Внешний оператор

В математике функторы Ext являются производными функторами функтора Hom . Наряду с функтором Tor , Ext является одним из основных понятий гомологической алгебры , в которой идеи алгебраической топологии используются для определения инвариантов алгебраических структур. Когомологии групп , алгебр Ли и ассоциативных алгебр могут быть определены в терминах Ext. Название происходит от того, что первая группа Ext Ext ¹ классифицирует расширения одного модуля по другому.

В частном случае абелевых групп Ext был введен Рейнхольдом Баером (1934). Он был назван Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Маклейном (1942) и применен к топологии ( теорема об универсальных коэффициентах для когомологий ). Для модулей над любым кольцом Ext был определен Анри Картаном и Эйленбергом в их книге 1956 года «Гомологическая алгебра» . ^[1]

Определение [ править ]

Пусть R — кольцо и R -Mod — категория модулей R. над (Можно понимать, что это означает либо левые R -модули, либо правые R -модули.) Для фиксированного R -модуля A пусть T ( B ) = Hom _R ( A , B ) для B в R -Mod. (Здесь Hom _R ( A , B ) — абелева группа R -линейных отображений из A в B ; это R если R коммутативен -модуль , .) Это левый точный функтор из R -Mod в категорию абелевых группы Ab, и поэтому он имеет правые производные функторы R ^яТ. Группы Ext — это абелевы группы, определенные формулой

\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}T)(B),

для целого числа i . По определению это означает: возьмите любую инъективную резольвенту

0\to B\to I^{0}\to I^{1}\to \cdots ,

удалите термин B и сформируйте комплекс коцепи :

0\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{0})\to \operatorname {Hom} _{R}(A,I^{1})\to \cdots .

Для каждого целого числа i Ext ^я
_R ( A , B ) — когомологии этого комплекса в позиции i . Это ноль для i отрицательного. Например, Экст. ⁰
_R ( A , B ) — ядро отображения Hom _R ( A , I ⁰) → Hom _R ( A , I ¹), который изоморфен Hom _R ( A , B ).

Альтернативное определение использует функтор G ( A ) = Hom _R ( A , B ) для фиксированного R -модуля B . Это контравариантный функтор, который можно рассматривать как точный слева функтор из противоположной категории ( R -Mod ). ^наАбу. Группы Ext определяются как правые производные функторы R ^яГ :

\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)=(R^{i}G)(A).

То есть выберите любое проективное разрешение

\cdots \to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,

удалите термин A и сформируйте комплекс коцепи:

0\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{0},B)\to \operatorname {Hom} _{R}(P_{1},B)\to \cdots .

Следующий ^я
_R ( A , B ) — когомологии этого комплекса в позиции i .

Можно задаться вопросом, почему выбор резолюции до сих пор остается неясным. Фактически Картан и Эйленберг показали, что эти конструкции не зависят от выбора проективной или инъективной резольвенты и что обе конструкции дают одни и те же Ext-группы. ^[2] Более того, для фиксированного кольца R Ext является функтором от каждой переменной (контравариантным в A , ковариантным в B ).

Для коммутативного кольца R и R -модулей A и B Ext ^я
_R ( A , B ) является R -модулем (поскольку в данном случае Hom _R ( A , B ) является R -модулем). Для некоммутативного кольца R Ext ^я
_R ( A , B ) вообще говоря, является лишь абелевой группой. Если R — алгебра над кольцом S (что, в частности, означает, что S коммутативно), то Ext ^я
_R ( A , B ) является по крайней мере S -модулем.

Свойства Ext [ править ]

Вот некоторые основные свойства и вычисления групп Ext. ^[3]

доб. ⁰
_R ( A , B ) ≅ Hom _R ( A , B ) для любых R -модулей A и B .

доб. ^я
_R ( A , B 0 для всех i > 0, если ( например , свободен R-модуль A проективен ) или если B инъективен ) = .

Обратные утверждения также справедливы:
- Если доб. ¹
  _R ( A , B ) = 0 для всех B , то A проективен (и, следовательно, Ext ^я
  _R ( A , B ) = 0 для всех i > 0).
- Если доб. ¹
  _R ( A , B ) = 0 для всех A , то B инъективен (и, следовательно, Ext ^я
  _R ( A , B ) = 0 для всех i > 0).

