Получение массива Рауса

Массив Рауса — табличный метод, позволяющий установить устойчивость системы, используя только коэффициенты характеристического полинома . и массив Рауса, занимающие центральное место в области проектирования систем управления , Теорема Рауса-Гурвица возникают благодаря использованию алгоритма Евклида и теоремы Штурма при оценке индексов Коши .

Индекс Коши

Учитывая систему:

${\begin{aligned}f(x)&{}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}&{}\quad (1)\\&{}=(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})&{}\quad (2)\\\end{aligned}}$

Предполагая отсутствие корней $f(x)=0$ лежат на воображаемой оси и, полагая

$N$ = Количество корней $f(x)=0$ с отрицательными действительными частями, и

$P$ = Количество корней $f(x)=0$ с положительными действительными частями

тогда у нас есть

$N+P=n\quad (3)$

Выражение $f(x)$ в полярной форме имеем

$f(x)=\rho (x)e^{j\theta (x)}\quad (4)$

где

$\rho (x)={\sqrt {{\mathfrak {Re}}^{2}[f(x)]+{\mathfrak {Im}}^{2}[f(x)]}}\quad (5)$

и

$\theta (x)=\tan ^{-1}{\big (}{\mathfrak {Im}}[f(x)]/{\mathfrak {Re}}[f(x)]{\big )}\quad (6)$

из (2) отметим, что

$\theta (x)=\theta _{r_{1}}(x)+\theta _{r_{2}}(x)+\cdots +\theta _{r_{n}}(x)\quad (7)$

где

$\theta _{r_{i}}(x)=\angle (x-r_{i})\quad (8)$

Теперь, если я ^й корень $f(x)=0$ имеет положительную действительную часть, то ( используя обозначение y=(RE[y],IM[y]) )

${\begin{aligned}\theta _{r_{i}}(x){\big |}_{x=-j\infty }&=\angle (x-r_{i}){\big |}_{x=-j\infty }\\&=\angle (0-{\mathfrak {Re}}[r_{i}],-\infty -{\mathfrak {Im}}[r_{i}])\\&=\angle (-|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,-\infty )\\&=\pi +\lim _{\phi \to \infty }\tan ^{-1}\phi ={\frac {3\pi }{2}}\quad (9)\\\end{aligned}}$

и

$\theta _{r_{i}}(x){\big |}_{x=j0}=\angle (-|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,0)=\pi -\tan ^{-1}0=\pi \quad (10)$

и

$\theta _{r_{i}}(x){\big |}_{x=j\infty }=\angle (-|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,\infty )=\pi -\lim _{\phi \to \infty }\tan ^{-1}\phi ={\frac {\pi }{2}}\quad (11)$

Аналогично, если я ^й корень $f(x)=0$ имеет отрицательную действительную часть,

${\begin{aligned}\theta _{r_{i}}(x){\big |}_{x=-j\infty }&=\angle (x-r_{i}){\big |}_{x=-j\infty }\\&=\angle (0-{\mathfrak {Re}}[r_{i}],-\infty -{\mathfrak {Im}}[r_{i}])\\&=\angle (|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,-\infty )\\&=0-\lim _{\phi \to \infty }\tan ^{1}\phi =-{\frac {\pi }{2}}\quad (12)\\\end{aligned}}$

и

$\theta _{r_{i}}(x){\big |}_{x=j0}=\angle (|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,0)=\tan ^{-1}0=0\,\quad (13)$

и

$\theta _{r_{i}}(x){\big |}_{x=j\infty }=\angle (|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,\infty )=\lim _{\phi \to \infty }\tan ^{-1}\phi ={\frac {\pi }{2}}\,\quad (14)$

Из (9) по (11) находим, что $\theta _{r_{i}}(x){\Big |}_{x=-j\infty }^{x=j\infty }=-\pi$ когда я ^й корень $f(x)$ имеет положительную действительную часть, и из (12) по (14) находим, что $\theta _{r_{i}}(x){\Big |}_{x=-j\infty }^{x=j\infty }=\pi$ когда я ^й корень $f(x)$ имеет отрицательную действительную часть. Таким образом,

