Точный функтор

В математике , особенно в гомологической алгебре , точный функтор — это функтор , сохраняющий короткие точные последовательности . Точные функторы удобны для алгебраических вычислений, поскольку их можно напрямую применять к представлениям объектов. Большая часть работ в области гомологической алгебры направлена на работу с функторами, которые не являются точными, но такими способами, которыми все же можно управлять.

Определения [ править ]

Пусть P и Q — абелевы категории , и пусть F : P → Q — ковариантный аддитивный функтор (так что, в частности, F (0) = 0). Мы говорим, что F — точный функтор, если всякий раз, когда

0\to A\ {\stackrel {f}{\to }}\ B\ {\stackrel {g}{\to }}\ C\to 0

— короткая точная последовательность в P , то

0\to F(A)\ {\stackrel {F(f)}{\longrightarrow }}\ F(B)\ {\stackrel {F(g)}{\longrightarrow }}\ F(C)\to 0

— короткая точная последовательность в Q . (Отображения часто опускаются и подразумеваются, и говорят: «если 0→ A → B → C → 0 точно, то 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → 0 также точно» .)

Далее мы говорим, F что

точно слева, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точно, тогда 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) точно;
точно справа, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точно, тогда F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → 0 точно;
полуточно , если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точно, то F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) является точным. Это отличается от понятия топологического полуточного функтора .

Если G — контравариантный аддитивный функтор из P в Q , мы аналогичным образом определяем G как

точно , если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точно, тогда 0 → G ( C ) → G ( B ) → G ( A ) → 0 точно;
точно слева, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точно, тогда 0 → G ( C ) → G ( B ) → G ( A ) точно;
точно справа, если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точно, тогда G ( C ) → G ( B ) → G ( A ) → 0 точно;
полуточно , если всякий раз, когда 0 → A → B → C → 0 точно, тогда G ( C ) → G ( B ) → G ( A ) является точным.

Не всегда необходимо начинать с полной короткой точной последовательности 0 → A → B → C → 0, чтобы сохранить некоторую точность. Следующие определения эквивалентны приведенным выше:

F является точным тогда и только тогда, когда из A → B → C точно следует F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) точно;
F является точным слева тогда и только тогда, когда из 0 → A → B → C точно следует 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) точно (т. е. если « F превращает ядра в ядра»);
F является точным справа тогда и только тогда, когда A → B → C →0 точный влечет F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → 0 точный (т. е. если « F превращает коядра в коядра»);
G является точным слева тогда и только тогда, когда из A → B → C → 0 точно следует 0 → G ( C ) → G ( B ) → G ( A ) точно (т. е. если « G превращает коядра в ядра»);
G является точным справа тогда и только тогда, когда из 0 → A → B → C точно следует G ( C ) → G ( B ) → G ( A ) → 0 точного (т. е. если « G превращает ядра в коядра»).

Примеры [ править ]

Всякая эквивалентность или двойственность абелевых категорий точна.

Самыми основными примерами левых точных функторов являются функторы Hom : если A — абелева категория и A — объект A , то F _A ( X ) = Hom _A ( A , X ) определяет ковариантный точный слева функтор из A к категории Ab абелевых групп . ^[1] Функтор F _A точен тогда и только тогда, A проективен когда . ^[2] Функтор G _A ( X ) = Hom _A ( X , A ) является контравариантным левым точным функтором; ^[3] оно точно тогда и только тогда, A инъективно когда . ^[4]

Если k — поле , а V — векторное пространство над k , мы пишем V * = Hom _k ( V , k ) (это обычно известно как двойственное пространство ). Это дает контравариантный точный функтор из категории k -векторных пространств в себя. (Точность следует из вышесказанного: k — инъективный k - модуль . Альтернативно можно утверждать, что каждая короткая точная последовательность k -векторных пространств расщепляется , и любой аддитивный функтор превращает расщепляемые последовательности в расщепляемые последовательности.)

