Bézout Matrix

В математике матрица Bézout (или Bézoutian или Bezoutiant ) представляет собой специальную квадратную матрицу , связанную с двумя полиномами , представленная Джеймсом Джозефом Сильвестриром в 1853 году и Артуром Кейли в 1857 году и названной в честь Этьена Безоут . Bézoutian также может ссылаться на определяющий фактор этой матрицы, которая равна получению двух полиномов. Матрицы Bézout иногда используются для проверки стабильности данного полинома.

Определение

Позволять $f(z)$ и $g(z)$ быть двумя сложными полиномами степени максимум N ,

$f(z)=\sum _{i=0}^{n}u_{i}z^{i},\qquad g(z)=\sum _{i=0}^{n}v_{i}z^{i}.$

(Обратите внимание, что любой коэффициент $u_{i}$ или $v_{i}$ может быть ноль.) Матрица Bézout of Order N, с полиномами F и G связанную

$B_{n}(f,g)=\left(b_{ij}\right)_{i,j=0,\dots ,n-1}$

где записи $b_{ij}$ результат личности

${\frac {f(x)g(y)-f(y)g(x)}{x-y}}=\sum _{i,j=0}^{n-1}b_{ij}\,x^{i}\,y^{j}.$

Это комплексная матрица размера n × n , и ее элементы таковы, что если мы позволим $m_{ij}=\min\{i,n-1-j\}$ для каждого $i,j=0,\dots ,n-1$, затем:

$b_{ij}=\sum _{k=0}^{m_{ij}}(u_{j+k+1}v_{i-k}-u_{i-k}v_{j+k+1}).$

Каждой матрице Безу можно сопоставить следующую билинейную форму , называемую Безутианом:

$\operatorname {Bez} :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :(x,y)\mapsto \operatorname {Bez} (x,y)=x^{*}B_{n}(f,g)\,y.$

Примеры

• При n = 3 имеем для любых многочленов f и g степени (не более) 3:

$B_{3}(f,g)=\left[{\begin{matrix}u_{1}v_{0}-u_{0}v_{1}&u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}\\u_{2}v_{0}-u_{0}v_{2}&u_{2}v_{1}-u_{1}v_{2}+u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}\\u_{3}v_{0}-u_{0}v_{3}&u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3}&u_{3}v_{2}-u_{2}v_{3}\end{matrix}}\right]\!.$

• Позволять $f(x)=3x^{3}-x$ и $g(x)=5x^{2}+1$ быть двумя полиномами. Затем:

$B_{4}(f,g)=\left[{\begin{matrix}-1&0&3&0\\0&8&0&0\\3&0&15&0\\0&0&0&0\end{matrix}}\right]\!.$

Последний ряд и столбец - все равны, так как F и G имеют степень строго меньше N (что 4). Другие ноль записи связаны с каждым $i=0,\dots ,n$, или $u_{i}$ или $v_{i}$ ноль.

Характеристики

• $B_{n}(f,g)$ симметричный ; (как матрица)
• $B_{n}(f,g)=-B_{n}(g,f)$;
• $B_{n}(f,f)=0$;
• $(f,g)\mapsto B_{n}(f,g)$ является билинейной функцией;
• $B_{n}(f,g)$ это настоящая матрица, если у F и G есть реальные коэффициенты;
• $B_{n}(f,g)$ Несоответственно с $n=\max(\deg(f),\deg(g))$ тогда и только тогда, когда у F и G не имеют общих корней .
• $B_{n}(f,g)$ с $n=\max(\deg(f),\deg(g))$ имеет определитель который является результатом f , и g .

Приложения

Важное применение матриц Безу можно найти в теории управления . Чтобы убедиться в этом, пусть f ( z ) будет комплексным многочленом степени n и обозначит через q и p вещественные многочлены такие, что f (i y ) = q ( y ) + i p ( y ) (где y вещественный). Мы также обозначаем r для ранга и σ для подписи $B_{n}(p,q)$. Тогда у нас есть следующие утверждения:

• f ( z ) имеет n − r общих корней со своим сопряженным;
• левые r корни f ( z ) расположены так, что:
  • ( r + σ )/2 из них лежат в открытой левой полуплоскости, а
  • ( r − σ )/2 лежат в открытой правой полуплоскости;
• f устойчив по Гурвицу тогда и только тогда, когда $B_{n}(p,q)$ является положительно определенным .

Третье утверждение дает необходимое и достаточное условие устойчивости. Кроме того, первое утверждение имеет некоторое сходство с результатом, касающимся матриц Сильвестра , а второе можно связать с теоремой Рауса–Гурвица .

Ссылки

• Кэли, Артур (1857), «Заметка о методе устранения Безу» , Дж. Рейн Ангью. Математика. , 53 : 366–367, doi : 10.1515/crll.1857.53.366
• Крейн, М.Г.; Наймарк, М.А. (1981) [1936], «Метод симметричных и эрмитовых форм в теории разделения корней алгебраических уравнений», Линейная и полилинейная алгебра , 10 (4): 265–308, doi : 10.1080/ 03081088108817420 , ISSN   0308-1087 , МР   0638124
• Пан, Виктор; Бини, Дарио (1994). Полиномиальные и матричные вычисления . Базель, Швейцария: Биркхойзер. ISBN  0-8176-3786-9 .
• Причард, Энтони Дж.; Хинрихсен, Дидерих (2005). Теория математических систем I: моделирование, анализ пространства состояний, устойчивость и устойчивость . Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-44125-5 .
• Сильвестр, Джеймс Джозеф (1853), «О теории сизигетических отношений двух рациональных интегральных функций, включающая приложение к теории функций Штурма и теории наибольшей алгебраической общей меры» , Философские труды Лондонского королевского общества , 143 , Королевское общество: 407–548, doi : 10.1098/rstl.1853.0018 , ISSN   0080-4614 , JSTOR   108572