Теория множеств Морса – Келли

В основе математики теория теория множеств Морса-Келли ( МК ), теория множеств Келли-Морса ( КМ ), множеств Морса-Тарского ( МТ ), теория множеств Куайна-Морса ( КМ ) или система Куайна и Морса лежит первого порядка . аксиоматическая теория множеств , тесно связанная с теорией множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя (НБГ). В то время как теория множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя ограничивает связанные переменные в схематической формуле, появляющейся в схеме аксиом , понимания классов диапазоном только множеств, теория множеств Морса-Келли позволяет этим связанным переменным распространяться как на соответствующие классы, так и на множества. как впервые предложил Куайн в 1940 году для своей системы ML .

Теория множеств Морса-Келли названа в честь математиков Джона Л. Келли и Энтони Морса и была впервые изложена Вангом (1949) , а затем в приложении к учебнику Келли «Общая топология» (1955), введению в топологию для выпускников . Келли сказал, что система в его книге представляет собой вариант систем Торальфа Скулема и Морса. Собственная версия Морса появилась позже в его книге «Теория множеств» (1965).

В то время как теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя является консервативным расширением теории множеств Цермело–Френкеля (ZFC, каноническая теория множеств) в том смысле, что утверждение на языке ZFC доказуемо в NBG тогда и только тогда, когда оно доказуемо в ZFC, теория множеств Морса – Келли, является собственным расширением ZFC. В отличие от теории множеств фон Неймана-Бернейса-Гёделя, где схема аксиом понимания классов может быть заменена конечным числом ее экземпляров, теория множеств Морса-Келли не может быть конечно аксиоматизирована.

Аксиомы и онтология МК

НБГ и МК имеют общую онтологию . Вселенная дискурса состоит из классов . Классы, являющиеся членами других классов, называются множествами . Класс, который не является множеством, является собственным классом . Примитивные атомарные предложения подразумевают членство или равенство.

За исключением понимания классов, следующие аксиомы такие же, как и для NBG , за исключением несущественных деталей. Символические версии аксиом используют следующие обозначения:

• Прописные буквы, отличные от M , встречающиеся в Extensionality, Class Comprehension и Foundation, обозначают переменные, охватывающие классы. Строчная буква обозначает переменную, которая не может быть собственным классом , поскольку она находится слева от е. Поскольку МК — односортная теория, это соглашение об обозначениях является лишь мнемоническим .
• Монадический ​ предикат $\ Mx,$ предполагаемое чтение которого - «класс x - это набор», сокращает $\exists W(x\in W).$
• набор Пустой $\varnothing$ определяется $\forall x(x\not \in \varnothing ).$
• Класс V , универсальный класс, имеющий все возможные множества в качестве членов, определяется формулой $\forall x(Mx\to x\in V).$ V также является вселенной фон Неймана .

Расширение : классы, имеющие одни и те же члены, являются одним и тем же классом.

$\forall X\,\forall Y\,(\forall z\,(z\in X\leftrightarrow z\in Y)\rightarrow X=Y).$

Набор и класс, имеющие одно и то же расширение, идентичны. Следовательно, МК не является двоякой теорией, несмотря на видимость обратного.

Основание : каждый непустой класс A хотя не пересекается бы с одним из своих членов.

$\forall A[A\not =\varnothing \rightarrow \exists b(b\in A\land \forall c(c\in b\rightarrow c\not \in A))].$

Понимание классов. Пусть φ( x ) — любая формула языка MK, в которой x — свободная переменная , а Y — несвободная. φ( x ) может содержать параметры, которые являются либо множествами, либо собственными классами. Более того, количественные переменные в φ( x ) могут варьироваться по всем классам, а не только по всем наборам; только этим МК отличается от НБГ . Тогда существует класс $Y=\{x\mid \phi (x)\}$ членами которого являются именно те множества x такие, что $\phi (x)$ выходит правда. Формально, если Y не свободен в φ:

$\forall W_{1}...W_{n}\exists Y\forall x[x\in Y\leftrightarrow (\phi (x,W_{1},...W_{n})\land Mx)].$

Спаривание : для любых наборов x и y существует набор $z=\{x,y\}$ членами которого являются в точности x и y .

