Список утверждений, независимых от ZFC

Математические утверждения , обсуждаемые ниже, доказуемо независимы от ZFC (канонической аксиоматической теории множеств современной математики, состоящей из аксиом Цермело-Френкеля плюс аксиома выбора ), при условии, что ZFC непротиворечив . Утверждение является независимым от ZFC (иногда его называют «неразрешимым в ZFC»), если его нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью аксиом ZFC.

Аксиоматическая теория множеств [ править ]

Дополнительная информация: Аксиоматическая теория множеств.

В 1931 году Курт Гёдель доказал свои теоремы о неполноте , установив, что многие математические теории, включая ZFC, не могут доказать собственную непротиворечивость. Предполагая ω-непротиворечивость такой теории, утверждение о непротиворечивости также не может быть опровергнуто, то есть оно независимо. Несколько лет спустя были определены другие арифметические утверждения, независимые от какой-либо такой теории, см., например, трюк Россера .

Следующие теоретико-множественные утверждения, среди прочего, не зависят от ZFC:

Диаграмма, показывающая цепочки последствий

Имеем следующие цепочки следствий:

V = L → ◊ → CH,
V = L → GCH → CH,
Ч → МА,

и (см. раздел о теории порядка):

◊ → ¬ SH ,
МА + ¬Ч → ЕАТ → Ш.

Некоторые утверждения, связанные с существованием больших кардиналов, не могут быть доказаны в ZFC (при условии, что ZFC непротиворечив). Они независимы от ZFC при условии, что они согласуются с ZFC, что, по мнению большинства теоретиков рабочих множеств, так и есть. Эти утверждения достаточно сильны, чтобы подразумевать последовательность ZFC. Следствием этого (через вторую теорему Гёделя о неполноте ) является то, что их согласованность с ZFC не может быть доказана в ZFC (при условии, что ZFC непротиворечив). К этому классу относятся следующие утверждения:

Можно доказать независимость следующих утверждений от ZFC, предполагая непротиворечивость подходящего большого кардинала:

Теория множеств действительной прямой [ править ]

Дополнительная информация: Теория множеств действительной линии.

Существует множество кардинальных инвариантов вещественной прямой, связанных с теорией меры и утверждениями, связанными с теоремой о категории Бэра , точные значения которых не зависят от ZFC. Хотя между ними можно доказать нетривиальные отношения, большинство кардинальных инвариантов могут быть любыми правильными кардиналами между ℵ 1 и 2. ℵ 0 . Это основная область исследования теории множеств действительной прямой (см. диаграмму Сишона ). MA имеет тенденцию устанавливать наиболее интересные кардинальные инварианты равными 2. ℵ 0 .

Подмножество X вещественной прямой является множеством нулевой сильной меры если для каждой последовательности ( εn , последовательность интервалов ( In ) , которая покрывает X и такая, что имеет In длину не более εn ) положительных вещественных чисел существует . Гипотеза Бореля о том, что каждое множество нулей сильной меры счетно, не зависит от ZFC.

Подмножество X реальной линии -плотный, если каждый открытый интервал содержит -многие элементы X . Все ли -плотные множества порядково изоморфны и не зависят от ZFC. [2]

Теория порядка [ править ]

Дополнительная информация: Теория порядка.

Проблема Суслина спрашивает, характеризует ли конкретный короткий список свойств упорядоченный набор действительных чисел R . Это неразрешимо в ZFC. [3] Линия Суслина который удовлетворяет этому конкретному списку свойств, но не изоморфен по порядку R. — это упорядоченный набор , Алмазный принцип ◊ доказывает существование прямой Суслина, а MA + ¬CH подразумевает EATS ( каждое дерево Ароншайна является особенным ), [4] что, в свою очередь, подразумевает (но не эквивалентно) [5] отсутствие линий Суслина. Рональд Дженсен доказал, что CH не предполагает существования линии Суслина. [6]

Существование деревьев Курепа не зависит от ZFC, предполагая непротиворечивость недоступного кардинала . [7]

Существование разбиения порядкового номера на два цвета без монохроматического несчетного последовательно замкнутого подмножества не зависит от ZFC, ZFC + CH и ZFC + ¬CH, предполагая согласованность кардинала Мало . [8] [9] [10] Эта теорема Шела отвечает на вопрос Х. Фридмана .

Абстрактная алгебра [ править ]

Дополнительная информация: Абстрактная алгебра.