$\theta (x){\Big |}_{x=-j\infty }^{x=j\infty }=\angle (x-r_{1}){\Big |}_{x=-j\infty }^{x=j\infty }+\angle (x-r_{2}){\Big |}_{x=-j\infty }^{x=j\infty }+\cdots +\angle (x-r_{n}){\Big |}_{x=-j\infty }^{x=j\infty }=\pi N-\pi P\quad (15)$

Итак, если мы определим

$\Delta ={\frac {1}{\pi }}\theta (x){\Big |}_{-j\infty }^{j\infty }\quad (16)$

тогда у нас есть отношения

$N-P=\Delta \quad (17)$

и объединение (3) и (17) дает нам

$N={\frac {n+\Delta }{2}}$ и $P={\frac {n-\Delta }{2}}\quad (18)$

Следовательно, учитывая уравнение $f(x)$ степени $n$ нам нужно только оценить эту функцию $\Delta$ определить $N$, количество корней с отрицательными действительными частями и $P$, количество корней с положительными действительными частями.

Рисунок 1

$\tan(\theta )$ против $\theta$

В соответствии с (6) и рис. 1 график $\tan(\theta )$ против $\theta$, варьируется $x$ на интервале (a,b), где $\theta _{a}=\theta (x)|_{x=ja}$ и $\theta _{b}=\theta (x)|_{x=jb}$ являются целыми числами, кратными $\pi$, это изменение вызывает функцию $\theta (x)$ увеличиться на $\pi$, указывает на то, что при путешествии из пункта А в пункт Б, $\theta$ «прыгнул» с $+\infty$ к $-\infty$ еще раз, чем он спрыгнул с $-\infty$ к $+\infty$. Аналогично, если мы варьируем $x$ на интервале (a,b) это изменение вызывает $\theta (x)$ уменьшиться на $\pi$, где снова $\theta$ кратно $\pi$ в обоих $x=ja$ и $x=jb$, подразумевает, что $\tan \theta (x)={\mathfrak {Im}}[f(x)]/{\mathfrak {Re}}[f(x)]$ спрыгнул с $-\infty$ к $+\infty$ еще раз, чем он спрыгнул с $+\infty$ к $-\infty$ как $x$ менялась на указанном интервале.

Таким образом, $\theta (x){\Big |}_{-j\infty }^{j\infty }$ является $\pi$ раз разницу между количеством точек, в которых ${\mathfrak {Im}}[f(x)]/{\mathfrak {Re}}[f(x)]$ прыгает с $-\infty$ к $+\infty$ и количество точек, в которых ${\mathfrak {Im}}[f(x)]/{\mathfrak {Re}}[f(x)]$ прыгает с $+\infty$ к $-\infty$ как $x$ колеблется в интервале $(-j\infty ,+j\infty \,)$ при условии, что в $x=\pm j\infty$, $\tan[\theta (x)]$ определяется.

Рисунок 2

$-\cot(\theta )$ против $\theta$

В случае, когда отправная точка находится на несоответствии (т.е. $\theta _{a}=\pi /2\pm i\pi$, i = 0, 1, 2, ...) конечная точка также будет находиться на несоответствии по уравнению (17) (поскольку $N$ является целым числом и $P$ целое число, $\Delta$ будет целым числом). В данном случае этого же показателя (разницы положительных и отрицательных скачков) мы можем добиться, сдвинув оси касательной функции на $\pi /2$, путем добавления $\pi /2$ к $\theta$. Таким образом, наш индекс теперь полностью определен для любой комбинации коэффициентов в $f(x)$ оценивая $\tan[\theta ]={\mathfrak {Im}}[f(x)]/{\mathfrak {Re}}[f(x)]$ на интервале (a,b) = $(+j\infty ,-j\infty )$ когда наша начальная (и, следовательно, конечная) точка не является несоответствием, и оценивая

$\tan[\theta '(x)]=\tan[\theta +\pi /2]=-\cot[\theta (x)]=-{\mathfrak {Re}}[f(x)]/{\mathfrak {Im}}[f(x)]\quad (19)$

в течение указанного интервала, когда наша отправная точка находится в несоответствии.Эта разница, $\Delta$, отрицательных и положительных несоответствий прыжков, встречающихся при прохождении $x$ от $-j\infty$ к $+j\infty$ называется индексом Коши тангенса фазового угла, причем фазовый угол равен $\theta (x)$ или $\theta '(x)$, в зависимости от того, как $\theta _{a}$ является целым числом, кратным $\pi$ или нет.

