство конечного пересечения можно использовать для переформулировки топологической компактности в терминах замкнутых множеств ; это его самое известное применение. Другие приложения включают доказательство несчетности некоторых совершенных множеств и построение ультрафильтров .

Определение

Позволять ${\textstyle X}$ быть набором и ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ непустое ​ подмножеств семейство ${\textstyle X}$; то есть, ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ является подмножеством набора мощности ​ ${\textstyle X}$. Затем ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ Говорят, что оно обладает свойством конечного пересечения, если каждое непустое конечное подсемейство имеет непустое пересечение; Говорят, что оно обладает свойством сильного конечного пересечения, если это пересечение всегда бесконечно.

В символах, ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ имеет FIP, если для любого выбора конечного непустого подмножества ${\textstyle {\mathcal {B}}}$ из ${\textstyle {\mathcal {A}}}$, должна существовать точка

$$x\in \bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}{B}{\text{.}}$$

Так же, ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ имеет SFIP, если для каждого выбора такого ${\textstyle {\mathcal {B}}}$, таких бесконечно много ${\textstyle x}$.

При изучении фильтров общее пересечение семейства множеств называется ядром , от почти той же этимологии, что и подсолнух . Семьи с пустым ядром называются свободными ; для тех, у кого непустое ядро исправлено .

Семейства примеров и непримеров

Пустое множество не может принадлежать какой-либо коллекции со свойством конечного пересечения.

Достаточным условием свойства пересечения FIP является непустое ядро. Обратное утверждение обычно неверно, но справедливо для конечных семейств; то есть, если ${\mathcal {A}}$ конечно, то ${\mathcal {A}}$ обладает свойством конечного пересечения тогда и только тогда, когда оно фиксировано.

Попарное пересечение

Свойство конечного пересечения строго сильнее , чем попарное пересечение; семья $\{\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\}\}$ имеет попарные пересечения, но не FIP.

В более общем смысле, пусть ${\textstyle n\in \mathbb {N} \setminus \{1\}}$ быть целым положительным числом, большим единицы, ${\textstyle [n]=\{1,\dots ,n\}}$, и ${\textstyle {\mathcal {A}}=\{[n]\setminus \{j\}:j\in [n]\}}$. Тогда любое подмножество ${\mathcal {A}}$ с менее чем ${\textstyle n}$ элементы имеют непустое пересечение, но ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ отсутствует ФИП.

Конструкции концевого типа

Если $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\cdots$ — убывающая последовательность непустых множеств, то семейство ${\textstyle {\mathcal {A}}=\left\{A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \right\}}$ обладает свойством конечного пересечения (и даже является π –системой ). Если включения $A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\cdots$ строгие то , ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ допускает также свойство сильного конечного пересечения.

В более общем смысле любой ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ который полностью упорядочен по включению, имеет FIP.

В то же время ядро ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ может быть пустым: если ${\textstyle A_{j}=\{j,j+1,j+2,\dots \}}$, то ядро ​ ${\mathcal {A}}$ это пустое множество . Аналогично семейство интервалов $\left\{[r,\infty ):r\in \mathbb {R} \right\}$ также имеет (S)FIP, но пустое ядро.

«Общие» наборы и свойства

Семейство всех борелевских подмножеств $[0,1]$ с мерой Лебега ${\textstyle 1}$ имеет FIP, как и семейство наборов Comeagre . Если ${\textstyle X}$ — бесконечное множество, то фильтр Фреше (семейство ${\textstyle \{X\setminus C:C{\text{ finite}}\}}$) имеет ФИП. Все это бесплатные фильтры ; они замкнуты вверх и имеют пустое бесконечное пересечение.

Если $X=(0,1)$ и для каждого положительного целого числа $i,$ подмножество $X_{i}$ именно все элементы $X$ имея цифру $0$ в $i$^й десятичный знак , то любое конечное пересечение $X_{i}$ не пусто — просто возьмите $0$ в этом конечном множестве мест и $1$ в остальном. Но пересечение ул. $X_{i}$ для всех $i\geq 1$ пусто, так как ни один элемент $(0,1)$ имеет все нулевые цифры.

Расширение наземного набора

Свойство (сильного) конечного пересечения является характеристикой семейства ${\textstyle {\mathcal {A}}}$, а не наземный набор ${\textstyle X}$. Если семья ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ на съемочной площадке ${\textstyle X}$ признает (S)FIP и ${\textstyle X\subseteq Y}$, затем ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ на съемочной площадке тоже семья ${\textstyle Y}$ с ФИП (соответственно СФИП).

Сгенерированные фильтры и топологии

См. Также: § Связь с π-системами и фильтрами.