Если X — топологическое пространство мы можем рассмотреть абелеву категорию всех пучков абелевых групп на X. , Ковариантный функтор, сопоставляющий каждому пучку F группу глобальных сечений F ( X ), является точным слева.

Если R — кольцо , а T — правый R - модуль , мы можем определить функтор H _T из абелевой категории всех левых R -модулей в Ab , используя тензорное произведение над R : H _T ( X ) = T ⊗ X . Это ковариантный правый точный функтор; другими словами, для точной последовательности A → B → C → 0 левых R модулей последовательность абелевых групп T ⊗ A → T ⊗ B → T ⊗ C → 0 точна.

Функтор HT _когда точен тогда и только тогда T плоское , . Например, $\mathbb {Q}$ это квартира $\mathbb {Z}$ -модуль. Поэтому тензорирование с $\mathbb {Q}$ как $\mathbb {Z}$ -модуль является точным функтором. Доказательство: достаточно показать, что если i — инъективное отображение $\mathbb {Z}$ -модули $i:M\to N$ , то соответствующее отображение между тензорными произведениями $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ является инъективным. Можно показать, что $m\otimes q=0$ тогда и только тогда, когда $m$ представляет собой торсионный элемент или $q=0$ . Данные тензорные произведения имеют только чистые тензоры. Поэтому достаточно показать, что если чистый тензор $m\otimes q$ находится в ядре , то оно равно нулю. Предположим, что $m\otimes q$ является элементом ядра. Затем, $i(m)$ это кручение. С $i$ является инъективным, $m$ это кручение. Поэтому, $m\otimes q=0$ . Поэтому, $M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q}$ также является инъективным.

В общем, если T не плоское, то тензорное произведение не является левым точным. Например, рассмотрим короткую точную последовательность $\mathbf {Z}$ -модули $5\mathbf {Z} \hookrightarrow \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$ . Тензорация над $\mathbf {Z}$ с $\mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$ дает последовательность, которая уже не является точной, поскольку $\mathbf {Z} /5\mathbf {Z}$ не имеет кручения и, следовательно, не является плоским.

Если A — абелева категория, а C — произвольная малая категория , мы можем рассмотреть функторную категорию A ^С состоящий из всех функторов от C до A ; это абелева. Если X заданный объект C , то мы получаем функтор EX _A из — ^С в A путем оценки функторов в X . Этот функтор E _X точен.

Хотя тензоризация не может быть точной слева, можно показать, что тензоризация является точным функтором справа:

Теорема: Пусть A , B , C и P — R -модули коммутативного кольца R, имеющего мультипликативную единицу. Позволять $A\ {\stackrel {f}{\to }}\ B\ {\stackrel {g}{\to }}\ C\to 0$ — короткая точная последовательность -модулей R . Затем

A\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}B\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}C\otimes _{R}P\to 0

также является короткой точной последовательностью R -модулей. (Поскольку R коммутативен, эта последовательность является последовательностью R -модулей, а не просто абелевых групп). Здесь мы определяем

f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p

.

Из этого следует полезный вывод : если I — идеал R , а P такой же, как указано выше, то $P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP$ .

Доказательство: $I{\stackrel {f}{\to }}R{\stackrel {g}{\to }}R/I\to 0$ , где f — включение, а g — проекция, является точной последовательностью R -модулей. Из вышесказанного мы получаем следующее: $I\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}R\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}R/I\otimes _{R}P\to 0$ также является короткой точной последовательностью R -модулей. По точности, $R/I\otimes _{R}P\cong (R\otimes _{R}P)/Image(f\otimes P)=(R\otimes _{R}P)/(I\otimes _{R}P)$ , поскольку f — включение. Теперь рассмотрим гомоморфизм R -модуля из $R\otimes _{R}P\rightarrow P$ заданный R - линейно расширяя карту, определенную на чистых тензорах: $r\otimes p\mapsto rp.rp=0$ подразумевает, что $0=rp\otimes 1=r\otimes p$ . Итак, ядро этого отображения не может содержать ненулевых чистых тензоров. $R\otimes _{R}P$ состоит только из чистых тензоров: для $x_{i}\in R,\sum _{i}x_{i}(r_{i}\otimes p_{i})=\sum _{i}1\otimes (r_{i}x_{i}p_{i})=1\otimes (\sum _{i}r_{i}x_{i}p_{i})$ . Итак, это отображение инъективно. Это явно на . Так, $R\otimes _{R}P\cong P$ . Сходным образом, $I\otimes _{R}P\cong IP$ . Это доказывает следствие.

