Список утверждений, независимых от ZFC

Математические ), при условии , утверждения, обсуждаемые ниже, доказуемо независимы от ZFC (каноническая аксиоматическая теория множеств современной математики, состоящая из аксиом Цермело-Френкеля плюс аксиома выбора что ZFC непротиворечив . Утверждение является независимым от ZFC (иногда его называют «неразрешимым в ZFC»), если его нельзя ни доказать, ни опровергнуть с помощью аксиом ZFC.

Аксиоматическая теория множеств [ править ]

В 1931 году Курт Гёдель доказал свои теоремы о неполноте , установив, что многие математические теории, включая ZFC, не могут доказать собственную непротиворечивость. Предполагая ω-непротиворечивость такой теории, утверждение о непротиворечивости также не может быть опровергнуто, то есть оно независимо. Несколько лет спустя были определены другие арифметические утверждения, независимые от какой-либо такой теории, см., например, трюк Россера .

Следующие теоретико-множественные утверждения, среди прочего, не зависят от ZFC:

гипотеза континуума или CH (Гёдель создал модель ZFC, в которой CH верна, показав, что CH не может быть опровергнута в ZFC; Пол Коэн позже изобрел метод принуждения к демонстрации модели ZFC, в которой CH не работает, показав, что CH не может быть доказаны в ZFC. Следующие четыре результата о независимости также принадлежат Гёделю/Коэну.);
гипотеза обобщенного континуума (GCH);
связанное независимое утверждение состоит в том, что если набор x имеет меньше элементов, чем y , то x также имеет меньше подмножеств , чем y . В частности, это утверждение неверно, когда мощности наборов степеней x и y совпадают;
аксиома конструктивности ( V = L );
( принцип ромба ◊);
аксиома Мартина (МА);
МА + ¬СН (независимость проявили Соловей и Тенненбаум ). ^[1]
Каждое дерево Ароншайна особенное (EATS);

Имеем следующие цепочки следствий:

V = L → ◊ → CH,

V = L → GCH → CH,

Ч → МА,

и (см. раздел о теории порядка):

◊ → ¬ SH ,

МА + ¬Ч → ЕАТ → Ш.

Некоторые утверждения, связанные с существованием больших кардиналов, не могут быть доказаны в ZFC (при условии, что ZFC непротиворечив). Они независимы от ZFC при условии, что они согласуются с ZFC, что, по мнению большинства теоретиков рабочих множеств, так и есть. Эти утверждения достаточно сильны, чтобы подразумевать последовательность ZFC. Следствием этого (через вторую теорему Гёделя о неполноте ) является то, что их согласованность с ZFC не может быть доказана в ZFC (при условии, что ZFC непротиворечив). К этому классу относятся следующие утверждения:

Существование недоступных кардиналов
Существование кардиналов Мало
Существование измеримых кардиналов (впервые предположено Уламом )
Существование сверхкомпактных кардиналов

Можно доказать независимость следующих утверждений от ZFC, предполагая непротиворечивость подходящего большого кардинала:

Правильная аксиома принуждения
Аксиома открытой раскраски
Максимум Мартина
Наличие 0 ^#
Гипотеза сингулярных кардиналов
Проективная детерминированность (и даже полная аксиома детерминированности, если аксиома выбора ) не предполагается

Теория множеств действительной прямой [ править ]

Существует множество кардинальных инвариантов вещественной прямой, связанных с теорией меры и утверждениями, связанными с теоремой о категории Бэра , точные значения которых не зависят от ZFC. Хотя между ними можно доказать нетривиальные отношения, большинство кардинальных инвариантов могут быть любыми правильными кардиналами между ℵ ₁ и 2. ^{ℵ ₀}. Это основная область исследования теории множеств действительной прямой (см. диаграмму Сишона ). MA имеет тенденцию устанавливать наиболее интересные кардинальные инварианты равными 2. ^{ℵ ₀}.

Подмножество X вещественной прямой является множеством нулевой сильной меры если для каждой последовательности ( εn _In ) положительных вещественных чисел существует последовательность интервалов ( In _, которая покрывает X и такая, что имеет _{) ,} длину не εn _более . Гипотеза Бореля о том, что каждое множество нулей сильной меры счетно, не зависит от ZFC.