$\forall x\,\forall y\,[(Mx\land My)\rightarrow \exists z\,(Mz\land \forall s\,[s\in z\leftrightarrow (s=x\,\lor \,s=y)])].$

Спаривание лицензирует неупорядоченную пару, с точки зрения которой упорядоченная пара , $\langle x,y\rangle$, можно определить обычным образом, как $\ \{\{x\},\{x,y\}\}$. Имея в наличии упорядоченные пары, Class Comprehension позволяет определять отношения и функции на множествах как наборы упорядоченных пар, что делает возможной следующую аксиому:

Ограничение размера : C является правильным классом тогда и только тогда, когда можно взаимно однозначно отобразить в C. V

${\begin{array}{l}\forall C[\lnot MC\leftrightarrow \exists F(\forall x[Mx\rightarrow \exists s(s\in C\land \langle x,s\rangle \in F)]\land \\\qquad \forall x\forall y\forall s[(\langle x,s\rangle \in F\land \langle y,s\rangle \in F)\rightarrow x=y])].\end{array}}$

Формальная версия этой аксиомы напоминает схему аксиом замены и воплощает функцию F. класса В следующем разделе объясняется, почему ограничение размера сильнее обычных форм аксиомы выбора .

Набор мощности : Пусть p — класс, членами которого являются все возможные подмножества набора a . Тогда p — множество.

$\forall a\,\forall p\,[(Ma\land \forall x\,[x\in p\leftrightarrow \forall y\,(y\in x\rightarrow y\in a)])\rightarrow Mp].$

Союз : Пусть $s=\bigcup a$ быть классом суммы множества a , а именно объединением всех членов a . Тогда s — множество.

$\forall a\,\forall s\,[(Ma\land \forall x\,[x\in s\leftrightarrow \exists y\,(x\in y\land y\in a)])\rightarrow Ms].$

Бесконечность : существует индуктивный набор y , что означает, что (i) пустой набор является членом y ; (ii) если x является членом y , то это тоже $x\cup \{x\}.$.

$\exists y[My\land \varnothing \in y\land \forall z(z\in y\rightarrow \exists x[x\in y\land \forall w(w\in x\leftrightarrow [w=z\lor w\in z])])].$

Обратите внимание, что p и s в Power Set и Union имеют универсальную, а не экзистенциальную количественную оценку, поскольку понимания классов достаточно, чтобы установить существование p и s . Power Set и Union служат лишь для того, чтобы установить, что p и s не могут быть надлежащими классами.

Вышеупомянутые аксиомы характерны для других теорий множеств следующим образом:

• ZFC и NBG : сопряжение, набор мощности, объединение, бесконечность;
• NBG (и ZFC, если количественные переменные были ограничены наборами): экстенсиональность, фундамент;
• NBG : Ограничение размера.

Обсуждение

Монк (1980) и Рубин (1967) представляют собой тексты по теории множеств, построенные на основе МК; Рубина Онтология включает в себя urelements . Эти авторы и Мендельсон (1997: 287) утверждают, что MK делает то, что ожидается от теории множеств, будучи менее громоздким, чем ZFC и NBG .

MK строго сильнее, чем ZFC и его консервативное расширение NBG, другая известная теория множеств с собственными классами . Фактически, NBG – и, следовательно, ZFC – может быть доказана непротиворечивой в MK. Сила МК проистекает из его схемы аксиом, согласно которой понимание классов является непредикативным , что означает, что φ( x ) может содержать количественные переменные, охватывающие классы. Количественные переменные в схеме аксиом NBG Class Comprehension ограничены множествами; следовательно, понимание классов в NBG должно быть предикативным . (Разделение по отношению к наборам все еще нецелесообразно в NBG, поскольку кванторы в φ( x ) могут варьироваться по всем наборам.) Схема аксиом NBG для понимания классов может быть заменена конечным числом ее экземпляров; в МК это невозможно. MK непротиворечив относительно ZFC, дополненного аксиомой, утверждающей существование сильно недоступных кардиналов .

Единственное преимущество аксиомы ограничения размера состоит в том, что она подразумевает аксиому глобального выбора . Ограничение размера не упоминается у Рубина (1967), Монка (1980) или Мендельсона (1997). Вместо этого эти авторы ссылаются на обычную форму локальной аксиомы выбора и «аксиому замены». утверждая, что если областью определения функции класса является множество, то ее диапазон также является множеством. Замена может доказать все, что доказывает ограничение размера, за исключением некоторой формы аксиомы выбора .

Ограничение размера плюс то, что I является множеством (следовательно, вселенная непуста), делает доказуемой множественность пустого множества; следовательно, нет необходимости в аксиоме пустого множества . Такую аксиому, конечно, можно было бы добавить, и незначительные отклонения от приведенных выше аксиом вызвали бы необходимость этого добавления. Множество I не отождествляется с предельным порядковым номером $\omega ,$ как я мог бы быть набором больше, чем $\omega .$ В этом случае существование $\omega$ будет следовать из любой формы ограничения размера.

