Радиус устойчивости

В математике радиус устойчивости объекта шара (системы, функции , матрицы , параметра ) в данной номинальной точке — это радиус наибольшего . с центром в номинальной точке, все элементы которого удовлетворяют заранее заданным условиям устойчивости Картина этого интуитивного понятия такова:

где ${\hat {p}}$ обозначает номинальную точку, $P$ обозначает пространство всех возможных значений объекта $p$ , и заштрихованная область, $P(s)$ , представляет собой набор точек, удовлетворяющих условиям устойчивости. Радиус синего круга, показанного красным, представляет собой радиус устойчивости.

Абстрактное определение

Формальное определение этого понятия варьируется в зависимости от области применения. Следующее абстрактное определение весьма полезно. ^[1]^[2]

{\hat {\rho }}({\hat {p}}):=\max \ \{\rho \geq 0:p\in P(s),\forall p\in B(\rho ,{\hat {p}})\}

где $B(\rho ,{\hat {p}})$ обозначает замкнутый шар радиуса $\rho$ в $P$ сосредоточено в ${\hat {p}}$ .

История

Похоже, что концепция была изобретена в начале 1960-х годов. ^[3]^[4] В 1980-е годы он стал популярен в теории управления. ^[5] и оптимизация. ^[6] Он широко используется в качестве модели локальной устойчивости к небольшим изменениям заданного номинального значения интересующего объекта.

Связь с максимин-моделью Вальда

Было показано ^[2] что модель радиуса устойчивости является примером максимин-модели Вальда . То есть,

\max \ \{\rho \geq 0:p\in P(s),\forall p\in B(\rho ,{\hat {p}})\}\equiv \max _{\rho \geq 0}\min _{p\in B(\rho ,{\hat {p}})}f(\rho ,p)

где

f(\rho ,p)=\left\{{\begin{array}{cc}\rho &,\ p\in P(s)\\-\infty &,\ p\notin P(s)\end{array}}\right.

Большой штраф( $-\infty$ ) представляет собой устройство, позволяющее $\max$ игрок не должен нарушать номинальное значение за пределами радиуса устойчивости системы. Это указывает на то, что модель стабильности является моделью локальной стабильности/устойчивости, а не глобальной.

Теория принятия решений при информационном дефиците

Теория принятия решений в связи с информационным дефицитом — это новейшая невероятностная теория принятия решений. Утверждается, что она радикально отличается от всех современных теорий принятия решений в условиях неопределенности. Но это было показано ^[2] что его модель устойчивости, а именно

{\hat {\alpha }}(q,{\tilde {u}}):=\max \ \{\alpha \geq 0:r_{c}\leq R(q,u),\forall u\in U(\alpha ,{\tilde {u}})\}

на самом деле это модель радиуса устойчивости, характеризующаяся простым требованием устойчивости вида $r_{c}\leq R(q,u)$ где $q$ обозначает рассматриваемое решение, $u$ обозначает интересующий параметр, ${\tilde {u}}$ обозначает оценку истинного значения $u$ и $U(\alpha ,{\tilde {u}})$ обозначает шар радиуса $\alpha$ сосредоточено в ${\tilde {u}}$ .

Поскольку модели радиуса устойчивости предназначены для работы с небольшими возмущениями номинального значения параметра, модель устойчивости информационного разрыва измеряет локальную устойчивость решений в окрестности оценки. ${\tilde {u}}$ .

Снедович ^[2] утверждает, что по этой причине теория непригодна для рассмотрения серьезной неопределенности, характеризующейся плохой оценкой и огромным пространством неопределенности.

Альтернативное определение

Бывают случаи, когда удобнее определить радиус устойчивости несколько иначе. Например, во многих приложениях теории управления радиус устойчивости определяется как размер наименьшего дестабилизирующего возмущения номинального значения интересующего параметра. ^[7] Картина такая:

Более формально,

{\hat {\rho }}(q):=\min _{p\notin P(s)}dist(p,{\hat {p}})

где $dist(p,{\hat {p}})$ обозначает расстояние $p\in P$ от ${\hat {p}}$ .

Радиус устойчивости функций

Радиус устойчивости f непрерывной функции ( в функциональном пространстве F ) относительно открытой области устойчивости D — это расстояние между f и множеством неустойчивых функций (относительно D ). Мы говорим, что функция устойчива относительно D если ее спектр находится в D. , Здесь понятие спектра определяется в каждом конкретном случае, как поясняется ниже.