Подмножество X реальной линии $\aleph _{1}$ -плотный, если каждый открытый интервал содержит $\aleph _{1}$ -многие элементы X . Все ли $\aleph _{1}$ -плотные множества порядково изоморфны и не зависят от ZFC. ^[2]

Теория порядка [ править ]

Проблема Суслина спрашивает, характеризует ли конкретный короткий список свойств упорядоченный набор действительных чисел R . Это неразрешимо в ZFC. ^[3]Линия Суслина но не изоморфен по порядку R. — это упорядоченный набор, который удовлетворяет этому конкретному списку свойств , Алмазный принцип ◊ доказывает существование прямой Суслина, а MA + ¬CH подразумевает EATS ( каждое дерево Ароншайна является особенным ), ^[4] что, в свою очередь, подразумевает (но не эквивалентно) ^[5]отсутствие линий Суслина. Рональд Дженсен доказал, что CH не предполагает существования линии Суслина. ^[6]

Существование деревьев Курепа не зависит от ZFC, предполагая непротиворечивость недоступного кардинала . ^[7]

Существование разбиения порядкового номера $\omega _{2}$ на два цвета без одноцветного несчетного последовательно замкнутого подмножества не зависит от ZFC, ZFC + CH и ZFC + ¬CH, предполагая согласованность кардинала Мало . ^[8]^[9]^[10] Эта теорема Шела отвечает на вопрос Х. Фридмана .

Абстрактная алгебра [ править ]

В 1973 году Сахарон Шела показал, что проблема Уайтхеда («любая ли абелева группа A с Ext ¹(A, Z ) = 0 свободная абелева группа ?") не зависит от ZFC. ^[11] Абелева группа с Ext ¹(A, Z ) = 0 называется группой Уайтхеда; MA + ¬CH доказывает существование несвободной группы Уайтхеда, а V = L доказывает, что все группы Уайтхеда свободны. В одном из первых применений правильного форсинга Шелах построил модель ZFC + CH, в которой существует несвободная группа Уайтхеда. ^[12]^[13]

Рассмотрим кольцо A = R [ x , y , z ] многочленов от трех переменных над действительными числами и его поле частных M = R ( x , y , z ). Проективная размерность М -модуля равна либо 2 , как А либо 3, но от ZFC не зависит, равна ли она 2; оно равно 2 тогда и только тогда, когда выполняется CH. ^[14]

Прямое произведение счетного числа полей имеет глобальную размерность 2 тогда и только тогда, когда верна гипотеза континуума. ^[15]

Теория чисел [ править ]

Можно записать конкретный многочлен p ∈ Z [ x ₁ , ..., x ₉ ] такой, что утверждение «существуют целые числа m ₁ , ..., m ₉ такие, что p ( m ₁ , ..., m ₉ ) = 0" нельзя ни доказать, ни опровергнуть в ZFC (при условии, что ZFC непротиворечив). Это следует из Юрием Матиясевичем решения десятой проблемы Гильберта ; полином построен так, что он имеет целочисленный корень тогда и только тогда, когда ZFC несовместен. ^[16]

Теория меры [ править ]

Более сильная версия теоремы Фубини для положительных функций, в которой больше не предполагается, что функция измерима, а просто предполагается, что два повторных интеграла четко определены и существуют, не зависит от ZFC. С одной стороны, CH подразумевает, что существует функция на единичном квадрате, повторные интегралы которой не равны — эта функция является просто индикаторной функцией порядка [0, 1], эквивалентного хорошему упорядочению кардинала ω ₁ . Аналогичный пример можно построить с помощью MA . С другой стороны, непротиворечивость сильной теоремы Фубини впервые была показана Фридманом . ^[17] Его также можно вывести из варианта аксиомы симметрии Фрейлинга . ^[18]

Топология [ править ]

Гипотезу о нормальном пространстве Мура, а именно о том, что каждое нормальное пространство Мура метризуемо , можно опровергнуть , предполагая CH или MA + ¬CH, и можно доказать, предполагая определенную аксиому, которая подразумевает существование больших кардиналов. Таким образом, учитывая большие кардиналы, гипотеза о нормальном пространстве Мура не зависит от ZFC. ^{[ нужна цитата ]}

Различные утверждения о $P(\omega )/$ конечные, P-точки, Q-точки, ... ^{[ нужны дальнейшие объяснения ]}

Существование S-пространства не зависит от ZFC. В частности, на это указывает существование линии Суслина. ^[19]

Функциональный анализ [ править ]