$\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{i}(A,B)=0$ для всех i ≥ 2 и всех абелевых A и B. групп ^[4]

Если R — коммутативное кольцо и u в R не является делителем нуля , то

\operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B[u]&i=0\\B/uB&i=1\\0&{\text{otherwise,}}\end{cases}}

для любого R -модуля B . Здесь B [ u ] обозначает u -периодическую подгруппу группы B , { x ∈ B : ux = 0}. Приняв R за кольцо

\mathbb {Z}

целых чисел, это вычисление можно использовать для вычисления

\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(A,B)

для любой конечно порожденной абелевой группы A .

Обобщая предыдущий пример, можно вычислить группы Ext, когда первый модуль является фактором коммутативного кольца по любой регулярной последовательности , используя комплекс Кошуля . ^[5] Например, если R — кольцо многочленов k [ x ₁ ,..., x _n ] над полем k , то Ext ^*
_R ( k , k ) — внешняя алгебра S над k на n образующих в Ext ¹. Более того, доб. ^*
_S ( k , k ) — кольцо полиномов R ; это пример двойственности Кошуля .

По общим свойствам производных функторов существуют две основные точные последовательности для Ext. ^[6] Во-первых, короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 R -модулей индуцирует длинную точную последовательность вида

0\to \mathrm {Hom} _{R}(A,K)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,L)\to \mathrm {Hom} _{R}(A,M)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,K)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(A,L)\to \cdots ,

для любого R - A. модуля Кроме того, короткая точная последовательность 0 → K → L → M → 0 индуцирует длинную точную последовательность вида

0\to \mathrm {Hom} _{R}(M,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(L,B)\to \mathrm {Hom} _{R}(K,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,B)\to \mathrm {Ext} _{R}^{1}(L,B)\to \cdots ,

для любого R -модуля B .

Ext преобразует прямые суммы (возможно, бесконечные) в первую переменную и произведения во второй переменной в произведения. ^[7] То есть:

{\begin{aligned}\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Ext} _{R}^{i}\left(M,\prod _{\alpha }N_{\alpha }\right)&\cong \prod _{\alpha }\operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N_{\alpha })\end{aligned}}

Пусть A конечно порожденный модуль над коммутативным нетеровым кольцом R. — Тогда Ext коммутирует с локализацией в том смысле, что для любого замкнутого множества S в R , каждого R -модуля B и каждого целого числа i мультипликативно ^[8]

S^{-1}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(A,B)\cong \operatorname {Ext} _{S^{-1}R}^{i}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).

Расширения и расширения [ править ]

Эквивалентность расширений [ править ]

Группы Ext получили свое название от расширения модулей. Для данных R -модулей A и B расширение A . с помощью B представляет собой короткую точную последовательность R -модулей

0\to B\to E\to A\to 0.

Два расширения

0\to B\to E\to A\to 0

0\to B\to E'\to A\to 0

называются эквивалентными ( как расширение A посредством B ), если существует коммутативная диаграмма :

Обратите внимание, что из леммы о пяти следует, что средняя стрелка является изоморфизмом. Расширение A посредством B называется расщепленным , если оно эквивалентно тривиальному расширению

0\to B\to A\oplus B\to A\to 0.

существует взаимно однозначное соответствие. Между классами эквивалентности расширений A посредством B и элементами Ext ¹
_Р ( А , Б ). ^[9] Тривиальное расширение соответствует нулевому элементу Ext ¹
_Р ( А , Б ).

Сумма по Бэру расширений

Сумма Бэра является явным описанием структуры абелевой группы на Ext ¹
_R ( A , B ), рассматриваемый как множество классов эквивалентности расширений A с помощью B . ^[10] А именно, учитывая два расширения

0\to B{\xrightarrow[{f}]{}}E{\xrightarrow[{g}]{}}A\to 0

и

0\to B{\xrightarrow[{f'}]{}}E'{\xrightarrow[{g'}]{}}A\to 0,

сформируйте откат сначала $A$ ,

\Gamma =\left\{(e,e')\in E\oplus E'\;|\;g(e)=g'(e')\right\}.

Затем сформируем фактор-модуль

Y=\Gamma /\{(f(b),-f'(b))\;|\;b\in B\}.

Сумма Бэра E и E ' является расширением

0\to B\to Y\to A\to 0,

где первая карта $b\mapsto [(f(b),0)]=[(0,f'(b))]$ и второй $(e,e')\mapsto g(e)=g'(e')$ .

С точностью до эквивалентности расширений сумма Бэра коммутативна и имеет в качестве единичного элемента тривиальное расширение. Негатив расширения 0 → B → E → A → 0 — это расширение, включающее тот же модуль E , но с заменой гомоморфизма B → E на его негатив.

