Бипродукт

Эта статья о двойных произведениях в математике. Информацию о побочном продукте процесса см. в разделе Побочный продукт .

В теории категорий и ее приложениях к математике побочный продукт конечного набора объектов в категории с нулевым объектом является одновременно продуктом и копроизведением . В преаддитивной категории понятия произведения и копроизведения совпадают для конечных наборов объектов. Бипроизведение является обобщением конечных прямых сумм модулей .

Определение

Пусть C — категория с нулевыми морфизмами . Учитывая конечный (возможно, пустой) набор объектов 1 _, ..., An _A в C , их побочным произведением является объект ${\textstyle A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$ в C вместе с морфизмами

• ${\textstyle p_{k}\!:A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}\to A_{k}}$ в C ( проекций морфизмы )
• ${\textstyle i_{k}\!:A_{k}\to A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$ ( вложения морфизмы )

удовлетворяющий

• ${\textstyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}}}$, тождественный морфизм $A_{k},$ и
• ${\textstyle p_{l}\circ i_{k}=0}$, нулевой морфизм $A_{k}\to A_{l},$ для $k\neq l,$

и такое, что

• ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},p_{k}\right)}$ это продукт для ${\textstyle A_{k},}$ и
• ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)}$ является побочным продуктом для ${\textstyle A_{k}.}$

Если C преаддитивен и выполняются первые два условия, то каждое из последних двух условий эквивалентно ${\textstyle i_{1}\circ p_{1}+\dots +i_{n}\circ p_{n}=1_{A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}}$ когда n > 0. Пустой или нулевой продукт всегда является конечным объектом в категории, а пустой сопутствующий продукт всегда является начальным объектом в категории. Таким образом, пустой или нулевой побочный продукт всегда является нулевым объектом .

Примеры

В категории абелевых групп всегда существуют двупроизведения, которые задаются прямой суммой . Нулевой объект – это тривиальная группа .

Точно так же бипродукты существуют в категории векторных пространств над полем . Бипродукт снова представляет собой прямую сумму, а нулевой объект — это тривиальное векторное пространство .

В более общем смысле, бипродукты существуют в категории модулей над кольцом .

С другой стороны, побочные продукты не существуют в категории групп . Здесь продукт — это прямой продукт , а побочный продукт — это бесплатный продукт .

не существует бипродуктов Кроме того, в категории множеств . Ибо продукт задается декартовым произведением , тогда как копроизведение задается непересекающимся объединением . В этой категории нет нулевого объекта.

Алгебра блочных матриц опирается на двойные произведения в категориях матриц .

Свойства

Если бипродукт ${\textstyle A\oplus B}$ существует для всех пар объектов A и B в категории C , а C имеет нулевой объект, то существуют все конечные бипродукты, что делает C одновременно декартовой моноидальной категорией и ко-декартовой моноидальной категорией.

Если продукт ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ и побочный продукт ${\textstyle A_{1}\coprod A_{2}}$ оба существуют для некоторой пары объектов A ₁ , A ₂ , то существует единственный морфизм ${\textstyle f:A_{1}\coprod A_{2}\to A_{1}\times A_{2}}$ такой, что

• $p_{k}\circ f\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)$
• $p_{l}\circ f\circ i_{k}=0$ для ${\textstyle k\neq l.}$

Отсюда следует, что бипродукт ${\textstyle A_{1}\oplus A_{2}}$ существует тогда и только тогда, когда f — изоморфизм .

Если C — преаддитивная категория , то каждый конечный продукт является бипродуктом, и каждый конечный копроизведение является бипродуктом. Например, если ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ существует, то существуют единственные морфизмы ${\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}$ такой, что

• $p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)$
• $p_{l}\circ i_{k}=0$ для ${\textstyle k\neq l.}$

Чтобы увидеть это ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ теперь также является копроизведением и, следовательно, бипродуктом, предположим, что у нас есть морфизмы ${\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2}$ для какого-то объекта ${\textstyle X}$. Определять ${\textstyle f:=f_{1}\circ p_{1}+f_{2}\circ p_{2}.}$ Затем ${\textstyle f}$ является морфизмом из ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$ к ${\textstyle X}$, и ${\textstyle f\circ i_{k}=f_{k}}$ для ${\textstyle k=1,2}$.

В этом случае у нас всегда есть

• ${\textstyle i_{1}\circ p_{1}+i_{2}\circ p_{2}=1_{A_{1}\times A_{2}}.}$

Аддитивная категория — это преаддитивная категория, в которой существуют все конечные бипродукты. В частности, побочные продукты всегда существуют в абелевых категориях .

Ссылки

• Борсо, Фрэнсис (2008). Справочник по категорической алгебре 2: Категории и структуры . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-06122-3 .