Моноидальный функтор

В теории категорий моноидальные функторы — это функторы между моноидальными категориями , которые сохраняют моноидальную структуру. Более конкретно, моноидальный функтор между двумя моноидальными категориями состоит из функтора между категориями, а также двух карт когерентности — естественного преобразования и морфизма, которые сохраняют моноидальное умножение и единицу соответственно. Математики требуют, чтобы эти карты когерентности удовлетворяли дополнительным свойствам в зависимости от того, насколько строго они хотят сохранить моноидальную структуру; каждое из этих свойств приводит к несколько иному определению моноидальных функторов.

• Отображения когерентности нестрогих моноидальных функторов не обладают никакими дополнительными свойствами; они не обязательно обратимы.
• Отображения когерентности сильных моноидальных функторов обратимы.
• Отображения когерентности строгих моноидальных функторов являются тождественными.

Хотя здесь мы различаем эти разные определения, авторы могут называть любое из этих просто моноидальных функторов .

Определение

Позволять $({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})$ и $({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})$ быть моноидальными категориями. Слабый моноидальный функтор из ${\mathcal {C}}$ к ${\mathcal {D}}$ (который также можно назвать моноидальным функтором) состоит из функтора $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ вместе с естественным преобразованием

$\phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)$

между функторами ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ и морфизм

$\phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}$,

называемые картами когерентности или структурными морфизмами , которые таковы, что для каждых трех объектов $A$, $B$ и $C$ из ${\mathcal {C}}$ диаграммы

,

и

ездить в категории ${\mathcal {D}}$. Выше различные естественные преобразования, обозначенные с помощью $\alpha ,\rho ,\lambda$ являются частями моноидальной структуры на ${\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {D}}$.

Варианты

• Двойственным моноидальному функтору является комоноидальный функтор ; это моноидальный функтор, карты когерентности которого перевернуты. Комоноидальные функторы также можно назвать опмоноидальными, моноидальными функторами колакса или моноидальными функторами оплакса.
• Сильный моноидальный функтор — это моноидальный функтор, когерентность которого отображается $\phi _{A,B},\phi$ являются обратимыми.
• Строгий моноидальный функтор — это моноидальный функтор, карты когерентности которого являются тождествами.
• Скрученный моноидальный функтор — это моноидальный функтор между сплетенными моноидальными категориями (расплетения обозначаются $\gamma$) такая, что следующая диаграмма коммутирует для каждой пары объектов A , B в ${\mathcal {C}}$ :

• Симметричный моноидальный функтор — это плетеный моноидальный функтор, область определения и кодомен которого являются симметричными моноидальными категориями .

Примеры

• Базовый функтор $U\colon (\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{\ast \})$ из категории абелевых групп в категорию множеств. В этом случае карта $\phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)$ отправляет (a, b) в $a\otimes b$; карта $\phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z}$ отправляет $\ast$ до 1.
• Если $R$ является (коммутативным) кольцом, то свободный функтор ${\mathsf {Set}},\to R{\mathsf {-mod}}$ продолжается до сильно моноидального функтора $({\mathsf {Set}},\sqcup ,\emptyset )\to (R{\mathsf {-mod}},\oplus ,0)$ (а также $({\mathsf {Set}},\times ,\{\ast \})\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes ,R)$ если $R$ коммутативен).
• Если $R\to S$ является гомоморфизмом коммутативных колец, то функтор ограничения $(S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)$ является моноидальным, а функтор индукции $(R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)\to (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)$ является сильно моноидальным.
• Важным примером симметричного моноидального функтора является математическая модель топологической квантовой теории поля недавно разработанная . Позволять $\mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle }$ — категория кобордизмов n -1,n -мерных многообразий с тензорным произведением, заданным дизъюнктным объединением, и за единицу — пустое многообразие. Топологическая квантовая теория поля в размерности n представляет собой симметричный моноидальный функтор. $F\colon (\mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle },\sqcup ,\emptyset )\rightarrow (\mathbf {kVect} ,\otimes _{k},k).$
• Функтор гомологии моноидален как $(Ch(R{\mathsf {-mod}}),\otimes ,R[0])\to (grR{\mathsf {-mod}},\otimes ,R[0])$ через карту $H_{\ast }(C_{1})\otimes H_{\ast }(C_{2})\to H_{\ast }(C_{1}\otimes C_{2}),[x_{1}]\otimes [x_{2}]\mapsto [x_{1}\otimes x_{2}]$.

Альтернативные понятия

Если $({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})$ и $({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})$ являются замкнутыми моноидальными категориями с внутренними hom-функторами $\Rightarrow _{\mathcal {C}},\Rightarrow _{\mathcal {D}}$ (нижние индексы опустим для удобства чтения), есть альтернативная формулировка

ψ _AB : F ( А ⇒ B ) → FA ⇒ FB

φ функциональном _AB обычно используется в программировании . Связь между ψ _AB и φ _AB иллюстрируется следующими коммутативными диаграммами:

Свойства

• Если $(M,\mu ,\epsilon )$ является моноидным объектом в $C$, затем $(FM,F\mu \circ \phi _{M,M},F\epsilon \circ \phi )$ является моноидным объектом в $D$.

и

Предположим, что функтор $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ остается сопряженным слева с моноидом $(G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})$. Затем $F$ имеет комоноидальное строение $(F,m)$ вызванный $(G,n)$, определяемый

$m_{A,B}=\varepsilon _{FA\bullet FB}\circ Fn_{FA,FB}\circ F(\eta _{A}\otimes \eta _{B}):F(A\otimes B)\to FA\bullet FB$

и

$m=\varepsilon _{I_{\mathcal {D}}}\circ Fn:FI_{\mathcal {C}}\to I_{\mathcal {D}}$.

Если индуцированная структура на $F$ является сильным, то единица и единица присоединения являются моноидальными естественными преобразованиями , и присоединение называется моноидальным присоединением ; и наоборот, левый сопряженный моноидального присоединения всегда является сильным моноидальным функтором.

Аналогично, правый сопряженный комоноидальному функтору является моноидальным, а правый сопряженный комоноидальному присоединению является сильным моноидальным функтором.

См. также

• Моноидальное естественное преобразование

Ссылки

• Келли, Дж. Макс (1974). «Доктринальное дополнение». Категория Семинар . Конспект лекций по математике. Том. 420. Спрингер. стр. 257–280. дои : 10.1007/BFb0063105 . ISBN  978-3-540-37270-7 .