Моноидальная монада

В теории категорий , разделе математики, моноидальная монада. $(T,\eta ,\mu ,T_{A,B},T_{0})$ это монада $(T,\eta ,\mu )$ по моноидальной категории $(C,\otimes ,I)$ такой, что функтор $T:(C,\otimes ,I)\to (C,\otimes ,I)$ является нестрогим моноидальным функтором и естественными преобразованиями $\eta$ и $\mu$ являются моноидальными естественными преобразованиями . Другими словами, $T$ оснащен картами согласованности $T_{A,B}:TA\otimes TB\to T(A\otimes B)$ и $T_{0}:I\to TI$ удовлетворяющие определенным свойствам (опять же: они нестрогие моноидальные), а единица $\eta :id\Rightarrow T$ и умножение $\mu :T^{2}\Rightarrow T$ являются моноидальными естественными преобразованиями . По моноидальности $\eta$ , морфизмы $T_{0}$ и $\eta _{I}$ обязательно равны.

Все вышесказанное можно свести к утверждению, что моноидальная монада — это монада 2-категории. ${\mathsf {MonCat}}$ моноидальных категорий, слабых моноидальных функторов и моноидальных естественных преобразований.

Опмоноидальные монады

Опмоноидальные монады изучались под разными названиями. Ике Мурдейк представил их как «монады Хопфа». ^[1] в то время как в работах Брюгьера и Вирелизье они называются «бимонадами» по аналогии с « биалгеброй », ^[2] сохраняя термин «монада Хопфа» для опмоноидальных монад с антиподом по аналогии с « алгебрами Хопфа ».

Опмоноидальная монада – это монада $(T,\eta ,\mu )$ во 2-й категории ${\mathsf {OpMonCat}}$ моноидальные категории, моноидальные функторы oplax и моноидальные естественные преобразования. Это означает монада $(T,\eta ,\mu )$ по моноидальной категории $(C,\otimes ,I)$ вместе с картами когерентности $T^{A,B}:T(A\otimes B)\to TA\otimes TB$ и $T^{0}:TI\to I$ удовлетворяющие трем аксиомам, образующим опмоноидальный функтор, и еще четырем аксиомам, образующим единицу $\eta$ и умножение $\mu$ в опмоноидальные естественные преобразования. Альтернативно, опмоноидальная монада - это монада в моноидальной категории, такая, что категория алгебр Эйленберга-Мура имеет моноидальную структуру, для которой функтор забывания является сильным моноидальным. ^[1]^[3]

Простой пример для моноидальной категории $\operatorname {Vect}$ векторных пространств — это монада $-\otimes A$ , где $A$ является биалгеброй . ^[2] Умножение и единица $A$ определяют умножение и единицу монады, а коумножение и единицу $A$ приводят к опмоноидальной структуре. Алгебры этой монады правы $A$ -модули, которые можно тензоризировать так же, как и лежащие в их основе векторные пространства.

Характеристики

Категория Клейсли моноидальной монады имеет каноническую моноидальную структуру, индуцированную моноидальной структурой монады, и такую, что свободный функтор является сильным моноидальным. Каноническое соединение между $C$ и категория Клейсли является моноидальным присоединением по отношению к этой моноидальной структуре, это означает, что 2-категория ${\mathsf {MonCat}}$ имеет объекты Клейсли для монад.
2-категория монад в ${\mathsf {MonCat}}$ это 2-категория моноидальных монад ${\mathsf {Mnd(MonCat)}}$ и она изоморфна 2-категории ${\mathsf {Mon(Mnd(Cat))}}$ моноидальных (или псевдомоноидов) в категории монад ${\mathsf {Mnd(Cat)}}$ , (слабые) моноидальные стрелки между ними и моноидальные ячейки между ними. ^[4]
Категория Эйленберга-Мура опмоноидальной монады имеет каноническую моноидальную структуру, так что функтор забывания является сильным моноидальным. ^[1] Таким образом, 2-категория ${\mathsf {OpmonCat}}$ имеет объекты Эйленберга-Мура для монад. ^[3]
2-категория монад в ${\mathsf {OpmonCat}}$ это 2-категория моноидальных монад ${\mathsf {Mnd(OpmonCat)}}$ и она изоморфна 2-категории ${\mathsf {Opmon(Mnd(Cat))}}$ моноидальных (или псевдомоноидов) в категории монад ${\mathsf {Mnd(Cat)}}$ опмоноидные стрелки между ними и опмоноидные клетки между ними. ^[4]

Примеры

Следующие монады категории множеств с их декартовой моноидальной структурой являются моноидальными монадами:

мощности набора Монада $(\mathbb {P} ,\varnothing ,\cup )$ . Действительно, существует функция $\mathbb {P} (X)\times \mathbb {P} (Y)\to \mathbb {P} (X\times Y)$ , отправлю пару $(X'\subseteq X,Y'\subseteq Y)$ подмножеств в подмножество $\{(x,y)\mid x\in X'{\text{ and }}y\in Y'\}\subseteq X\times Y$ . является естественной в X и Y. Эта функция Вместе с уникальной функцией $\{1\}\to \mathbb {P} (\varnothing )$ а также тот факт, что $\mu ,\eta$ являются моноидальными естественными преобразованиями, $(\mathbb {P}$ устанавливается как моноидальная монада.
Монада распределения вероятностей (Жири) .

Следующие монады категории множеств с их декартовой моноидальной структурой не являются моноидальными монадами.

Если $M$ является моноидом, то $X\mapsto X\times M$ является монадой, но вообще нет оснований ожидать на ней моноидальной структуры (если только $M$ коммутативен).

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Мурдейк, Ике (23 марта 2002 г.). «Монады на тензорных категориях» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 168 (2–3): 189–208. дои : 10.1016/S0022-4049(01)00096-2 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Брюгьер, Ален; Алексис Вирелизье (2007). «Монады Хопфа» . Достижения в математике . 215 (2): 679–733. дои : 10.1016/j.aim.2007.04.011 .
^ Перейти обратно: ^а ^б МакКрудден, Пэдди (2002). «Опмоноидальные монады» . Теория и приложения категорий . 10 (19): 469–485. CiteSeerX 10.1.1.13.4385 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Завадовский, Марек (2011). «Формальная теория моноидальных монад. Объекты Клейсли и Эйленберга-Мура». Журнал чистой и прикладной алгебры . 216 (8–9): 1932–1942. arXiv : 1012.0547 . дои : 10.1016/j.jpaa.2012.02.030 . S2CID 119301321 .

[moerdijk-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Мурдейк, Ике (23 марта 2002 г.). «Монады на тензорных категориях» . Журнал чистой и прикладной алгебры . 168 (2–3): 189–208. дои : 10.1016/S0022-4049(01)00096-2 .

[bruguieres-2] Перейти обратно: ^а ^б Брюгьер, Ален; Алексис Вирелизье (2007). «Монады Хопфа» . Достижения в математике . 215 (2): 679–733. дои : 10.1016/j.aim.2007.04.011 .

[:0-3] Перейти обратно: ^а ^б МакКрудден, Пэдди (2002). «Опмоноидальные монады» . Теория и приложения категорий . 10 (19): 469–485. CiteSeerX 10.1.1.13.4385 .

[:1-4] Перейти обратно: ^а ^б Завадовский, Марек (2011). «Формальная теория моноидальных монад. Объекты Клейсли и Эйленберга-Мура». Журнал чистой и прикладной алгебры . 216 (8–9): 1932–1942. arXiv : 1012.0547 . дои : 10.1016/j.jpaa.2012.02.030 . S2CID 119301321 .

[1]

[2]

[3]

[4]