Моноидальное присоединение

Предположим, что $({\mathcal {C}},\otimes ,I)$ и $({\mathcal {D}},\bullet ,J)$ две моноидальные категории . Моноидальное соединение между двумя слабыми моноидальными функторами.

$(F,m):({\mathcal {C}},\otimes ,I)\to ({\mathcal {D}},\bullet ,J)$ и $(G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,J)\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I)$

является дополнением $(F,G,\eta ,\varepsilon )$ между базовыми функторами, так что естественные преобразования

$\eta :1_{\mathcal {C}}\Rightarrow G\circ F$ и $\varepsilon :F\circ G\Rightarrow 1_{\mathcal {D}}$

являются моноидальными естественными преобразованиями .

Подъемные присоединения к моноидальным присоединениям

Предположим, что

$(F,m):({\mathcal {C}},\otimes ,I)\to ({\mathcal {D}},\bullet ,J)$

является нестрогим моноидальным функтором, таким, что основной функтор $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ имеет правый сопряженный $G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$. Это присоединение переходит в моноидальное присоединение. $(F,m)$⊣ $(G,n)$ тогда и только тогда, когда нестрогий моноидальный функтор $(F,m)$ сильный.

См. также

• Каждое моноидальное присоединение $(F,m)$⊣ $(G,n)$ определяет моноидальную монаду $G\circ F$.