Теория принятия решений при информационном дефиците

Теория принятия решений на основе информационных пробелов направлена на оптимизацию устойчивости к отказам в условиях серьезной неопределенности . ^[1]^[2] применяя анализ чувствительности типа радиуса устойчивости в частности , ^[3] возмущениям значения заданной оценки интересующего параметра. Она имеет некоторые связи с максиминной моделью Уолда ; одни авторы различают их, другие считают примерами одного и того же принципа.

Его разработал Яков Бен-Хаим . ^[4] она нашла множество применений и описана как теория принятия решений в условиях « жесткой неопределенности». Его критиковали как непригодный для этой цели и предлагали альтернативы , включая такие классические подходы, как робастная оптимизация .

Краткое содержание

Информационный разрыв – это теория: он помогает принимать решения в условиях неопределенности. Это достигается за счет использования моделей, каждая из которых построена на основе предыдущей. Начинаем с модели ситуации, когда какой-то параметр или параметры неизвестны. берется оценка параметра и анализируется, насколько чувствительны результаты Затем модели к ошибке в этой оценке.

Модель неопределенности: Начиная с оценки, модель неопределенности измеряет, насколько далеки другие значения параметра: по мере увеличения неопределенности увеличивается набор значений.
Модель надежности/возможности: Учитывая модель неопределенности, насколько неуверенным вы можете быть для каждого решения и уверены в успехе? ( надежность ) Кроме того, учитывая непредвиденную прибыль, насколько неуверенным вы должны быть, чтобы этот результат был правдоподобным? ( возможность )
Модель принятия решений: На основе модели оптимизируется надежность. Учитывая результат, какое решение может выдержать наибольшую неопределенность и дать результат? Кроме того, учитывая непредвиденную прибыль, какое решение требует наименьшей неопределенности в отношении результата?

Модели

Теория информационного дефицита моделирует неопределенность как подмножества ${\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})$ вокруг точечной оценки ${\tilde {u}}$ : оценка точна, а неопределенность возрастает, вообще без ограничений. Неопределенность измеряет « расстояние » между оценкой и правдоподобием, обеспечивая промежуточную меру между точкой ( точечной оценкой ) и всеми правдоподобиями, а также давая меру чувствительности: какова погрешность ?

Анализ информационных пробелов дает ответы на такие вопросы, как:

при каком уровне неопределенности могут быть надежно обеспечены конкретные требования (робастность) и
какой уровень неопределенности необходим для достижения определенных непредвиденных доходов (возможностей).

Его можно использовать для удовлетворения , как альтернативу оптимизации при наличии неопределенности или ограниченной рациональности ; см. надежную оптимизацию для альтернативного подхода.

Сравнение с классической теорией принятия решений

В отличие от вероятностной теории принятия решений , анализ информационных пробелов не использует распределения вероятностей: он измеряет отклонение ошибок (разницы между параметром и оценкой), но не вероятность результатов – в частности, оценки ${\tilde {u}}$ ни в каком смысле не является более или менее вероятным, чем другие точки, поскольку информационный пробел не использует вероятность. Информационный разрыв, не использующий распределения вероятностей, является надежным, поскольку он не чувствителен к предположениям о вероятностях результатов. Однако модель неопределенности включает понятие «более близких» и «более отдаленных» результатов и, следовательно, включает в себя некоторые предположения и не так надежна, как простое рассмотрение всех возможных результатов, как в минимаксе. Кроме того, он рассматривает фиксированную вселенную ${\mathfrak {U}},$ поэтому он не устойчив к неожиданным (не смоделированным) событиям.

Связь с минимаксным анализом вызвала некоторые разногласия: (Бен-Хаим 1999, стр. 271–2) утверждает, что анализ устойчивости информационного разрыва, хотя и похож в некоторых отношениях, не является минимаксным анализом наихудшего случая, поскольку он не оценивает решения. по всем возможным результатам, в то время как (Снедович, 2007) утверждает, что анализ устойчивости можно рассматривать как пример максимина (а не минимакса). Это обсуждается в критических разделах ниже и разрабатывается с точки зрения классической теории принятия решений .