В 1973 году Сахарон Шела показал, что проблема Уайтхеда («любая ли абелева группа A с Ext 1 (A, Z ) = 0 свободная абелева группа ?") не зависит от ZFC. [11] Абелева группа с Ext 1 (A, Z ) = 0 называется группой Уайтхеда; MA + ¬CH доказывает существование несвободной группы Уайтхеда, а V = L доказывает, что все группы Уайтхеда свободны.В одном из первых применений правильного форсинга Шелах построил модель ZFC + CH, в которой существует несвободная группа Уайтхеда. [12] [13]

Рассмотрим кольцо A = R [ x , y , z ] многочленов от трех переменных над действительными числами и его поле частных M = R ( x , y , z ). Проективная размерность М А как - модуля равна либо 2, либо 3, но от ZFC не зависит, равна ли она 2; оно равно 2 тогда и только тогда, когда выполняется CH. [14]

Прямое произведение счетного числа полей имеет глобальную размерность 2 тогда и только тогда, когда верна гипотеза континуума. [15]

Теория чисел [ править ]

Дополнительная информация: Теория чисел.

Можно записать конкретный многочлен p ∈ Z [ x 1 , ..., x 9 ] такой, что утверждение «существуют целые числа m 1 , ..., m 9 такие, что p ( m 1 , ..., m 9 ) = 0" нельзя ни доказать, ни опровергнуть в ZFC (при условии, что ZFC непротиворечив). Это следует из Юрием Матиясевичем решения десятой проблемы Гильберта ; полином построен так, что он имеет целочисленный корень тогда и только тогда, когда ZFC несовместим. [16]

Теория меры [ править ]

Дополнительная информация: Теория меры.

Более сильная версия теоремы Фубини для положительных функций, в которой больше не предполагается, что функция измерима , а просто предполагается, что два повторных интеграла четко определены и существуют, не зависит от ZFC. С одной стороны, CH подразумевает, что существует функция на единичном квадрате, повторные интегралы которой не равны — эта функция является просто индикаторной функцией порядка [0, 1], эквивалентного хорошему упорядочению кардинала ω 1 . Аналогичный пример можно построить с помощью MA . С другой стороны, непротиворечивость сильной теоремы Фубини впервые была показана Фридманом . [17] Его также можно вывести из варианта аксиомы симметрии Фрейлинга . [18]

Топология [ править ]

Дополнительная информация: Топология.

Гипотезу о нормальном пространстве Мура, а именно о том, что каждое , можно опровергнуть нормальное пространство Мура метризуемо , предполагая CH или MA + ¬CH, и можно доказать, предполагая определенную аксиому, которая подразумевает существование больших кардиналов. Таким образом, учитывая большие кардиналы, гипотеза о нормальном пространстве Мура не зависит от ZFC. [ нужна ссылка ]

Различные утверждения о конечные, P-точки, Q-точки, ... [ нужны дальнейшие объяснения ]

Существование S-пространства не зависит от ZFC. В частности, на это указывает существование линии Суслина. [19]

Функциональный анализ [ править ]

Дополнительная информация: Функциональный анализ.

Гарт Дейлс и Роберт М. Соловей доказали в 1976 году, что гипотеза Капланского , а именно, что каждый гомоморфизм алгебр из банаховой алгебры C(X) (где X — некоторое компактное хаусдорфово пространство ) в любую другую банахову алгебру должен быть непрерывным, независим от ZFC. Из CH следует, что для любого бесконечного X существует разрывный гомоморфизм в любую банахову алгебру. [20]

Рассмотрим алгебру B ( H ) ограниченных линейных операторов на бесконечномерном сепарабельном гильбертовом H. пространстве Компактные операторы образуют двусторонний идеал в B ( H ). Вопрос о том, является ли этот идеал суммой двух существенно меньших идеалов, не зависит от ZFC, как было доказано Андреасом Блассом и Сахароном Шелахом в 1987 году. [21]

Чарльз Акеманн и Ник Уивер показали в 2003 году, что утверждение «существует контрпример к проблеме Наймарка , который порождается ℵ 1 , elements» не зависит от ZFC.

Мирослав Бачак и Петр Гаек доказали в 2008 году, что утверждение «каждое пространство Асплунда с характером плотности ω 1 имеет перенормировку со свойством пересечения Мазура » не зависит от ZFC. Результат показан с использованием аксиомы максимума Мартина , а Мар Хименес и Хосе Педро Морено (1997) представили контрпример, предполагая CH.

Как показал Илияс Фарах [22] и Н. Кристофер Филлипс и Ник Уивер , [23] существование внешних автоморфизмов алгебры Калкина зависит от теоретико-множественных предположений, выходящих за рамки ZFC.

Проблема Ветцеля , которая спрашивает, обязательно ли счетен каждый набор аналитических функций , принимающих не более счетного числа различных значений в каждой точке, верна тогда и только тогда, когда гипотеза континуума ложна. [24]

Теория моделей [ править ]

Дополнительная информация: Теория моделей.

Гипотеза Чанга не зависит от ZFC, предполагая непротиворечивость кардинала Эрдеша .

Теория вычислимости [ править ]

Дополнительная информация: Теория вычислимости.

