Блочная матрица

В математике блочная матрица или секционированная матрица — это матрица , которая интерпретируется как разбитая на секции, называемые блоками или подматрицами .

Интуитивно матрицу, интерпретируемую как блочную матрицу, можно визуализировать как исходную матрицу с набором горизонтальных и вертикальных линий, которые разбивают ее или разделяют на набор меньших матриц. Например, представленная ниже матрица 3x4 разделена горизонтальными и вертикальными линиями на четыре блока: верхний левый блок 2x3, верхний правый блок 2x1, нижний левый блок 1x3 и нижний правый блок 1x1.

$\left[{\begin{array}{ccc|c}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\\hline c_{1}&c_{2}&c_{3}&d\end{array}}\right]$

Любую матрицу можно интерпретировать как блочную матрицу одним или несколькими способами, причем каждая интерпретация определяется тем, как разделены ее строки и столбцы.

Это понятие можно уточнить для $n$ к $m$ матрица $M$ путем разделения $n$ в коллекцию ${\text{rowgroups}}$, а затем разбиение $m$ в коллекцию ${\text{colgroups}}$. Исходная матрица затем рассматривается как «сумма» этих групп в том смысле, что $(i,j)$ запись исходной матрицы соответствует 1 к 1 некоторым $(s,t)$ компенсационная запись некоторых $(x,y)$, где $x\in {\text{rowgroups}}$ и $y\in {\text{colgroups}}$.

Алгебра блочных матриц обычно возникает из двойных произведений в категориях матриц.

Блочная матрица элементов размером 168×168 с подматрицами 12×12, 12×24, 24×12 и 24×24. Ненулевые элементы выделены синим цветом, нулевые элементы — серым.

Пример

Матрица

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}1&2&2&7\\1&5&6&2\\3&3&4&5\\3&3&6&7\end{bmatrix}}$

можно представить разделенным на четыре блока, т.

$\mathbf {P} =\left[{\begin{array}{cc|cc}1&2&2&7\\1&5&6&2\\\hline 3&3&4&5\\3&3&6&7\end{array}}\right]$.

Горизонтальные и вертикальные линии не имеют особого математического значения. но являются распространенным способом визуализации раздела. По этому разделу $P$ разбит на четыре блока 2×2, так как

$\mathbf {P} _{11}={\begin{bmatrix}1&2\\1&5\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{12}={\begin{bmatrix}2&7\\6&2\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{21}={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {P} _{22}={\begin{bmatrix}4&5\\6&7\end{bmatrix}}.$

Тогда разделенную матрицу можно записать как

$\mathbf {P} ={\begin{bmatrix}\mathbf {P} _{11}&\mathbf {P} _{12}\\\mathbf {P} _{21}&\mathbf {P} _{22}\end{bmatrix}}.$

Формальное определение

Позволять $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$. Разделение ​ ​ $A$ является представлением $A$ в виде

$A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}$,

где $A_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}$ являются смежными подматрицами, $\sum _{i=1}^{p}m_{i}=m$, и $\sum _{j=1}^{q}n_{j}=n$. Элементы $A_{ij}$ раздела называются блоками .

Согласно этому определению, все блоки в любом столбце должны иметь одинаковое количество столбцов. Аналогично, блоки в любой строке должны иметь одинаковое количество строк.

Методы разделения

Матрицу можно разделить разными способами. Например, матрица $A$ называется разделенным по столбцам, если оно записано как

$A=(a_{1}\ a_{2}\ \cdots \ a_{n})$,

где $a_{j}$ это $j$й столбец $A$. Матрицу также можно разделить на строки :

$A={\begin{bmatrix}a_{1}^{T}\\a_{2}^{T}\\\vdots \\a_{m}^{T}\end{bmatrix}}$,

где $a_{i}^{T}$ это $i$й ряд $A$.

Общие разделы

Часто, мы встречаем раздел 2x2

$A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}$,

особенно в той форме, где $A_{11}$ является скаляром:

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}^{T}\\a_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}$.