Класс ординалов фон Неймана может быть вполне упорядочен . Это не может быть множество (под страхом парадокса); следовательно, этот класс является правильным классом, и все правильные классы имеют тот же размер, что и V . Следовательно, V тоже может быть вполне упорядоченным.

MK можно спутать с ZFC второго порядка, ZFC с логикой второго порядка (представляющей объекты второго порядка в языке множеств, а не в языке предикатов) в качестве фоновой логики. Язык ZFC второго порядка подобен языку МК (хотя набор и класс, имеющие одно и то же расширение, уже не могут быть идентифицированы), а их синтаксические ресурсы для практического доказательства почти идентичны (и идентичны, если МК включает в себя сильный форма ограничения размера). Но семантика ZFC второго порядка сильно отличается от семантики MK. Например, если MK непротиворечив, то он имеет счетную модель первого порядка, а ZFC второго порядка не имеет счетных моделей.

Теория моделей

ZFC, NBG и MK имеют модели, описываемые в терминах V , вселенной фон Неймана множеств в ZFC . Пусть недоступный кардинал κ является членом V . Также пусть Def( X ) обозначает _{Δ 0} определимые подмножества X ( см. Конструируемая вселенная ). Затем:

• V _κ — модель ZFC ;
• Def( V _κ ) — модель мендельсоновской версии NBG , которая исключает глобальный выбор, заменяя ограничение размера заменой и обычным выбором;
• V _κ+1 , мощности набор V _κ , является моделью МК.

История

МК был впервые изложен Вангом (1949) и популяризирован в приложении к » Дж. Келли (1955) «Общей топологии с использованием аксиом, приведенных в следующем разделе. Энтони Морса (1965) Система «Теории множеств» эквивалентна системе Келли, но сформулирована на своеобразном формальном языке, а не, как это сделано здесь, в стандартной логике первого порядка . Первой теорией множеств, которая включала непредикативное понимание классов, была Куайна ML , построенная на новых основах , а не на ZFC . Импредикативное понимание классов было также предложено Мостовски (1951) и Льюисом (1991).

Аксиомы общей топологии Келли.

Аксиомы и определения в этом разделе, за исключением нескольких несущественных деталей, взяты из Приложения к книге Келли (1955). Пояснительные замечания ниже принадлежат не ему. Приложение содержит 181 теорему и определение и требует внимательного прочтения как сокращенное изложение аксиоматической теории множеств, написанное работающим математиком первого ранга. Келли вводил свои аксиомы постепенно, по мере необходимости для развития тем, перечисленных после каждого экземпляра « Развития» ниже.

Приведенные ниже и теперь общеизвестные обозначения не определены. Особенности обозначений Келли включают:

• Он не отличал переменные, охватывающие классы, от переменных, охватывающих множества;
• область определения f и диапазон f обозначают область определения и диапазон функции f ; эта особенность тщательно учтена ниже;
• Его примитивный логический язык включает в себя конспекты классов в форме $\ \{x:A(x)\},$ «класс всех множеств x, удовлетворяющих A ( x )».

Определение: x является множеством (и, следовательно, не является собственным классом ), если для y некоторого $x\in y$.

I. Степень: для каждого x и каждого x y =y тогда и только тогда, когда для z каждого $z\in x$ когда и только когда $z\in y.$

Идентичен экстенсиональности выше. Я был бы идентичен аксиоме экстенсиональности в ZFC , за исключением того, что область действия I включает в себя как собственные классы, так и множества.

II. Классификация (схема): аксиома получается, если

Для каждого $\beta$, $\beta \in \{\alpha :A\}$ тогда и только тогда, когда $\beta$ представляет собой набор и $B,$

'α' и 'β' заменяются переменными, ' A ' - формулой Æ, а ' B ' - формулой, полученной из Æ путем замены каждого вхождения переменной, заменившей α, на переменную, заменившую β, при условии, что переменная который заменил β, не кажется связанным в A .

Разработать : Булеву алгебру множеств . Существование нулевого класса и универсального V. класса

III. Подмножества: если x — набор, существует набор y такой, что для каждого z , если $z\subseteq x$, затем $z\in y.$

Импорт III аналогичен описанному выше Power Set . Набросок доказательства Power Set из III : для любого класса z , который является подклассом множества x , класс z является членом множества y , существование которого утверждает III . Следовательно, z — множество.