Критерий Рауса

Чтобы вывести критерий Рауса, сначала мы воспользуемся другими обозначениями, чтобы различать четные и нечетные члены $f(x)$:

$f(x)=a_{0}x^{n}+b_{0}x^{n-1}+a_{1}x^{n-2}+b_{1}x^{n-3}+\cdots \quad (20)$

Теперь у нас есть:

${\begin{aligned}f(j\omega )&=a_{0}(j\omega )^{n}+b_{0}(j\omega )^{n-1}+a_{1}(j\omega )^{n-2}+b_{1}(j\omega )^{n-3}+\cdots &{}\quad (21)\\&=a_{0}(j\omega )^{n}+a_{1}(j\omega )^{n-2}+a_{2}(j\omega )^{n-4}+\cdots &{}\quad (22)\\&+b_{0}(j\omega )^{n-1}+b_{1}(j\omega )^{n-3}+b_{2}(j\omega )^{n-5}+\cdots \\\end{aligned}}$

Следовательно, если $n$ даже,

${\begin{aligned}f(j\omega )&=(-1)^{n/2}{\big [}a_{0}\omega ^{n}-a_{1}\omega ^{n-2}+a_{2}\omega ^{n-4}-\cdots {\big ]}&{}\quad (23)\\&+j(-1)^{(n/2)-1}{\big [}b_{0}\omega ^{n-1}-b_{1}\omega ^{n-3}+b_{2}\omega ^{n-5}-\cdots {\big ]}&{}\\\end{aligned}}$

и если $n$ странно:

${\begin{aligned}f(j\omega )&=j(-1)^{(n-1)/2}{\big [}a_{0}\omega ^{n}-a_{1}\omega ^{n-2}+a_{2}\omega ^{n-4}-\cdots {\big ]}&{}\quad (24)\\&+(-1)^{(n-1)/2}{\big [}b_{0}\omega ^{n-1}-b_{1}\omega ^{n-3}+b_{2}\omega ^{n-5}-\cdots {\big ]}&{}\\\end{aligned}}$

Теперь заметим, что если $n$ является нечетным целым числом, то в силу (3) $N+P$ странно. Если $N+P$ является нечетным целым числом, то $N-P$ это тоже странно. Точно так же этот же аргумент показывает, что когда $n$ даже, $N-P$ будет четным. Уравнение (15) показывает, что если $N-P$ даже, $\theta$ является целым числом, кратным $\pi$. Поэтому, $\tan(\theta )$ определяется для $n$ четный, и поэтому является подходящим индексом для использования, когда n четное, и аналогично $\tan(\theta ')=\tan(\theta +\pi )=-\cot(\theta )$ определяется для $n$ нечетно, что делает его подходящим индексом в последнем случае.

Таким образом, из (6) и (23) для $n$ даже:

$\Delta =I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {-{\mathfrak {Im}}[f(x)]}{{\mathfrak {Re}}[f(x)]}}=I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {b_{0}\omega ^{n-1}-b_{1}\omega ^{n-3}+\cdots }{a_{0}\omega ^{n}-a_{1}\omega ^{n-2}+\ldots }}\quad (25)$

и из (19) и (24) для $n$ странный:

$\Delta =I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {{\mathfrak {Re}}[f(x)]}{{\mathfrak {Im}}[f(x)]}}=I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {b_{0}\omega ^{n-1}-b_{1}\omega ^{n-3}+\ldots }{a_{0}\omega ^{n}-a_{1}\omega ^{n-2}+\ldots }}\quad (26)$

И вот, мы оцениваем один и тот же индекс Коши для обоих: $\Delta =I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {b_{0}\omega ^{n-1}-b_{1}\omega ^{n-3}+\ldots }{a_{0}\omega ^{n}-a_{1}\omega ^{n-2}+\ldots }}\quad (27)$