Базовый пример: бюджет

В качестве простого примера рассмотрим рабочего. Они рассчитывают зарабатывать 20 долларов в неделю, а если они зарабатывают меньше 15 долларов, то не смогут работать и будут спать на улице, в противном случае они смогут позволить себе ночные развлечения.

Использование модели абсолютной ошибки:

где ${\tilde {u}}=\$20,$ можно сказать, что надежность составляет 15 долларов, а возможность - 20 долларов: если они заработают 20 долларов, они не будут ни спать, ни пировать, а если они зарабатывают в пределах 20 долларов, то они не будут 200 долларов. Но если они ошиблись на 20 долларов, они могут спать плохо, а при сумме более 30 долларов они могут обедать с роскошью.

Как уже говорилось, этот пример носит лишь описательный характер и не позволяет принимать какие-либо решения — в приложениях рассматриваются альтернативные правила принятия решений и часто ситуации с более сложной неопределенностью.

Рабочий подумывает о переезде в другое место, где жилье дешевле. Они будут зарабатывать 26 долларов в неделю, но общежитие стоит 20 долларов, а развлечения по-прежнему стоят 170 долларов. В этом случае надежность составит 24 доллара, а возможность — 43 доллара. Второй случай имеет меньшую надежность и меньшие возможности.

Но, измеряя неопределенность относительной ошибкой,

надежность составляет 20%, а возможность - 23%, в то время как в другом случае устойчивость составляет 38%, а возможность - 60%, поэтому перемещение менее целесообразно.

Модели информационного дефицита

Информационный пробел может применяться к пространствам функций; в этом случае неопределенный параметр является функцией $u(x),$ с оценкой ${\tilde {u}}(x),$ а вложенные подмножества представляют собой наборы функций. Один из способов описать такой набор функций — потребовать, чтобы значения u были близки к значениям ${\tilde {u}}$ для всех x, используя семейство моделей информационного разрыва в значениях.

Например, приведенная выше модель дробных ошибок для значений становится моделью дробных ошибок для функций путем добавления параметра x к определению:

{\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})=\left\{u(x):\ |u(x)-{\tilde {u}}(x)|\leq \alpha {\tilde {u}}(x),\ {\mbox{for all}}\ x\in X\right\},\ \ \ \alpha \geq 0.

В более общем смысле, если $U(\alpha ,y)$ представляет собой семейство моделей ценностей информационного разрыва, то модель функций информационного разрыва получается таким же образом:

{\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})=\left\{u(x):\ u(x)\in U(\alpha ,{\tilde {u}}(x)),\ {\mbox{for all}}\ x\in X\right\},\ \ \ \alpha \geq 0.

Мотивация

Обычно решения принимаются в условиях неопределенности. ^{[примечание 1]} Что можно сделать, чтобы принимать правильные (или, по крайней мере, наилучшие) решения в условиях неопределенности? информационных пробелов Анализ устойчивости оценивает каждое осуществимое решение, задавая вопрос: насколько допустимо отклонение от оценки значения параметра, функции или набора и при этом «гарантировать» приемлемую производительность? В повседневной жизни «надежность» решения определяется размером отклонения от оценки, которое по-прежнему приводит к производительности в пределах требований при использовании этого решения. Иногда трудно судить, насколько надежность необходима или достаточна. Однако, согласно теории информационного разрыва, ранжирование возможных решений по степени их надежности не зависит от таких суждений.

Теория информационного дефицита также предлагает функцию возможностей , которая оценивает потенциал непредвиденных результатов в результате благоприятной неопределенности.

Пример: распределение ресурсов

Распределение ресурсов

Предположим, вы руководитель проекта и курируете две команды: оранжевую и белую. Определенный доход в конце года будет достигнут. У вас есть ограниченные временные рамки, и вы стремитесь решить, как распределить эти ресурсы между оранжевыми и белыми, чтобы общий доход был большим.