Если $K\subseteq X$ есть наборы с $K\neq \varnothing$ тогда семья ${\mathcal {A}}=\{S\subseteq X:K\subseteq S\}$ имеет ФИП; это семейство называется главным фильтром на ${\textstyle X}$ созданный ${\textstyle K}$. Подмножество ${\mathcal {B}}=\{I\subseteq \mathbb {R} :K\subseteq I{\text{ and }}I{\text{ an open interval}}\}$ имеет FIP по той же причине: ядра содержат непустой набор ${\textstyle K}$. Если ${\textstyle K}$ — открытый интервал, то множество ${\textstyle K}$ фактически равна ядрам ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ или ${\textstyle {\mathcal {B}}}$, а также элемент каждого фильтра. Но в целом ядро ​​фильтра не обязательно должно быть его элементом.

Правильный фильтр на множестве обладает свойством конечного пересечения. Каждая подбаза окрестности в точке топологического пространства имеет FIP, и то же самое верно для каждого базиса окрестности и каждого фильтра окрестности в точке (поскольку каждый из них, в частности, также является подбазисом окрестности).

с π и

Основные статьи: Пи-система и закрытие вверх

π . –система – это непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных пересечений Набор

$$\pi ({\mathcal {A}})=\left\{A_{1}\cap \cdots \cap A_{n}:1\leq n<\infty {\text{ and }}A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}\right\}$$

всех конечных пересечений одного или нескольких множеств из ${\mathcal {A}}$ называется π –системой, порожденной ${\textstyle {\mathcal {A}}}$, поскольку это наименьшая π –система, имеющая ${\textstyle {\mathcal {A}}}$ как подмножество.

Закрытие вверх $\pi ({\mathcal {A}})$ в ${\textstyle X}$ это набор

$$\pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}=\left\{S\subseteq X:P\subseteq S{\text{ for some }}P\in \pi ({\mathcal {A}})\right\}{\text{.}}$$

Для любой семьи ${\textstyle {\mathcal {A}}}$, свойство конечного пересечения эквивалентно любому из следующих:

• π , –система порожденная ${\mathcal {A}}$ не имеет пустого набора в качестве элемента; то есть, $\varnothing \notin \pi ({\mathcal {A}}).$
• Набор $\pi ({\mathcal {A}})$ обладает свойством конечного пересечения.
• Набор $\pi ({\mathcal {A}})$ является (собственным) предварительный фильтр .
• Семья ${\mathcal {A}}$ является подмножеством некоторого (правильного) префильтра .
• Закрытие вверх ${\textstyle \pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}}$ это (правильный) фильтр на ${\textstyle X}$. В этом случае, $\pi ({\mathcal {A}})^{\uparrow X}$ называется фильтром на ${\textstyle X}$ созданный ${\textstyle {\mathcal {A}}}$, поскольку оно минимально (по отношению к $\,\subseteq \,$) фильтровать $X$ который содержит ${\mathcal {A}}$ как подмножество.
• ${\mathcal {A}}$ является подмножеством некоторого (собственного) фильтр.

Приложения

Компактность

Свойство конечного пересечения полезно при формулировке альтернативного определения компактности :

Теорема . Пространство замкнутых компактно тогда и только тогда, когда каждое семейство подмножеств, обладающее свойством конечного пересечения, имеет непустое пересечение .

Эта формулировка компактности используется в некоторых доказательствах теоремы Тихонова .

Несчетность совершенных пространств

Другое распространенное применение — доказать, что числа неисчислимы действительные .

Теорема — Пусть $X$ — непустой компакт Хаусдорфа , который удовлетворяет тому свойству, что ни одно одноточечное множество не является открытым . Затем $X$ является неисчислимым .

Все условия в формулировке теоремы являются необходимыми:

1. Мы не можем устранить условие Хаусдорфа; счетное множество (по крайней мере с двумя точками) с недискретной топологией компактно, имеет более одной точки и удовлетворяет тому свойству, что ни одно точечное множество не является открытым, но не является несчетным.
2. Мы не можем устранить условие компактности, как показывает множество рациональных чисел .
3. Мы не можем устранить условие, согласно которому одноточечные множества не могут быть открытыми, как любое конечное пространство с дискретной топологией . показывает

Доказательство

Мы покажем, что если $U\subseteq X$ непусто и открыто, и если $x$ является точкой $X,$ тогда есть район $V\subset U$ которого замыкание не содержит $x$ ( $x$' может быть или не быть в $U$). Выбирать $y\in U$ отличается от $x$ (если $x\in U$ тогда должен существовать такой $y$ иначе $U$ будет открытым одноточечным множеством; если $x\notin U,$ это возможно, поскольку $U$непусто). Тогда по условию Хаусдорфа выберем непересекающиеся окрестности $W$ и $K$ из $x$ и $y$ соответственно. Затем $K\cap U$ будет район $y$ содержится в $U$ чье закрытие не содержит $x$ по желанию.