Построение Ext в абелевых категориях [ править ]

Нобуо Йонеда определил абелевы группы Ext ^н
_C ( A , B ) для объектов A и B в любой абелевой категории C ; это согласуется с определением в терминах резольвент, если C имеет достаточно проективов или достаточно инъективов . Во-первых, доб. ⁰
_C ( А , B ) знак равно Hom _C ( А , B ). Далее, доб. ¹
_C ( A , B ) — множество классов эквивалентности расширений A с помощью B , образующих абелеву группу относительно суммы Бэра. Наконец, высшие группы Ext Ext ^н
_C ( A , B ) определяются как классы эквивалентности n-расширений , которые являются точными последовательностями

0\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0,

под отношением эквивалентности , порожденным отношением, которое идентифицирует два расширения

{\begin{aligned}\xi :0&\to B\to X_{n}\to \cdots \to X_{1}\to A\to 0\\\xi ':0&\to B\to X'_{n}\to \cdots \to X'_{1}\to A\to 0\end{aligned}}

если есть карты $X_{m}\to X'_{m}$ для всех m из {1, 2, ..., n } так, чтобы каждый полученный квадрат коммутировал

{\begin{array}{cc cc cc c cc cc cc}0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\\&&{\Bigg \Vert }&&{\Bigg \downarrow }\iota _{n}\!&&&&{\Bigg \downarrow }\iota _{1}&&{\Bigg \Vert }&&\\0&\longrightarrow &B&\longrightarrow &X'_{n}&\longrightarrow &\dots &\longrightarrow &X'_{1}&\longrightarrow &A&\longrightarrow &0\end{array}}

то есть, если есть карта цепочки

\iota \colon \xi \to \xi '

что является тождеством на A и B .

Сумма Бэра двух n -расширений, как указано выше, формируется, если $X''_{1}$ быть откатом $X_{1}$ и $X'_{1}$ над A и $X''_{n}$ быть вытеснением $X_{n}$ и $X'_{n}$ под Б. ^[11] Тогда сумма Бэра расширений равна

0\to B\to X''_{n}\to X_{n-1}\oplus X'_{n-1}\to \cdots \to X_{2}\oplus X'_{2}\to X''_{1}\to A\to 0.

Производная категория Yoneda продукт и

Важным моментом является то, что группы Ext в абелевой категории C можно рассматривать как множества морфизмов в категории, ассоциированной с C , производной категории D ( C ). ^[12]Объекты производной категории — это комплексы объектов C. в В частности, у человека есть

\operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)=\operatorname {Hom} _{D({\mathbf {C} })}(A,B[i]),

где объект C рассматривается как комплекс, сконцентрированный в нулевой степени, а [ i ] означает сдвиг комплекса на i шагов влево. Из этой интерпретации получается билинейное отображение , иногда называемое произведением Йонеды :

\operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i}(A,B)\times \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{j}(B,C)\to \operatorname {Ext} _{\mathbf {C} }^{i+j}(A,C),

что представляет собой просто композицию морфизмов производной категории.

Продукт Yoneda можно описать и более элементарно. Для i = j = 0 продуктом является композиция карт в C. категории В общем, продукт можно определить путем объединения двух расширений Yoneda.

В качестве альтернативы продукт Yoneda можно определить с точки зрения разрешения. (Это близко к определению производной категории.) Например, пусть — кольцо с R -модулями A , B , C и пусть P , Q и T — проективные резольвенты A , B , C. R Следующий ^я
_R ( A , B ) можно отождествить с группой цепных гомотопических классов цепных отображений P → Q [ i ]. Продукт Йонеды задается путем составления цепных карт:

P\to Q[i]\to T[i+j].

В любой из этих интерпретаций произведение Йонеды ассоциативно. Как результат, $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)$ является градуированным кольцом для любого R - A. модуля Например, это дает кольцевую структуру групповых когомологий. $H^{*}(G,\mathbb {Z} ),$ поскольку это можно рассматривать как $\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} )$ . Также по ассоциативности произведения Йонеды: для любых R -модулей A и B , $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,B)$ это модуль над $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(A,A)$ .

Важные особые случаи [ править ]

Групповые когомологии определяются формулой $H^{*}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{*}(\mathbb {Z} ,M)$ , где G группа, M — представление G — над целыми числами и $\mathbb {Z} [G]$ является кольцом G . групповым

Для алгебры A над полем k и A - бимодуля M когомологии Хохшильда определяются формулой

HH^{*}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}^{*}(A,M).