Гарт Дейлс и Роберт М. Соловей доказали в 1976 году, что гипотеза Капланского , а именно, что каждый гомоморфизм алгебр из банаховой алгебры C(X) (где X — некоторое компактное хаусдорфово пространство ) в любую другую банахову алгебру должен быть непрерывным, независим от ZFC. Из CH следует, что для любого бесконечного X существует разрывный гомоморфизм в любую банахову алгебру. ^[20]

Рассмотрим алгебру B ( H ) ограниченных линейных операторов на бесконечномерном сепарабельном гильбертовом H. пространстве Компактные операторы образуют двусторонний идеал в B ( H ). Вопрос о том, является ли этот идеал суммой двух существенно меньших идеалов, не зависит от ZFC, как было доказано Андреасом Блассом и Сахароном Шелахом в 1987 году. ^[21]

Чарльз Акеманн и Ник Уивер показали в 2003 году, что утверждение «существует контрпример к проблеме Наймарка , который порождается ℵ ₁ , elements» не зависит от ZFC.

Мирослав Бачак и Петр Гаек доказали в 2008 году, что утверждение «каждое пространство Асплунда с характером плотности ω ₁ имеет перенормировку со свойством пересечения Мазура » не зависит от ZFC. Результат показан с использованием аксиомы максимума Мартина , а Мар Хименес и Хосе Педро Морено (1997) представили контрпример, предполагая CH.

Как показал Илияс Фарах ^[22] и Н. Кристофер Филлипс и Ник Уивер , ^[23] существование внешних автоморфизмов алгебры Калкина зависит от теоретико-множественных предположений, выходящих за рамки ZFC.

Проблема Ветцеля , которая спрашивает, обязательно ли счетен каждый набор аналитических функций , принимающих не более счетного числа различных значений в каждой точке, верна тогда и только тогда, когда гипотеза континуума ложна. ^[24]

Теория моделей [ править ]

Гипотеза Чанга не зависит от ZFC, предполагая непротиворечивость кардинала Эрдеша .

Теория вычислимости [ править ]

Марсия Грошек и Теодор Сламан привели примеры независимых от ZFC утверждений относительно структуры степеней Тьюринга. В частности, существует ли максимально независимое множество степеней размера меньше континуума. ^[25]

Ссылки [ править ]

^ Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 .
^ Баумгартнер, Дж., Все $\aleph _{1}$ -плотные множества вещественных чисел могут быть изоморфны, Fund. Математика. 79, стр. 101 – 106, 1973 г.
^ Соловей, Р.М.; Тенненбаум, С. (1971). «Итерированные расширения Коэна и проблема Суслина». Анналы математики . Вторая серия. 94 (2): 201–245. дои : 10.2307/1970860 . JSTOR 1970860 .
^ Баумгартнер, Дж., Дж. Малиц и В. Райхарт, Вложение деревьев в рациональные числа, Proc. Натл. акад. наук. США, 67, стр. 1746–1753, 1970 г.
^ Шела, С. (1981). «Свободные пределы выгонки и многое другое о деревьях Ароншайна» . Израильский математический журнал . 38 (4): 315–334. дои : 10.1007/BF02762777 .
^ Девлин К. и Х. Джонсбратен, Проблема Суслина, Конспект лекций по математике 405, Springer, 1974.
^ Сильвер, Дж., Независимость гипотезы Курепы и двухкардинальных гипотез в теории моделей, в Axiomatic Set Theory, Proc. Симп, в «Чистая математика» (13), стр. 383–390, 1967.
^ Шела, С., Правильное и неправильное принуждение, Springer, 1992.
^ Шлиндвейн, Чаз, работа Шела о неполуправильных итерациях I, Архив математической логики (47), 2008, стр. 579–606.
^ Шлиндвейн, Чаз, работа Шела о неполуправильных итерациях II, Журнал символической логики (66) 2001, стр. 1865–1883
^ Шела, С. (1974). «Бесконечные абелевы группы, проблема Уайтхеда и некоторые конструкции» . Израильский математический журнал . 18 (3): 243–256. дои : 10.1007/BF02757281 . МР 0357114 .
^ Шела, С. (1972). «Группы Уайтхеда могут быть несвободными, даже если предположить, что CH, I» . Израильский математический журнал . 28 (3): 193–204. дои : 10.1007/BF02759809 .
^ Шела, С. (1980). «Группы Уайтхеда не могут быть свободными, даже если предположить, что CH, II» . Израильский математический журнал . 35 (4): 257–285. дои : 10.1007/BF02760652 .
^ Барбара Л. Ософски (1968). «Гомологическое измерение и гипотеза континуума» (PDF) . Труды Американского математического общества . 132 : 217–230. дои : 10.1090/s0002-9947-1968-0224606-4 .
^ Барбара Л. Ософски (1973). Гомологические размерности модулей . Американское математическое соц. п. 60. ИСБН 978-0-8218-1662-2 .
^
См., например:
- Джеймс П. Джонс (1980). «Неразрешимые диофантовые уравнения» . Бык. амер. Математика. Соц . 3 (2): 859–862. дои : 10.1090/s0273-0979-1980-14832-6 .
- Карл, М.; Мороз, Б. (2014). «О диофантовом представлении предиката доказуемости». Журнал математических наук . 199 (199): 36–52. дои : 10.1007/s10958-014-1830-2 . hdl : 21.11116/0000-0004-1E89-1 . S2CID 34618563 .
Краткое изложение аргумента см. в десятой проблеме Гильберта § Приложения .
^ Фридман, Харви (1980). «Последовательная теорема Фубини-Тонелли для неизмеримых функций» . Иллинойс Дж. Математика . 24 (3): 390–395. дои : 10.1215/ijm/1256047607 . МР 0573474 .
^ Фрейлинг, Крис (1986). «Аксиомы симметрии: метание дротиков по действительной числовой прямой». Журнал символической логики . 51 (1): 190–200. дои : 10.2307/2273955 . JSTOR 2273955 . МР 0830085 . S2CID 38174418 .
^ Тодорцевич, Стево (1989). Проблемы разделения в топологии . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-5091-6 .
^ Х. Г. Дейлс; WH Woodin (1987). Введение в независимость для аналитиков .
^ Джудит Ройтман (1992). «Использование теории множеств». Математический интеллект . 14 (1).
^ Фара, Илияс (2011). «Все автоморфизмы алгебры Калкина внутренние» . Анналы математики . Вторая серия. 173 (2): 619–661. arXiv : 0705.3085 . дои : 10.4007/анналы.2011.173.2.1 .
^ Филлипс, Северная Каролина; Уивер, Н. (2007). «Алгебра Калкина имеет внешние автоморфизмы». Математический журнал Дьюка . 139 (1): 185–202. arXiv : math/0606594 . дои : 10.1215/S0012-7094-07-13915-2 . S2CID 13873756 .
^ Эрдеш, П. (1964), «Проблема интерполяции, связанная с гипотезой континуума» , The Michigan Mathematical Journal , 11 : 9–10, doi : 10.1307/mmj/1028999028 , MR 0168482 .
^ Грошек, Марсия Дж .; Сламан, Т. (1983). «Независимость приводит к глобальной структуре степеней Тьюринга» . Труды Американского математического общества . 277 (2): 579. дои : 10.2307/1999225 . JSTOR 1999225 .

Внешние ссылки [ править ]

Какие разумные заявления независимы от ZFC? , mathoverflow.net

[1] Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 .

[2] Баумгартнер, Дж., Все $\aleph _{1}$ -плотные множества вещественных чисел могут быть изоморфны, Fund. Математика. 79, стр. 101 – 106, 1973 г.

[3] Соловей, Р.М.; Тенненбаум, С. (1971). «Итерированные расширения Коэна и проблема Суслина». Анналы математики . Вторая серия. 94 (2): 201–245. дои : 10.2307/1970860 . JSTOR 1970860 .

[4] Баумгартнер, Дж., Дж. Малиц и В. Райхарт, Вложение деревьев в рациональные числа, Proc. Натл. акад. наук. США, 67, стр. 1746–1753, 1970 г.

[5] Шела, С. (1981). «Свободные пределы выгонки и многое другое о деревьях Ароншайна» . Израильский математический журнал . 38 (4): 315–334. дои : 10.1007/BF02762777 .

[6] Девлин К. и Х. Джонсбратен, Проблема Суслина, Конспект лекций по математике 405, Springer, 1974.

[7] Сильвер, Дж., Независимость гипотезы Курепы и двухкардинальных гипотез в теории моделей, в Axiomatic Set Theory, Proc. Симп, в «Чистая математика» (13), стр. 383–390, 1967.

[8] Шела, С., Правильное и неправильное принуждение, Springer, 1992.