Теорема Штурма

Штурм предлагает нам метод оценки $\Delta =I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {f_{2}(x)}{f_{1}(x)}}$. Его теорема гласит следующее:

Дана последовательность многочленов $f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{m}(x)$ где:

1) Если $f_{k}(x)=0$ затем $f_{k-1}(x)\neq 0$, $f_{k+1}(x)\neq 0$, и $\operatorname {sign} [f_{k-1}(x)]=-\operatorname {sign} [f_{k+1}(x)]$

2) $f_{m}(x)\neq 0$ для $-\infty <x<\infty$

и мы определяем $V(x)$ как количество смен знака в последовательности $f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{m}(x)$ за фиксированную стоимость $x$, затем:

$\Delta =I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {f_{2}(x)}{f_{1}(x)}}=V(-\infty )-V(+\infty )\quad (28)$

Последовательность, удовлетворяющую этим требованиям, получается с помощью алгоритма Евклида , который заключается в следующем:

Начиная с $f_{1}(x)$ и $f_{2}(x)$, и обозначая остаток $f_{1}(x)/f_{2}(x)$ к $f_{3}(x)$ и аналогично обозначая остаток $f_{2}(x)/f_{3}(x)$ к $f_{4}(x)$и т. д., получим соотношения:

${\begin{aligned}&f_{1}(x)=q_{1}(x)f_{2}(x)-f_{3}(x)\quad (29)\\&f_{2}(x)=q_{2}(x)f_{3}(x)-f_{4}(x)\\&\ldots \\&f_{m-1}(x)=q_{m-1}(x)f_{m}(x)\\\end{aligned}}$

или вообще

$f_{k-1}(x)=q_{k-1}(x)f_{k}(x)-f_{k+1}(x)$

где последний ненулевой остаток, $f_{m}(x)$ следовательно, будет наибольшим общим делителем $f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{m-1}(x)$. Можно заметить, что построенная таким образом последовательность будет удовлетворять условиям теоремы Штурма, поэтому разработан алгоритм определения указанного индекса.

Именно при применении теоремы Штурма (28) к (29) посредством использования описанного выше алгоритма Евклида формируется матрица Рауса.

Мы получаем

$f_{3}(\omega )={\frac {a_{0}}{b_{0}}}f_{2}(\omega )-f_{1}(\omega )\quad (30)$

и определяем коэффициенты этого остатка по $c_{0}$, $-c_{1}$, $c_{2}$, $-c_{3}$и т. д., делает наш сформированный остаток

$f_{3}(\omega )=c_{0}\omega ^{n-2}-c_{1}\omega ^{n-4}+c_{2}\omega ^{n-6}-\cdots \quad (31)$

где

$c_{0}=a_{1}-{\frac {a_{0}}{b_{0}}}b_{1}={\frac {b_{0}a_{1}-a_{0}b_{1}}{b_{0}}};c_{1}=a_{2}-{\frac {a_{0}}{b_{0}}}b_{2}={\frac {b_{0}a_{2}-a_{0}b_{2}}{b_{0}}};\ldots \quad (32)$

Продолжение алгоритма Евклида с этими новыми коэффициентами дает нам

$f_{4}(\omega )={\frac {b_{0}}{c_{0}}}f_{3}(\omega )-f_{2}(\omega )\quad (33)$

где мы снова обозначим коэффициенты остатка $f_{4}(\omega )$ к $d_{0}$, $-d_{1}$, $d_{2}$, $-d_{3}$,составив наш образовавшийся остаток

$f_{4}(\omega )=d_{0}\omega ^{n-3}-d_{1}\omega ^{n-5}+d_{2}\omega ^{n-7}-\cdots \quad (34)$

и давая нам

$d_{0}=b_{1}-{\frac {b_{0}}{c_{0}}}c_{1}={\frac {c_{0}b_{1}-b_{0}c_{1}}{c_{0}}};d_{1}=b_{2}-{\frac {b_{0}}{c_{0}}}c_{2}={\frac {c_{0}b_{2}-b_{0}c_{2}}{c_{0}}};\ldots \quad (35)$

Строки массива Рауса определяются именно этим алгоритмом при применении к коэффициентам (20). Стоит отметить наблюдение, что в регулярном случае полиномы $f_{1}(\omega )$ и $f_{2}(\omega )$ имеют в качестве наивысшего общего делителя $f_{n+1}(\omega )$ и таким образом будет $n$ многочлены в цепочке $f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{m}(x)$.