Марсия Грошек и Теодор Сламан привели примеры независимых от ZFC утверждений относительно структуры степеней Тьюринга. В частности, существует ли максимально независимое множество степеней размера меньше континуума. [25]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN  0-444-86839-9 .
  2. ^ Баумгартнер, Дж., Все -плотные множества вещественных чисел могут быть изоморфны, Fund. Математика. 79, стр. 101 – 106, 1973 г.
  3. ^ Соловей, Р.М.; Тенненбаум, С. (1971). «Итерированные расширения Коэна и проблема Суслина». Анналы математики . Вторая серия. 94 (2): 201–245. дои : 10.2307/1970860 . JSTOR   1970860 .
  4. ^ Баумгартнер, Дж., Дж. Малиц и В. Райхарт, Вложение деревьев в рациональные числа, Proc. Натл. акад. наук. США, 67, стр. 1746–1753, 1970 г.
  5. ^ Шела, С. (1981). «Свободные пределы выгонки и многое другое о деревьях Ароншайна» . Израильский математический журнал . 38 (4): 315–334. дои : 10.1007/BF02762777 .
  6. ^ Девлин К. и Х. Джонсбратен, Проблема Суслина, Конспект лекций по математике 405, Springer, 1974.
  7. ^ Сильвер, Дж., Независимость гипотезы Курепы и двухкардинальных гипотез в теории моделей, в Axiomatic Set Theory, Proc. Симп, в «Чистая математика» (13), стр. 383–390, 1967 г.
  8. ^ Шела, С., Правильное и неправильное принуждение, Springer, 1992.
  9. ^ Шлиндвейн, Чаз, работа Шела о неполуправильных итерациях I, Архив математической логики (47), 2008, стр. 579–606.
  10. ^ Шлиндвейн, Чаз, работа Шела о неполуправильных итерациях II, Журнал символической логики (66) 2001, стр. 1865–1883
  11. ^ Шела, С. (1974). «Бесконечные абелевы группы, проблема Уайтхеда и некоторые конструкции» . Израильский математический журнал . 18 (3): 243–256. дои : 10.1007/BF02757281 . МР   0357114 .
  12. ^ Шела, С. (1972). «Группы Уайтхеда могут быть несвободными, даже если предположить, что CH, I» . Израильский математический журнал . 28 (3): 193–204. дои : 10.1007/BF02759809 .
  13. ^ Шела, С. (1980). «Группы Уайтхеда не могут быть свободными, даже если предположить, что CH, II» . Израильский математический журнал . 35 (4): 257–285. дои : 10.1007/BF02760652 .
  14. ^ Барбара Л. Ософски (1968). «Гомологическое измерение и гипотеза континуума» (PDF) . Труды Американского математического общества . 132 : 217–230. дои : 10.1090/s0002-9947-1968-0224606-4 .
  15. ^ Барбара Л. Ософски (1973). Гомологические размерности модулей . Американское математическое соц. п. 60. ИСБН  978-0-8218-1662-2 .
  16. ^ См., например: Краткое изложение аргумента см. в десятой проблеме Гильберта § Приложения .
  17. ^ Фридман, Харви (1980). «Последовательная теорема Фубини-Тонелли для неизмеримых функций» . Иллинойс Дж. Математика . 24 (3): 390–395. дои : 10.1215/ijm/1256047607 . МР   0573474 .
  18. ^ Фрейлинг, Крис (1986). «Аксиомы симметрии: метание дротиков по действительной числовой прямой». Журнал символической логики . 51 (1): 190–200. дои : 10.2307/2273955 . JSTOR   2273955 . МР   0830085 . S2CID   38174418 .
  19. ^ Тодорцевич, Стево (1989). Проблемы разделения в топологии . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-5091-6 .
  20. ^ Х. Г. Дейлс; WH Woodin (1987). Введение в независимость для аналитиков .
  21. ^ Джудит Ройтман (1992). «Использование теории множеств». Математический интеллект . 14 (1).
  22. ^ Фара, Илияс (2011). «Все автоморфизмы алгебры Калкина внутренние» . Анналы математики . Вторая серия. 173 (2): 619–661. arXiv : 0705.3085 . дои : 10.4007/анналы.2011.173.2.1 .
  23. ^ Филлипс, Северная Каролина; Уивер, Н. (2007). «Алгебра Калкина имеет внешние автоморфизмы». Математический журнал Дьюка . 139 (1): 185–202. arXiv : math/0606594 . дои : 10.1215/S0012-7094-07-13915-2 . S2CID   13873756 .
  24. ^ Эрдеш, П. (1964), «Проблема интерполяции, связанная с гипотезой континуума» , The Michigan Mathematical Journal , 11 : 9–10, doi : 10.1307/mmj/1028999028 , MR   0168482 .
  25. ^ Грошек, Марсия Дж .; Сламан, Т. (1983). «Независимость приводит к глобальной структуре степеней Тьюринга» . Труды Американского математического общества . 277 (2): 579. дои : 10.2307/1999225 . JSTOR   1999225 .

Внешние ссылки [ править ]

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=List_of_statements_independent_of_ZFC&oldid=1176948074"