Декартова моноидальная категория

В математике , особенно в области, известной как теория категорий , моноидальная категория , в которой моноидальное («тензорное») произведение является категориальным произведением, называется декартовой моноидальной категорией . Любую категорию с конечными продуктами («категория конечного продукта») можно рассматривать как декартову моноидальную категорию. В любой декартовой моноидальной категории конечным объектом является моноидальная единица. Двойственно , моноидальная категория конечного копроизведения с моноидальной структурой, заданной копроизведением и единицей исходного объекта, называется кокартезовой моноидальной категорией , и любую конечную категорию копроизведения можно рассматривать как кокартову моноидальную категорию.

Декартовы категории с внутренним функтором Hom , который является сопряженным функтором к произведению, называются декартовыми замкнутыми категориями .

Свойства

Декартовы моноидальные категории обладают рядом специальных и важных свойств, таких как существование диагональных отображений Δ _x : x → x ⊗ x и дополнений e _x : x → I для любого объекта x . В приложениях к информатике мы можем рассматривать Δ как «дублирование данных», а e как «удаление данных». Эти карты превращают любой объект в комоноид . Фактически, любой объект в декартовой моноидальной категории уникальным образом становится комоноидом.

Примеры

Декартовы моноидальные категории:

• Set — категория наборов которых является одноэлементный набор . , единицей
• Cat — бикатегория небольших категорий с категорией продукта , где единицей является категория с одним объектом и только его идентификационной картой.

Кокартовы моноидальные категории:

• Vect , категория векторных пространств над заданным полем , может быть сделана кокартовой моноидальной с моноидальным произведением, заданным прямой суммой векторных пространств и тривиального векторного пространства в качестве единицы.
• Ab , категория абелевых групп , с прямой суммой абелевых групп в качестве моноидального произведения и тривиальной группой в качестве единицы.
• В более общем смысле, категория R - Mod (левых) модулей над кольцом R ( коммутативным или нет) становится кокартовой моноидальной категорией с прямой суммой модулей в качестве тензорного произведения и тривиальным модулем в качестве единицы.

В каждой из этих категорий модулей, снабженных кокартовой моноидальной структурой, конечные произведения и копроизведения совпадают (в том смысле, что произведение и копроизведение конечного числа объектов изоморфны). Или, более формально, если f : X ₁ ∐ ... ∐ X _n → X ₁ × ... × X _n является «каноническим» отображением n -арного совместного произведения объектов X _j в их произведение для натурального числа n , в случае, если отображение f является изоморфизмом , мы говорим, что бипродукт для объектов X _j является объектом $X=\bigoplus _{j\in {1,\ldots ,n}}X_{j}$ изоморфен $\coprod _{j\in {1,\ldots ,n}}X_{j}$ и $\prod _{j\in {1,\ldots ,n}}X_{j}$ вместе с картами i _j : X _j → X и p _j : X → X _j такими, что пара ( X , { i _j }) является диаграммой копродукции для объектов X _j и пары ( X , { p _j }) — это диаграмма произведений для объектов X _j , и где p _j ∘ i _j знак равно id _{X j} . Если, кроме того, рассматриваемая категория имеет нулевой объект , так что для любых объектов A и B существует единственное отображение 0 _{A , B} : A → 0 → B , то часто следует, что p _k ∘ i _j = : δ _ij , дельта Кронекера , где мы интерпретируем 0 и 1 как карты 0 и карты идентичности объектов X _j и X _k соответственно. см. в категории «Предварительные добавки» Дополнительную информацию .

См. также

• Декартова закрытая категория