Введение неопределенности

Фактический доход может быть другим. Для уровня неопределенности мы можем определить конверт. Меньшая неопределенность будет соответствовать меньшему конверту.

Эти конверты называются моделями неопределенности информационного разрыва , поскольку они описывают понимание неопределенности, окружающей функции дохода.

Мы можем найти модель общего дохода. На рисунке 5 показана модель информационного разрыва общего дохода.

Надежность

Высокие доходы обычно приносят менеджеру проекта уважение высшего руководства, но если общие доходы ниже определенного порога, это будет стоить указанному менеджеру проекта работы. Мы определим такой порог как критический доход , поскольку совокупные доходы ниже критического дохода будут считаться неудачными.

Это показано на рисунке 6. Если неопределенность увеличится, диапазон неопределенности станет более всеобъемлющим, включив в себя экземпляры функции общего дохода, которая при конкретном распределении дает доход, меньший, чем критический доход.

Устойчивость измеряет устойчивость решения к неудаче. Надежный удовлетворитель — это человек, принимающий решения, который предпочитает варианты с более высокой надежностью.

Если для некоторого распределения $q$ , иллюстрируется корреляция между критическим доходом и надежностью, в результате получается график, несколько похожий на график, показанный на рисунке 7. Этот график называется кривой устойчивости распределения. $q$ , имеет две важные особенности, которые являются общими для (большинства) кривых устойчивости:

Кривая невозрастающая. Это отражает идею о том, что при наличии более высоких требований (более высокого критического дохода) невыполнение цели более вероятно (более низкая надежность). Это компромисс между качеством и надежностью.
При номинальном доходе, то есть когда критический доход равен доходу по номинальной модели (оценке функций дохода), устойчивость равна нулю. Это связано с тем, что небольшое отклонение от оценки может снизить общий доход.

Решение зависит от ценности неудачи.

Своевременность

Помимо угрозы потерять работу, высшее руководство предлагает вам пряник: если доходы превысят некоторые доходы, вас вознаградят.

Если неопределенность уменьшится, диапазон неопределенности станет менее всеобъемлющим, чтобы исключить все случаи функции общего дохода, которая при конкретном распределении дает доход, превышающий непредвиденный доход.

Если для некоторого распределения $q$ , мы проиллюстрируем корреляцию между непредвиденными доходами и устойчивостью, у нас будет график, несколько похожий на рисунок 10. Этот график называется кривой возможности распределения. $q$ , имеет две важные особенности, которые являются общими для (большинства) кривых возможностей:

Кривая неубывающая. Это отражает идею о том, что когда у нас более высокие требования (более высокие непредвиденные доходы), мы более защищены от неудач (более высокие возможности, что менее желательно). То есть нам нужно более существенное отклонение от оценки, чтобы достичь нашей амбициозной цели. Это компромисс между качеством и возможностью.
При номинальном доходе, то есть когда критический доход равен доходу по номинальной модели (наша оценка функций дохода), возможность равна нулю. Это связано с тем, что для получения непредвиденного дохода не требуется никаких отклонений от оценки.

Лечение серьезной неопределенности

Обратите внимание, что помимо результатов, полученных по оценке, на расстоянии от оценки также отображаются два «возможных» истинных значения дохода.

Как показано на рисунке, поскольку модель устойчивости к информационному разрыву применяет анализ Максимина в непосредственной близости от оценки, нет никакой уверенности в том, что анализ фактически проводится вблизи истинной стоимости дохода. На самом деле, в условиях серьезной неопределенности это — с методологической точки зрения — очень маловероятно.

Возникает вопрос: насколько достоверны/полезны/значимы результаты? Разве мы не скрываем всю серьезность неопределенности?