Заметим теперь, что при определении знаков членов последовательности многочленов $f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{m}(x)$ что в $\omega =\pm \infty$ доминирующая сила $\omega$ будет первым членом каждого из этих полиномов, и, следовательно, только эти коэффициенты, соответствующие высшим степеням $\omega$ в $f_{1}(x),f_{2}(x),\dots$, и $f_{m}(x)$, которые $a_{0}$, $b_{0}$, $c_{0}$, $d_{0}$, ... определить признаки $f_{1}(x)$, $f_{2}(x)$, ..., $f_{m}(x)$ в $\omega =\pm \infty$.

Итак, мы получаем $V(+\infty )=V(a_{0},b_{0},c_{0},d_{0},\dots )$ то есть, $V(+\infty )$ — количество смен знака в последовательности $a_{0}\infty ^{n}$, $b_{0}\infty ^{n-1}$, $c_{0}\infty ^{n-2}$, ... что представляет собой количество смен знака в последовательности $a_{0}$, $b_{0}$, $c_{0}$, $d_{0}$, ... и $V(-\infty )=V(a_{0},-b_{0},c_{0},-d_{0},...)$; то есть $V(-\infty )$ — количество смен знака в последовательности $a_{0}(-\infty )^{n}$, $b_{0}(-\infty )^{n-1}$, $c_{0}(-\infty )^{n-2}$, ... что представляет собой количество смен знака в последовательности $a_{0}$, $-b_{0}$, $c_{0}$, $-d_{0}$, ...

Поскольку наша сеть $a_{0}$, $b_{0}$, $c_{0}$, $d_{0}$, ... будет иметь $n$ члены, ясно, что $V(+\infty )+V(-\infty )=n$ поскольку внутри $V(a_{0},b_{0},c_{0},d_{0},\dots )$ если идти от $a_{0}$ к $b_{0}$ смены знака не произошло, в течение $V(a_{0},-b_{0},c_{0},-d_{0},\dots )$ иду от $a_{0}$ к $-b_{0}$ есть у одного, и так же у всех $n$ переходы (не будет слагаемых, равных нулю), дающие нам $n$ полное изменение знака.

Как $\Delta =V(-\infty )-V(+\infty )$ и $n=V(+\infty )+V(-\infty )$, и из (18) $P=(n-\Delta /2)$, у нас это есть $P=V(+\infty )=V(a_{0},b_{0},c_{0},d_{0},\dots )$ и вывели теорему Рауса -

Количество корней вещественного многочлена $f(z)$ которые лежат в правой полуплоскости ${\mathfrak {Re}}(r_{i})>0$ равно числу смен знака в первом столбце схемы Рауса.

А для стабильного случая, когда $P=0$ затем $V(a_{0},b_{0},c_{0},d_{0},\dots )=0$ откуда мы имеем знаменитый критерий Рауса:

Чтобы все корни многочлена $f(z)$ чтобы иметь отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца схемы Рауса были отличны от нуля и имели один и тот же знак.

Ссылки

• Гурвиц А., «Об условиях, при которых уравнение имеет только корни с отрицательными действительными частями», Rpt. в избранных статьях по математическим направлениям теории управления / Под ред. RT Ballman и др. Нью-Йорк: Дувр, 1964 г.
• Раут, Э.Дж., Трактат об устойчивости данного состояния движения. Лондон: Макмиллан, 1877. Rpt. в «Устойчивости движения», под ред. А.Т. Фуллер. Лондон: Тейлор и Фрэнсис, 1975.
• Феликс Гантмахер (переводчик Дж. Л. Бреннера) (1959) Приложения теории матриц , стр. 177–80, Нью-Йорк: Interscience.