Определение

Формально, если обозначить множество устойчивых функций через S(D) и радиус устойчивости через r(f,D) , то:

r(f,D)=\inf _{g\in C}\{\|g\|:f+g\notin S(D)\},

где C подмножество F. —

Обратите внимание, что если f уже нестабильна (относительно D ), то r(f,D)=0 (пока C содержит ноль).

Приложения

Понятие радиуса устойчивости обычно применяется к специальным функциям, таким как полиномы (спектр тогда является корнями) и матрицы (спектр - это собственные значения ). Случай, когда C является собственным подмножеством F, позволяет нам рассматривать структурированные возмущения (например, для матрицы нам могут потребоваться возмущения только в последней строке). Это интересная мера устойчивости, например, в теории управления .

Характеристики

Пусть f — ( комплексный ) многочлен степени n , C=F — множество многочленов степени меньше (или равной) n (которые мы отождествляем здесь с набором $\mathbb {C} ^{n+1}$ коэффициентов). возьмем В качестве D открытый единичный круг , а это значит, что мы ищем расстояние между полиномом и множеством устойчивых полиномов Шура . Затем:

r(f,D)=\inf _{z\in \partial D}{\frac {|f(z)|}{\|q(z)\|}},

где q содержит каждый базисный вектор (например, $q(z)=(1,z,\ldots ,z^{n})$ когда q — обычный степенной базис). Этот результат означает, что радиус устойчивости ограничен минимальным значением, которого f достигает на единичной окружности.

Примеры

Полином $f(z)=z^{8}-9/10$ (чьи нули — это корни восьмой степени из 0,9 ) имеет радиус устойчивости 1/80, если q — степенной базис, а норма — норма бесконечности. Таким образом, должен существовать многочлен g с (бесконечной) нормой 1/90 такой, что f + g имеет (по крайней мере) корень на единичной окружности. такая буква g Например, $g(z)=-1/90\sum _{i=0}^{8}z^{i}$ . Действительно, (f+g)(1)=0 и 1 находится на единичной окружности, а это означает, что f+g неустойчиво.

См. также

Ссылки

^ Злобец С. (2009). Недифференцируемая оптимизация: Параметрическое программирование. Стр. 2607–2615, в Энциклопедии оптимизации, Флудас CA и Пардалос, редакторы PM, Springer.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Снедович, М. (2010). Взгляд с высоты птичьего полета на теорию принятия решений при информационном дефиците. Журнал рискового финансирования, 11(3), 268-283.
^ Уилф, HS (1960). Максимально стабильное численное интегрирование. Журнал Общества промышленной и прикладной математики, 8 (3), 537–540.
^ Милн, МЫ, и Рейнольдс, Р.Р. (1962). Методы пятого порядка численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Журнал ACM, 9 (1), 64–70.
^ Хиндриксен, Д. и Притчард, А.Дж. (1986). Радиусы устойчивости линейных систем, Системы и управляющие буквы, 7, 1-10.
^ Злобец С. (1988). Характеристика оптимальности в моделях математического программирования. Acta Applicandae Mathematicae, 12, 113–180.
^ Пайс АБР и Вирт, Франция (1998). Анализ локальной робастности устойчивости потоков. Математика управления, сигналов и систем , 11, 289–302.

[zlobec09-1] Злобец С. (2009). Недифференцируемая оптимизация: Параметрическое программирование. Стр. 2607–2615, в Энциклопедии оптимизации, Флудас CA и Пардалос, редакторы PM, Springer.

[MS10-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Снедович, М. (2010). Взгляд с высоты птичьего полета на теорию принятия решений при информационном дефиците. Журнал рискового финансирования, 11(3), 268-283.

[wilf-3] Уилф, HS (1960). Максимально стабильное численное интегрирование. Журнал Общества промышленной и прикладной математики, 8 (3), 537–540.

[milne-4] Милн, МЫ, и Рейнольдс, Р.Р. (1962). Методы пятого порядка численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Журнал ACM, 9 (1), 64–70.

[Hindrichsen86-5] Хиндриксен, Д. и Притчард, А.Дж. (1986). Радиусы устойчивости линейных систем, Системы и управляющие буквы, 7, 1-10.

[zlobec88-6] Злобец С. (1988). Характеристика оптимальности в моделях математического программирования. Acta Applicandae Mathematicae, 12, 113–180.

[paice98-7] Пайс АБР и Вирт, Франция (1998). Анализ локальной робастности устойчивости потоков. Математика управления, сигналов и систем , 11, 289–302.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]