Например, предположим, что данное распределение оказывается очень хрупким в окрестности оценки. Означает ли это, что это распределение также хрупко и в других частях региона неопределенности? И наоборот, какая существует гарантия того, что распределение, устойчивое вблизи оценки, будет также устойчивым и в других местах в области неопределенности, даже вблизи истинной стоимости дохода?

Более фундаментально, учитывая, что результаты, полученные из-за информационного дефицита, основаны на анализе местных доходов/распределения в окрестности оценки, которая, вероятно, будет существенно неверной, у нас нет другого выбора - методологически говоря - кроме как предположить, что результаты Результаты, полученные в результате этого анализа, с равной вероятностью могут оказаться существенно неверными. Другими словами, в соответствии с универсальной аксиомой «мусор на входе — мусор на выходе» мы должны предположить, что качество результатов, полученных в результате анализа информационных пробелов, настолько же хорошее, насколько хорошее качество оценки, на которой основаны эти результаты.

Картина говорит сама за себя.

Тогда выясняется, что теория информационного разрыва еще не объяснила, каким образом она на самом деле пытается справиться с серьезностью рассматриваемой неопределенности. Последующие разделы этой статьи будут посвящены этой проблеме серьезности , а также ее методологическим и практическим последствиям.

Более подробный анализ показательной численной инвестиционной задачи такого типа можно найти в Sniedovich (2007).

Модели неопределенности

Информационные пробелы количественно оцениваются с помощью моделей неопределенности информационных пробелов. Модель информационного разрыва представляет собой неограниченное семейство вложенных множеств. Например, часто встречающимся примером является семейство вложенных эллипсоидов, имеющих одинаковую форму. Структура наборов в модели информационного разрыва вытекает из информации о неопределенности. В общих чертах, структура модели неопределенности информационного разрыва выбирается для определения наименьшего или самого строгого семейства наборов, элементы которого согласуются с априорной информацией. Поскольку худшего случая обычно не известно, семейство множеств может быть неограниченным.

Типичным примером модели информационного разрыва является модель дробной ошибки. Наилучшая оценка неопределенной функции $u(x)\!\,$ является ${\tilde {u}}(x)$ , но дробная погрешность этой оценки неизвестна. Следующее неограниченное семейство вложенных наборов функций представляет собой модель информационного разрыва с дробной ошибкой:

{\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})=\left\{u(x):\ |u(x)-{\tilde {u}}(x)|\leq \alpha {\tilde {u}}(x),\ {\mbox{for all}}\ x\right\},\ \ \ \alpha \geq 0

На любом горизонте неопределенности $\alpha$ , набор ${\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})$ содержит все функции $u(x)\!\,$ дробное отклонение которого от ${\tilde {u}}(x)$ не больше, чем $\alpha$ . Однако горизонт неопределенности неизвестен, поэтому модель информационного разрыва представляет собой неограниченное семейство множеств, и не существует худшего случая или максимального отклонения.

Существует множество других типов моделей неопределенности информационного разрыва. Все модели информационного дефицита подчиняются двум основным аксиомам :

Вложение. Модель информационного дефицита ${\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})$ является вложенным, если $\alpha <\alpha ^{\prime }$ подразумевает, что:

{\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\ \subseteq \ {\mathcal {U}}(\alpha ^{\prime },{\tilde {u}})

Сокращение. Модель информационного дефицита ${\mathcal {U}}(0,{\tilde {u}})$ представляет собой одноэлементный набор, содержащий свою центральную точку:

{\mathcal {U}}(0,{\tilde {u}})=\{{\tilde {u}}\}

Аксиома вложенности накладывает свойство «кластеризации», характерное для неопределенности информационного разрыва. Более того, аксиома вложенности подразумевает, что неопределенность множества ${\mathcal {U}}(\alpha ,u)$ стать более инклюзивным, поскольку $\alpha$ растет, тем самым обеспечивая $\alpha$ со значением горизонта неопределенности. Аксиома сжатия подразумевает, что на горизонте нулевой неопределенности оценка ${\tilde {u}}$ это правильно.