Операции с блочной матрицей

Транспонировать

Позволять

$A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1q}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}&A_{p2}&\cdots &A_{pq}\end{bmatrix}}$

где $A_{ij}\in \mathbb {C} ^{k_{i}\times \ell _{j}}$. (Эта матрица $A$ будет повторно использоваться в § Сложении и § Умножении .) Тогда его транспонирование будет

$A^{T}={\begin{bmatrix}A_{11}^{T}&A_{21}^{T}&\cdots &A_{p1}^{T}\\A_{12}^{T}&A_{22}^{T}&\cdots &A_{p2}^{T}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1q}^{T}&A_{2q}^{T}&\cdots &A_{pq}^{T}\end{bmatrix}}$,

и то же уравнение справедливо с заменой транспонирования сопряженным транспонированием.

Блок-транспонирование

Для блочных матриц также можно определить специальную форму транспонирования , при которой отдельные блоки переупорядочиваются, но не транспонируются. Позволять $A=(B_{ij})$ быть $k\times l$ блочная матрица с $m\times n$ блоки $B_{ij}$, транспонирование блока $A$ это $l\times k$ блочная матрица $A^{\mathcal {B}}$ с $m\times n$ блоки $\left(A^{\mathcal {B}}\right)_{ij}=B_{ji}$. Как и в случае с обычным оператором трассировки, транспонирование блоков представляет собой линейное отображение такое, что $(A+C)^{\mathcal {B}}=A^{\mathcal {B}}+C^{\mathcal {B}}$. Однако в целом свойство $(AC)^{\mathcal {B}}=C^{\mathcal {B}}A^{\mathcal {B}}$ не выполняется, если только блоки $A$ и $C$ добираться.

Дополнение

Позволять

$B={\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1s}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{r1}&B_{r2}&\cdots &B_{rs}\end{bmatrix}}$,

где $B_{ij}\in \mathbb {C} ^{m_{i}\times n_{j}}$, и разреши $A$быть матрицей, определенной в § Транспонирование . (Эта матрица $B$ будет повторно использоваться в § Умножении .) Тогда, если $p=r$, $q=s$, $k_{i}=m_{i}$, и $\ell _{j}=n_{j}$, затем

$A+B={\begin{bmatrix}A_{11}+B_{11}&A_{12}+B_{12}&\cdots &A_{1q}+B_{1q}\\A_{21}+B_{21}&A_{22}+B_{22}&\cdots &A_{2q}+B_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{p1}+B_{p1}&A_{p2}+B_{p2}&\cdots &A_{pq}+B_{pq}\end{bmatrix}}$.

Умножение

Можно использовать блочное матричное произведение, которое включает в себя только алгебру над подматрицами факторов. Однако разделение факторов не является произвольным и требует « соответствующих распределений». между двумя матрицами $A$ и $B$ так, чтобы были определены все продукты подматрицы, которые будут использоваться.

Две матрицы $A$ и $B$ называются конформно разделенными для произведения $AB$, когда $A$ и $B$ разбиваются на подматрицы и если умножение $AB$ выполняется с обработкой подматриц, как если бы они были скалярами, но с сохранением порядка, и когда все произведения и суммы задействованных подматриц определены.

- Арак М. Матай и Ханс Дж. Хаубольд, Линейная алгебра: курс для физиков и инженеров

Позволять $A$ — матрица, определенная в § Транспонирование , и пусть $B$быть матрицей, определенной в § Сложение . Тогда матричное произведение

$C=AB$

может выполняться поблочно, что дает $C$ как $(p\times s)$матрица. Матрицы в полученной матрице $C$ рассчитываются путем умножения:

$C_{ij}=\sum _{k=1}^{q}A_{ik}B_{kj}.$

Или, используя обозначение Эйнштейна , которое неявно суммирует по повторяющимся индексам:

$C_{ij}=A_{ik}B_{kj}.$

изображая $C$ в качестве матрицы мы имеем

$C=AB={\begin{bmatrix}\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{1i}B_{is}\\\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{2i}B_{is}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i1}&\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{i2}&\cdots &\sum _{i=1}^{q}A_{pi}B_{is}\end{bmatrix}}$.

Инверсия

Для получения дополнительной информации и вывода с помощью блочного разложения LDU см. дополнение Шура .

Смотрите также: блокировка Гельмерта – Вольфа

Если матрица разделена на четыре блока, ее можно инвертировать поблочно следующим образом:

${P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&-{A}^{-1}{B}\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\\-\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1}&\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}},$

где A и D — квадратные блоки произвольного размера, а B и C согласны с ними при разбиении. Более того, A и дополнение Шура к A в P : P / A = D − CA ⁻¹ B должен быть обратимым.