Когомологии алгебры Ли определяются формулой $H^{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{*}(k,M)$ , где ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли над коммутативным кольцом k , M — ${\mathfrak {g}}$ -модуль и $U{\mathfrak {g}}$ — универсальная обертывающая алгебра .

Для топологического пространства X можно пучковые когомологии определить как $H^{*}(X,A)=\operatorname {Ext} ^{*}(\mathbb {Z} _{X},A).$ Здесь Ext берется в абелевой категории пучков абелевых групп на X , а $\mathbb {Z} _{X}$ представляет собой пучок локально постоянных $\mathbb {Z}$ -значные функции.

Для коммутативного нётерова локального кольца R с полем k вычетов $\operatorname {Ext} _{R}^{*}(k,k)$ — универсальная обертывающая алгебра градуированной алгебры Ли π*( R ) над k , известная как гомотопическая алгебра Ли R . (Точнее, когда k имеет характеристику 2, π*( R ) следует рассматривать как «скорректированную алгебру Ли». ^[13]) Существует естественный гомоморфизм градуированных алгебр Ли из когомологий Андре–Квиллена D *( k / R , k ) в π*( R ), который является изоморфизмом, если k имеет нулевую характеристику. ^[14]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Вейбель (1999); Картан и Эйленберг (1956), раздел VI.1.
^ Weibel (1994), разделы 2.4 и 2.5 и теорема 2.7.6.
^ Вайбель (1994), главы 2 и 3.
^ Вейбейл (1994), Лемма 3.3.1.
^ Вайбель (1994), раздел 4.5.
^ Вейбель (1994), Определение 2.1.1.
^ Вейбель (1994), Предложение 3.3.4.
^ Вейбель (1994), Предложение 3.3.10.
^ Вейбель (1994), Теорема 3.4.3.
^ Вейбель (1994), Следствие 3.4.5.
^ Вайбель (1994), Висты 3.4.6. Некоторые незначительные исправления содержатся в опечатках .
^ Weibel (1994), разделы 10.4 и 10.7; Гельфанд и Манин (2003), Глава III.
^ Сьёдин (1980), обозначение 14.
^ Аврамов (2010), раздел 10.2.

Ссылки [ править ]

Аврамов, Лучезар (2010), «Бесконечные свободные резолюции», Шесть лекций по коммутативной алгебре , Биркхойзер , стр. 1–108, doi : 10.1007/978-3-0346-0329-4_1 , ISBN 978-3-7643-5951-5 , МР 2641236
Баер, Рейнхольд (1934), «Расширение групп и их изоморфизмы», Mathematical Journal , 38 (1): 375–416, doi : 10.1007/BF01170643 , Zbl 0009.01101
Картан, Анри ; Эйленберг, Сэмюэл (1999) [1956], Гомологическая алгебра , Принстон: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2 , МР 0077480
Эйленберг, Сэмюэл ; Маклейн, Сондерс (1942), «Расширения групп и гомологии», Annals of Mathematics , 43 (4): 757–931, doi : 10.2307/1968966 , JSTOR 1968966 , MR 0007108
Гельфанд, Сергей И.; Манин, Юрий Иванович (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Publishing , doi : 10.1007/978-3-662-12492-5 , ISBN 978-3-540-43583-9 , МР 1950475
Сьёдин, Гуннар (1980), «Алгебры Хопфа и дифференцирования», Journal of Algebra , 64 : 218–229, doi : 10.1016/0021-8693(80)90143-X , MR 0575792
Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4 . МР 1269324 . OCLC 36131259 .
Вейбель, Чарльз А. (1999), «История гомологической алгебры» (PDF) , История топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 797–836, ISBN 9780444823755 , МР 1721123

[1] Вейбель (1999); Картан и Эйленберг (1956), раздел VI.1.

[2] Weibel (1994), разделы 2.4 и 2.5 и теорема 2.7.6.

[3] Вайбель (1994), главы 2 и 3.

[4] Вейбейл (1994), Лемма 3.3.1.

[5] Вайбель (1994), раздел 4.5.

[6] Вейбель (1994), Определение 2.1.1.

[7] Вейбель (1994), Предложение 3.3.4.

[8] Вейбель (1994), Предложение 3.3.10.

[9] Вейбель (1994), Теорема 3.4.3.

[10] Вейбель (1994), Следствие 3.4.5.

[11] Вайбель (1994), Висты 3.4.6. Некоторые незначительные исправления содержатся в опечатках .

[12] Weibel (1994), разделы 10.4 и 10.7; Гельфанд и Манин (2003), Глава III.

[13] Сьёдин (1980), обозначение 14.

[14] Аврамов (2010), раздел 10.2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]