Теперь предположим $f:\mathbb {N} \to X$ является биекцией , и пусть $\left\{x_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}$ обозначаем образ ​ $f.$ Позволять $X$ быть первым открытым набором и выбрать окрестности $U_{1}\subset X$ замыкание которого не содержит $x_{1}.$ Во-вторых, выберите район $U_{2}\subset U_{1}$ замыкание которого не содержит $x_{2}.$ Продолжайте этот процесс, выбирая район $U_{n+1}\subset U_{n}$ замыкание которого не содержит $x_{n+1}.$ Тогда коллекция $\left\{U_{i}:i\in \mathbb {N} \right\}$ удовлетворяет свойству конечного пересечения и, следовательно, пересечение их замыканий непусто в силу компактности $X.$ Поэтому есть момент $x$ на этом перекрестке. Нет $x_{i}$ может принадлежать этому пересечению, потому что $x_{i}$ не относится к замыканию $U_{i}.$ Это означает, что $x$ не равен $x_{i}$ для всех $i$ и $f$ не является сюръективным ; противоречие. Поэтому, $X$ является неисчислимым.

Следствие . Каждый закрытый интервал $[a,b]$ с $a<b$ является неисчислимым. Поэтому, $\mathbb {R}$ является неисчислимым.

Следствие . Каждое совершенное локально компактное хаусдорфово пространство несчетно.

Доказательство

Позволять $X$ — совершенное компактное хаусдорфово пространство, то из теоремы немедленно следует, что $X$ является неисчислимым. Если $X$ — совершенное локально компактное хаусдорфово пространство, которое не является компактным, то одноточечная компактификация $X$ — идеальное компактное хаусдорфово пространство. Следовательно, одноточечная компактификация $X$ является неисчислимым. Поскольку удаление точки из несчетного множества все равно оставляет несчетное множество, $X$ также несчетно.

Ультрафильтры

Позволять $X$ быть непустым, $F\subseteq 2^{X}.$ $F$ обладающий свойством конечного пересечения. Тогда существует $U$ ультрафильтр (в $2^{X}$) такой, что $F\subseteq U.$ Этот результат известен как лемма об ультрафильтре .

См. также

• Фильтр (теория множеств) - семейство множеств, представляющих «большие» множества.
• Фильтры в топологии . Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Система окрестностей — (для точки x) совокупность всех окрестностей для точки x. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Ультрафильтр (теория множеств) – страницы максимально правильного фильтра, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Ссылки

Общие источники

• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64241-1 . OCLC   18588129 .
• Бурбаки, Николя (1989) [1967]. Общая топология 2: Главы 5–10 [ Общая топология ]. Элементы математики . Полет. 4. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64563-4 . ОСЛК   246032063 .
• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Комфорт, Уильям Вистар; Негрепонтис, Стилианос (1974). Теория ультрафильтров . Том. 211. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-06604-2 . ОСЛК   1205452 .
• Часар, Акош (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клары. Adam Hilger Ltd. Бристоль, Англия: ISBN  0-85274-275-4 . ОСЛК   4146011 .
• Долецкий, Шимон ; Минард, Фредерик (2016). Основы конвергенции топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN  978-981-4571-52-4 . OCLC   945169917 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN  978-0-697-06889-7 . OCLC   395340485 .
• Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd.  978-0-85226-444-7 . OCLC   9218750 .
• Кутрас, Костас Д.; Мойзес, Христос; Номикос, Христос; Цапроунис, Константинос; Зикос, Йоргос (20 октября 2021 г.). «О слабых фильтрах и ультрафильтрах: теория множеств из (и для) представления знаний». Логический журнал IGPL . дои : 10.1093/jigpal/jzab030 .
• Макивер Р., Дэвид (1 июля 2004 г.). «Фильтры в анализе и топологии» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 9 октября 2007 г. (Содержит вводный обзор фильтров в топологии и метрических пространствах.)
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .
• Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-46903-4 . OCLC   227923899 .

Внешние ссылки

• «Свойство конечного пересечения» . ПланетаМатематика .

showСемьи ${\mathcal {F}}$ сетов закончилось $\Omega$
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
π-system
Semiring										Never
Semialgebra (Semifield)										Never
Monotone class						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
𝜆-system (Dynkin System)				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
Ring (Order theory)
Ring (Measure theory)										Never
δ-Ring										Never
𝜎-Ring										Never
Algebra (Field)										Never
𝜎-Algebra (𝜎-Field)										Never
Dual ideal
Filter				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Prefilter (Filter base)				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Filter subbase				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Open Topology							(even arbitrary $\cup$)			Never
Closed Topology						(even arbitrary $\cap$)				Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a semiring is a π-system where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A semialgebra is a semiring where every complement $\Omega \setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$