Аналогично, переставляя блоки:

${P}={\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&-\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\\-{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}&\quad {D}^{-1}+{D}^{-1}{C}\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}\end{bmatrix}}.$

Здесь D и дополнение Шура к D в P : P / D = A − BD ⁻¹ C должен быть обратимым.

Если A и D оба обратимы, то:

${\begin{bmatrix}{A}&{B}\\{C}&{D}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}\left({A}-{B}{D}^{-1}{C}\right)^{-1}&{0}\\{0}&\left({D}-{C}{A}^{-1}{B}\right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{I}&-{B}{D}^{-1}\\-{C}{A}^{-1}&{I}\end{bmatrix}}.$

Согласно тождеству Вайнштейна – Ароншайна , одна из двух матриц в блочно-диагональной матрице обратима ровно тогда, когда обратима другая.

Определить

Формула определителя а $2\times 2$-матрица, приведенная выше, продолжает выполняться при соответствующих дальнейших предположениях для матрицы, состоящей из четырех подматриц. $A,B,C,D$. Самая простая такая формула, которую можно доказать с помощью формулы Лейбница или факторизации с дополнением Шура , имеет вид

$\det {\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det(D)=\det {\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}.$

Используя эту формулу, мы можем вывести полиномы характеристические ${\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}$ и ${\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}$ одинаковы и равны произведению характеристических многочленов $A$ и $D$. Кроме того, если ${\begin{bmatrix}A&0\\C&D\end{bmatrix}}$ или ${\begin{bmatrix}A&B\\0&D\end{bmatrix}}$ диагонализуема , то $A$ и $D$также диагонализуемы. Обратное неверно; просто проверьте ${\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}$.

Если $A$ является обратимым , имеется

$\det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(A)\det \left(D-CA^{-1}B\right),$

и если $D$ обратима, имеется

$\det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(D)\det \left(A-BD^{-1}C\right).$

Если блоки представляют собой квадратные матрицы одинакового размера , дальнейшие формулы справедливы. Например, если $C$ и $D$ ездить на работу (т.е. $CD=DC$), затем

$\det {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=\det(AD-BC).$

Эта формула была обобщена на матрицы, состоящие из более чем $2\times 2$ блоков, опять же при соответствующих условиях коммутативности между отдельными блоками.

Для $A=D$ и $B=C$, справедлива следующая формула (даже если $A$ и $B$ не ездить на работу)

$\det {\begin{bmatrix}A&B\\B&A\end{bmatrix}}=\det(A-B)\det(A+B).$

Специальные типы блочных матриц

Прямые суммы и блочные диагональные матрицы

Прямая сумма

См. Также: Сложение матрицы § Прямая сумма

Для любых произвольных матриц A (размера m × n ) и B (размера p × q ) мы имеем прямую сумму A и B , обозначаемую A  $\oplus$ B и определяется как

${A}\oplus {B}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{bmatrix}}.$

Например,

${\begin{bmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\oplus {\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

Эта операция естественным образом обобщается на массивы произвольной размерности (при условии, что A и B имеют одинаковое количество измерений).

Обратите внимание, что любой элемент прямой суммы двух векторных пространств матриц можно представить как прямую сумму двух матриц.

Блочные диагональные матрицы

См. Также: Диагональная матрица

Блочная диагональная матрица — это блочная матрица, представляющая собой квадратную матрицу , в которой блоки главной диагонали являются квадратными матрицами, а все внедиагональные блоки являются нулевыми матрицами. То есть блочно-диагональная матрица A имеет вид

${A}={\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}$

где A _k — квадратная матрица для всех k = 1,..., n . Другими словами, матрица является прямой суммой A 1 _, ..., An _. A Его также можно обозначить как A ₁ ⊕ A ₂ ⊕ ... An _⊕ или Diag( A ₁ , A ₂ , ... An ₎ , (последний представляет собой тот же формализм, который используется для диагональной матрицы ). Любую квадратную матрицу можно тривиально считать блочной диагональной матрицей только с одним блоком.