[9] Шлиндвейн, Чаз, работа Шела о неполуправильных итерациях I, Архив математической логики (47), 2008, стр. 579–606.

[10] Шлиндвейн, Чаз, работа Шела о неполуправильных итерациях II, Журнал символической логики (66) 2001, стр. 1865–1883

[11] Шела, С. (1974). «Бесконечные абелевы группы, проблема Уайтхеда и некоторые конструкции» . Израильский математический журнал . 18 (3): 243–256. дои : 10.1007/BF02757281 . МР 0357114 .

[12] Шела, С. (1972). «Группы Уайтхеда могут быть несвободными, даже если предположить, что CH, I» . Израильский математический журнал . 28 (3): 193–204. дои : 10.1007/BF02759809 .

[13] Шела, С. (1980). «Группы Уайтхеда не могут быть свободными, даже если предположить, что CH, II» . Израильский математический журнал . 35 (4): 257–285. дои : 10.1007/BF02760652 .

[14] Барбара Л. Ософски (1968). «Гомологическое измерение и гипотеза континуума» (PDF) . Труды Американского математического общества . 132 : 217–230. дои : 10.1090/s0002-9947-1968-0224606-4 .

[oso-15] Барбара Л. Ософски (1973). Гомологические размерности модулей . Американское математическое соц. п. 60. ИСБН 978-0-8218-1662-2 .

[16] См., например:
Джеймс П. Джонс (1980). «Неразрешимые диофантовые уравнения» . Бык. амер. Математика. Соц . 3 (2): 859–862. дои : 10.1090/s0273-0979-1980-14832-6 .

Карл, М.; Мороз, Б. (2014). «О диофантовом представлении предиката доказуемости». Журнал математических наук . 199 (199): 36–52. дои : 10.1007/s10958-014-1830-2 . hdl : 21.11116/0000-0004-1E89-1 . S2CID 34618563 .
Краткое изложение аргумента см. в десятой проблеме Гильберта § Приложения .

[17] Джеймс П. Джонс (1980). «Неразрешимые диофантовые уравнения» . Бык. амер. Математика. Соц . 3 (2): 859–862. дои : 10.1090/s0273-0979-1980-14832-6 .

[18] Карл, М.; Мороз, Б. (2014). «О диофантовом представлении предиката доказуемости». Журнал математических наук . 199 (199): 36–52. дои : 10.1007/s10958-014-1830-2 . hdl : 21.11116/0000-0004-1E89-1 . S2CID 34618563 .

[17] Фридман, Харви (1980). «Последовательная теорема Фубини-Тонелли для неизмеримых функций» . Иллинойс Дж. Математика . 24 (3): 390–395. дои : 10.1215/ijm/1256047607 . МР 0573474 .

[18] Фрейлинг, Крис (1986). «Аксиомы симметрии: метание дротиков по действительной числовой прямой». Журнал символической логики . 51 (1): 190–200. дои : 10.2307/2273955 . JSTOR 2273955 . МР 0830085 . S2CID 38174418 .

[19] Тодорцевич, Стево (1989). Проблемы разделения в топологии . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-5091-6 .

[20] Х. Г. Дейлс; WH Woodin (1987). Введение в независимость для аналитиков .

[21] Джудит Ройтман (1992). «Использование теории множеств». Математический интеллект . 14 (1).

[22] Фара, Илияс (2011). «Все автоморфизмы алгебры Калкина внутренние» . Анналы математики . Вторая серия. 173 (2): 619–661. arXiv : 0705.3085 . дои : 10.4007/анналы.2011.173.2.1 .

[23] Филлипс, Северная Каролина; Уивер, Н. (2007). «Алгебра Калкина имеет внешние автоморфизмы». Математический журнал Дьюка . 139 (1): 185–202. arXiv : math/0606594 . дои : 10.1215/S0012-7094-07-13915-2 . S2CID 13873756 .

[24] Эрдеш, П. (1964), «Проблема интерполяции, связанная с гипотезой континуума» , The Michigan Mathematical Journal , 11 : 9–10, doi : 10.1307/mmj/1028999028 , MR 0168482 .

[25] Грошек, Марсия Дж .; Сламан, Т. (1983). «Независимость приводит к глобальной структуре степеней Тьюринга» . Труды Американского математического общества . 277 (2): 579. дои : 10.2307/1999225 . JSTOR 1999225 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]