В качестве еще одного приложения мы покажем, что для: $P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P$ где $k=m/2^{n}$ и n — высшая степень двойки, делящая m . Докажем частный случай: m =12.

Доказательство. Рассмотрим чистый тензор. $(12z)\otimes (a/2^{k})\in (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P).(12z)\otimes (a/2^{k})=(3z)\otimes (a/2^{k-2})$ . Кроме того, для $(3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})$ .Это показывает, что $(12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)$ . Сдача в аренду $P=\mathbf {Z} [1/2],A=12\mathbf {Z} ,B=\mathbf {Z} ,C=\mathbf {Z} /12\mathbf {Z}$ , A,B,C,P являются модулями R = Z обычным действием умножения и удовлетворяют условиям основной теоремы . В силу точности, вытекающей из теоремы и сделанного выше замечания, получаем, что $:\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P\cong (\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)\cong \mathbf {Z} P/3\mathbf {Z} P$ . Последнее сравнение следует из аргумента, аналогичного аргументу в доказательстве следствия, показывающего, что $I\otimes _{R}P\cong IP$ .

и Свойства теоремы

Функтор точен тогда и только тогда, когда он точен как слева, так и справа.

Ковариантный (не обязательно аддитивный) функтор точен слева тогда и только тогда, когда он превращает конечные пределы в пределы; ковариантный функтор точен справа тогда и только тогда, когда он превращает конечные копределы в копределы; контравариантный функтор точен слева тогда и только тогда, когда он превращает конечные копределы в пределы; контравариантный функтор точен справа тогда и только тогда, когда он превращает конечные пределы в копределы.

Степень, в которой левый точный функтор не является точным, можно измерить с помощью его правых производных функторов ; Степень, в которой правый точный функтор не является точным, можно измерить с помощью его левых производных функторов .

Левые и правые точные функторы распространены повсеместно главным образом благодаря следующему факту: если функтор F сопряжен слева с G , то F точен справа, а G точен слева.

Обобщения [ править ]

В SGA4 , том I, раздел 1, понятие левых (правых) точных функторов определено для общих категорий, а не только для абелевых. Определение следующее:

Пусть C — категория с конечными проективными (соответственно инъективными) пределами. Тогда функтор из C в другую категорию C′ является точным слева (соответственно справа), если он коммутирует с конечными проективными (соответственно индуктивными) пределами.

Несмотря на свою абстракцию, это общее определение имеет полезные последствия. Например, в разделе 1.8 Гротендик доказывает, что функтор пропредставим тогда и только тогда, когда он точен слева, при некоторых мягких условиях на категорию C .

Квиллена Точные функторы между точными категориями обобщают обсуждаемые здесь точные функторы между абелевыми категориями.

Регулярные функторы между регулярными категориями иногда называются точными функторами и обобщают обсуждаемые здесь точные функторы.

Примечания [ править ]

^ Джейкобсон (2009), с. 98, теорема 3.1.
^ Джейкобсон (2009), с. 149, п. 3.9.
^ Джейкобсон (2009), с. 99, Теорема 3.1.
^ Джейкобсон (2009), с. 156.

Ссылки [ править ]

Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . Том. 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47187-7 .

[1] Джейкобсон (2009), с. 98, теорема 3.1.

[2] Джейкобсон (2009), с. 149, п. 3.9.

[3] Джейкобсон (2009), с. 99, Теорема 3.1.

[4] Джейкобсон (2009), с. 156.

[1]

[2]

[3]

[4]