Для определителя и следа выполняются следующие свойства:

${\begin{aligned}\det {A}&=\det {A}_{1}\times \cdots \times \det {A}_{n},\end{aligned}}$ и

${\begin{aligned}\operatorname {tr} {A}&=\operatorname {tr} {A}_{1}+\cdots +\operatorname {tr} {A}_{n}.\end{aligned}}$

Блочная диагональная матрица обратима тогда и только тогда, когда каждый из ее блоков главной диагонали обратим, и в этом случае ее обратная матрица является другой блочной диагональной матрицей, заданной формулой

${\begin{bmatrix}{A}_{1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{A}_{1}^{-1}&{0}&\cdots &{0}\\{0}&{A}_{2}^{-1}&\cdots &{0}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{0}&{0}&\cdots &{A}_{n}^{-1}\end{bmatrix}}.$

Собственные значения и собственные векторы ${A}$ являются просто теми из ${A}_{k}$комбинированное.

Блокировать трехдиагональные матрицы

См. Также: Трехдиагональная матрица

Блочная трехдиагональная матрица — это еще одна специальная блочная матрица, которая, как и блочная диагональная матрица, представляет собой квадратную матрицу , имеющую квадратные матрицы (блоки) в нижней, главной и верхней диагонали, а все остальные блоки являются нулевыми матрицами. По сути, это трехдиагональная матрица , но вместо скаляров имеет подматрицы. Блочная трехдиагональная матрица $A$ имеет форму

${A}={\begin{bmatrix}{B}_{1}&{C}_{1}&&&\cdots &&{0}\\{A}_{2}&{B}_{2}&{C}_{2}&&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&&\vdots \\&&{A}_{k}&{B}_{k}&{C}_{k}&&\\\vdots &&&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&&{A}_{n-1}&{B}_{n-1}&{C}_{n-1}\\{0}&&\cdots &&&{A}_{n}&{B}_{n}\end{bmatrix}}$

где ${A}_{k}$, ${B}_{k}$ и ${C}_{k}$ — квадратные подматрицы нижней, главной и верхней диагонали соответственно.

Блочные трехдиагональные матрицы часто встречаются при численном решении инженерных задач (например, вычислительной гидродинамики ). оптимизированные численные методы LU-факторизации. Доступны и, следовательно, эффективные алгоритмы решения систем уравнений с блочной трехдиагональной матрицей в качестве матрицы коэффициентов. Алгоритм Томаса , используемый для эффективного решения систем уравнений, включающих трехдиагональную матрицу, также может применяться с использованием матричных операций для блокировки трехдиагональных матриц (см. также Блочное LU-разложение ).

Блочные треугольные матрицы

См. Также: Треугольная матрица

Верхний блок треугольный

Матрица $A$ верхний блок треугольный (или блок верхний треугольный ) если

$A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}$,

где $A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}$ для всех $i,j=1,\ldots ,k$.

Нижний блок треугольный

Матрица $A$ является нижним блоком треугольным , если

$A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}$,

где $A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}$ для всех $i,j=1,\ldots ,k$.

Блочные матрицы Теплица

Смотрите также: матрица Теплица

Блочная матрица Теплица — это еще одна специальная блочная матрица, которая содержит блоки, повторяющиеся по диагонали матрицы, поскольку в матрице Теплица элементы повторяются по диагонали.

Матрица $A$ является блочным Теплицем , если $A_{(i,j)}=A_{(k,l)}$ для всех $k-i=l-j$, то есть,

$A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{4}&A_{1}&A_{2}&\cdots \\A_{5}&A_{4}&A_{1}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$,

где $A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}$.

Блочные матрицы Ханкеля

Смотрите также: матрица Ханкеля

Матрица $A$ является блоком Ханкеля , если $A_{(i,j)}=A_{(k,l)}$ для всех $i+j=k+l$, то есть,

$A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&A_{3}&\cdots \\A_{2}&A_{3}&A_{4}&\cdots \\A_{3}&A_{4}&A_{5}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$,

где $A_{i}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times m_{i}}$.

См. также

• Произведение Кронекера (прямое произведение матрицы, приводящее к блочной матрице)
• Жорданова нормальная форма (каноническая форма линейного оператора в конечномерном комплексном векторном пространстве)
• Алгоритм Штрассена (алгоритм умножения матриц, который быстрее обычного алгоритма умножения матриц)

Ссылки

• Стрэнг, Гилберт (1999). «Лекция 3: Умножение и обратные матрицы» . Программное обеспечение открытого курса MIT. 18:30–21:10.