Стабильный полином

В контексте характеристического полинома дифференциального уравнения или разностного уравнения полином , называется устойчивым если либо:

• все его корни лежат в открытой левой полуплоскости , или
• все его корни лежат в открытом единичном диске .

Первое условие обеспечивает устойчивость линейных систем с непрерывным временем , а второй случай относится к устойчивости линейных систем с дискретным временем . Полином с первым свойством иногда называют полиномом Гурвица , а со вторым свойством - полиномом Шура. Устойчивые полиномы возникают в теории управления и математической теории.дифференциальных и разностных уравнений. Линейная, инвариантная во времени система (см. теорию систем LTI ) называется BIBO-стабильной, если каждый ограниченный вход производит ограниченный выход. Линейная система является BIBO-стабильной, если ее характеристический многочлен устойчив. Знаменатель должен быть устойчивым по Гурвицу, если система находится в непрерывном времени, и устойчивым по Шуру, если она находится в дискретном времени. На практике стабильность определяется применением любого из нескольких критериев стабильности .

Свойства

• Теорема Рауса-Гурвица предоставляет алгоритм определения того, является ли данный многочлен устойчивым по Гурвицу, который реализуется в тестах Рауса-Гурвица и Льенара-Шипарта .
• Чтобы проверить, является ли данный многочлен P ( степени d ) устойчивым по Шуру, достаточно применить эту теорему к преобразованному многочлену

$Q(z)=(z-1)^{d}P\left({{z+1} \over {z-1}}\right)$

полученное после преобразования Мёбиуса $z\mapsto {{z+1} \over {z-1}}$ который отображает левую полуплоскость в открытый единичный круг: P устойчив по Шуру тогда и только тогда, когда Q устойчив по Гурвицу и $P(1)\neq 0$. Для полиномов более высокой степени дополнительных вычислений, связанных с этим отображением, можно избежать, проверив устойчивость Шура с помощью теста Шура-Кона, теста Жюри или теста Бистрица .

• Необходимое условие: устойчивый полином Гурвица (с действительными коэффициентами ) имеет коэффициенты одного знака (либо все положительные, либо все отрицательные).
• Достаточное условие: многочлен $f(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}$ с (действительными) коэффициентами такими, что

$a_{n}>a_{n-1}>\cdots >a_{0}>0,$

стабилен ли Шур.

• Правило произведения: два полинома f и g стабильны (одного типа) тогда и только тогда, когда произведение fg стабильно.
• Произведение Адамара: произведение Адамара (по коэффициентам) двух стабильных полиномов Гурвица снова стабильно по Гурвицу.

Примеры

• $4z^{3}+3z^{2}+2z+1$ устойчив ли Шур, поскольку удовлетворяет достаточному условию;
• $z^{10}$ устойчива по Шуру (поскольку все ее корни равны 0), но не удовлетворяет достаточному условию;
• $z^{2}-z-2$ не является устойчивым по Гурвицу (его корни — −1 и 2), поскольку нарушает необходимое условие;
• $z^{2}+3z+2$ устойчив по Гурвицу (его корни — −1 и −2).
• Полином $z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1$ (с положительными коэффициентами) не является ни устойчивым по Гурвицу, ни устойчивым по Шуру. Его корни — четыре первоначальных пятых корня единства.

$z_{k}=\cos \left({{2\pi k} \over 5}\right)+i\sin \left({{2\pi k} \over 5}\right),\,k=1,\ldots ,4\,.$

Обратите внимание, что

$\cos({{2\pi }/5})={{{\sqrt {5}}-1} \over 4}>0.$

Это «граничный случай» устойчивости Шура, поскольку его корни лежат на единичной окружности. Пример также показывает, что изложенные выше необходимые условия (положительности) устойчивости по Гурвицу не являются достаточными.

Стабильные матрицы

Так же, как стабильные полиномы имеют решающее значение для оценки устойчивости систем, описываемых полиномами, матрицы устойчивости играют жизненно важную роль в оценке устойчивости систем, представленных матрицами .

Матрица Гурвица

Основная статья: матрица Гурвица

А Квадратная матрица называется матрицей Гурвица, каждое собственное значение А если имеет строго отрицательную действительную часть .

Матрица Шура

Матрицы Шура являются аналогом матриц Гурвица для систем с дискретным временем. Матрица A является матрицей Шура (стабильной), если ее собственные значения расположены в открытом единичном круге в комплексной плоскости .

См. также

• Kharitonov region
• Критерий устойчивости
• Радиус устойчивости

Внешние ссылки

• Страница математического мира