Теорема Рауса – Гурвица

В математике теорема Рауса-Гурвица дает тест, позволяющий определить, лежат ли все корни данного многочлена в левой полуплоскости. Полиномы с этим свойством называются устойчивыми полиномами Гурвица . Теорема Рауса-Гурвица важна в динамических системах и теории управления , поскольку характеристический полином дифференциальных уравнений устойчивой имеет корни , линейной системы ограниченные левой полуплоскостью (отрицательные собственные значения). Таким образом, теорема обеспечивает математический тест, критерий устойчивости Рауса – Гурвица , чтобы определить, устойчива ли линейная динамическая система без решения системы. Теорема Рауса-Гурвица была доказана в 1895 году и названа в честь Эдварда Джона Рута и Адольфа Гурвица .

Обозначения

Пусть $f (z)$ — полином (с комплексными коэффициентами ) степени $n$ без корней на мнимой оси (т. е. линия $z = ic$ , где $i$ — мнимая единица , а $c$ — действительное число ). Определим действительные полиномы $P 0 (y)$ и $P 1 (y)$ как $f (iy) = P 0 (y) + iP 1 (y)$ , соответственно действительную и мнимую части f $на$ воображаемой прямой.

Кроме того, обозначим через:

$p$ число корней $f$ в левой полуплоскости (с учетом кратностей);
$q$ количество корней $f$ в правой полуплоскости (с учетом кратностей);
$Δ arg f (iy)$ изменение аргумента $f (iy),$ когда $y$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty$ ;
$w (x)$ число вариаций обобщенной цепочки Штурма, из $P0 полученной (y)$ и $P1 y ();$ применением алгоритма Евклида —
$я +\infty -\infty r$ — индекс Коши r рациональной функции $на$ вещественной прямой .

Заявление

С введенными выше обозначениями теорема Рауса – Гурвица утверждает, что:

p-q={\frac {1}{\pi }}\Delta \arg f(iy)=\left.{\begin{cases}+I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {P_{0}(y)}{P_{1}(y)}}&{\text{for odd degree}}\\[10pt]-I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {P_{1}(y)}{P_{0}(y)}}&{\text{for even degree}}\end{cases}}\right\}=w(+\infty )-w(-\infty ).

Из первого равенства мы можем, например, заключить, что когда изменение аргумента $f (iy)$ положительное, то $f (z)$ будет иметь больше корней слева от мнимой оси, чем справа от нее. Равенство $p - q = w (+\infty) - w (-\infty)$ можно рассматривать как комплексный аналог теоремы Штурма . Обратите внимание на различия: в теореме Штурма левый член равен $p + q$ , а $w$ в правом члене представляет собой количество вариаций цепи Штурма ( $w$ в настоящей теореме относится к обобщенной цепочке Штурма).

Критерий устойчивости Рауса – Гурвица.

Мы можем легко определить критерий устойчивости, используя эту теорему, поскольку тривиально, что $f (z)$ устойчив по Гурвицу тогда и только тогда, когда $p - q = n$ . Таким образом, мы получаем условия на коэффициенты $f (z),$ налагая $w (+\infty) = n$ и $w (-\infty) = 0$ .

См. также

Пластиковое соотношение

Ссылки

Раут, Э.Дж. (1877). Трактат об устойчивости данного состояния движения, особенно устойчивого движения . Макмиллан и компания.
Гурвиц, А. (1964). «Об условиях, при которых уравнение имеет только корни с отрицательными действительными частями». В Беллмане, Ричард ; Калаба, Роберт Э. (ред.). Избранные статьи по математическим направлениям теории управления . Нью-Йорк: Дувр.
Гантмахер, Франция (2005) [1959]. Приложения теории матриц . Нью-Йорк: Дувр. стр. 226–233. ISBN 0-486-44554-2 .
Рахман, QI; Шмайссер, Г. (2002). Аналитическая теория полиномов . Монографии Лондонского математического общества. Новая серия. Том. 26. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-853493-0 . Збл 1072.30006 .
Объяснение критерия Рауса – Гурвица (2020) ^{[ 1 ]}

Внешние ссылки

Запись в Mathworld

^ Бодсон, Марк (февраль 2020 г.). «Объяснение критерия Рауса-Гурвица: учебное пособие [фокус на образовании]» . Журнал IEEE Control Systems . 40 (1): 45–51. дои : 10.1109/MCS.2019.2949974 . ISSN 1941-000X . S2CID 210692106 .

[1] Бодсон, Марк (февраль 2020 г.). «Объяснение критерия Рауса-Гурвица: учебное пособие [фокус на образовании]» . Журнал IEEE Control Systems . 40 (1): 45–51. дои : 10.1109/MCS.2019.2949974 . ISSN 1941-000X . S2CID 210692106 .

[ 1 ]