Разработка : V не является множеством. Существование синглтонов . Разделение доказуемо.

IV. Объединение: если x и y оба множества, то $x\cup y$ это набор.

Значение IV такое же, как и в случае спаривания, описанного выше. Эскиз доказательства спаривания из IV : синглтон $\{x\}$ набора x является набором, поскольку он является подклассом степенного множества x (по двум применениям III ). Тогда из IV следует, что $\{x,y\}$ является множеством, если x и y являются множествами.

Развивать : Неупорядоченные и упорядоченные пары , отношения , функции , область определения , диапазон , композиция функций .

V. Замена: если f — функция [класса], а область определения f — набор, то диапазон f — это набор.

Импорт V аналогичен схеме аксиом замены в NBG и ZFC .

VI. Объединение: если x — множество, то $\bigcup x$ это набор.

Импорт VI аналогичен описанному выше Union . IV и VI можно объединить в одну аксиому.

Развивать : декартово произведение , инъекцию , сюръекцию , биекцию , теорию порядка .

VII. Регулярность: Если $x\neq \varnothing$ существует член y из x такой, что $x\cap y=\varnothing .$

Импорт VII аналогичен описанному выше Foundation .

Развивать : Порядковые числа , трансфинитную индукцию .

VIII. Бесконечность: существует набор y такой, что $\varnothing \in y$ и $x\cup \{x\}\in y$ в любое время $x\in y.$

Эта аксиома или ее эквиваленты включены в ZFC и NBG. VIII утверждает безусловное существование двух множеств: бесконечного индуктивного множества y и нулевого множества. $\varnothing .$ $\varnothing$ является набором просто потому, что он является членом y . До этого момента все, существование чего было доказано, является классом, и обсуждение множеств Келли было полностью гипотетическим.

Развивать : Натуральные числа , N – множество, аксиомы Пеано , целые числа , рациональные числа , действительные числа .

Определение: c — функция выбора , если c — функция и $c(x)\in x$ для каждого члена x домена c .

IX. Выбор: существует функция выбора c , область определения которой равна $V-\{\varnothing \}.$.

IX очень похож на аксиому глобального выбора, вытекающую из приведенного выше ограничения размера .

Разработка : эквиваленты выбранной аксиомы. Как и в случае с ZFC , развитие кардинальных чисел требует некоторой формы выбора.

Если область действия всех количественных переменных в приведенных выше аксиомах ограничена множествами, все аксиомы, кроме III и схемы IV, являются аксиомами ZFC. IV доказуемо в ZFC. Следовательно, трактовка MK по Келли очень ясно показывает, что все, что отличает MK от ZFC, — это переменные, охватывающие соответствующие классы , а также множества, а также схему классификации.

Ссылки

• Джон Л. Келли 1975 (1955) Общая топология . Спрингер. Ранее изд., Ван Ностранд. Приложение «Элементарная теория множеств».
• Леммон, Э.Дж. (1986) Введение в аксиоматическую теорию множеств . Рутледж и Кеган Пол.
• Дэвид К. Льюис (1991) Части классов . Оксфорд: Бэзил Блэквелл.
• Мендельсон, Эллиотт (1987). Введение в математическую логику . Чепмен и Холл. ISBN  0-534-06624-0 . Окончательное рассмотрение тесно связанной теории множеств NBG , за которой следует страница на МК. Сложнее, чем Монк или Рубин.
• Монк, Дж. Дональд (1980) Введение в теорию множеств . Кригер. Легче и менее тщательно, чем Рубин.
• Морс, AP, (1965) Теория множеств . Академическая пресса.
• Мостовский, Анджей (1950), «Некоторые непредикативные определения в аксиоматической теории множеств» (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 37 : 111–124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124 .
• Рубин, Жан Э. (1967) Теория множеств для математика . Сан-Франциско: День Холдена. Более тщательный, чем Монк; онтология включает в себя urelements .
• Ван, Хао (1949), «Об аксиомах Цермело и фон Неймана для теории множеств», Proc. Натл. акад. наук. США , 35 (3): 150–155, doi : 10.1073/pnas.35.3.150 , JSTOR   88430 , MR   0029850 , PMC   1062986 , PMID   16588874 .

Внешние ссылки

• Загрузите «Общую топологию» (1955) Джона Л. Келли в различных форматах. В приложении содержится аксиоматическое развитие МК Келли.

Из дискуссионной группы «Основы математики» (FOM):

• Аллен Хейзен о теории множеств с классами.
• Сомнения Джозефа Шенфилда по поводу МК.