Напомним, что неопределенный элемент $u$ может быть параметром, вектором, функцией или набором. В таком случае модель информационного разрыва представляет собой неограниченное семейство вложенных наборов параметров, векторов, функций или наборов.

Наборы подуровней

Для оценки с фиксированной точкой ${\tilde {u}},$ модель информационного разрыва часто эквивалентна функции $\phi \colon {\mathfrak {U}}\to [0,+\infty )$ определяется как:

\phi (u):=\min\{\alpha \mid u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\}

что означает «неопределенность точки u - это минимальная неопределенность, такая, что u находится в множестве с этой неопределенностью». В этом случае семейство множеств ${\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})$ могут быть восстановлены как подуровней наборы $\phi$ :

{\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}}):=\phi ^{-1}([0,\alpha ])

что означает: «вложенное подмножество с горизонтом неопределенности». $\alpha$ состоит из всех точек с неопределенностью, меньшей или равной $\alpha$ ".

Обратно, если задана функция $\phi \colon {\mathfrak {U}}\to [0,+\infty ),$ удовлетворяющее аксиоме $\phi ^{-1}(0)=\{{\tilde {u}}\}$ (эквивалентно, $\phi (u)=0$ тогда и только тогда, когда $u={\tilde {u}}$ ), он определяет модель информационного разрыва через наборы подуровней.

Например, если область неопределенности представляет собой метрическое пространство , то функцией неопределенности может быть просто расстояние, $\phi (u):=d({\tilde {u}},u),$ поэтому вложенные подмножества просто

{\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})=\{u\mid d({\tilde {u}},u)\leq \alpha \}.

Это всегда определяет модель информационного разрыва, поскольку расстояния всегда неотрицательны (аксиома неотрицательности) и удовлетворяют $\phi ^{-1}(0)=\{{\tilde {u}}\}$ (аксиома сжатия информационного разрыва), поскольку расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только тогда, когда они равны (тождество неразличимых); Вложение следует путем построения множества подуровней.

Не все модели информационного разрыва возникают как наборы подуровней: например, если $u_{1}\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})$ для всех $\alpha >1,$ но не для $\alpha =1$ (он имеет неопределенность «чуть больше» 1), то минимум выше не определен; его можно заменить на инфимум , но тогда результирующие множества подуровней не будут согласовываться с моделью информационных пробелов: $u_{1}\in \phi ^{-1}([0,1]),$ но $u_{1}\not \in {\mathcal {U}}(1,{\tilde {u}}).$ Однако эффект этого различия очень незначителен, поскольку оно изменяет множества меньше, чем изменение горизонта неопределенности на любое положительное число. $\epsilon ,$ хоть и маленький.

Надежность и возможности

Неопределенность может быть как пагубной , так и благоприятной . То есть неопределенные вариации могут быть как неблагоприятными, так и благоприятными. Невзгоды влекут за собой возможность неудачи, а благоприятность — это возможность добиться огромного успеха. Теория принятия решений при информационном дефиците основана на количественной оценке этих двух аспектов неопределенности и выборе действия, направленного на один или другой из них или оба одновременно. Пагубные и благоприятные аспекты неопределенности количественно выражаются двумя «функциями иммунитета»: функция устойчивости выражает иммунитет к неудачам, а функция возможности выражает иммунитет к непредвиденным выгодам.

Функции устойчивости и целесообразности

Функция устойчивости выражает наибольший уровень неопределенности, при котором отказ не может произойти; функция возможности – это наименьший уровень неопределенности, который влечет за собой возможность огромного успеха. Функции устойчивости и возможности касаются соответственно пагубных и благоприятных аспектов неопределенности.

Позволять $q$ быть вектором решений таких параметров, как проектные переменные, время инициирования, параметры модели или варианты эксплуатации. Мы можем устно выразить функции устойчивости и целесообразности как максимум или минимум набора значений параметра неопределенности. $\alpha$ модели информационного дефицита:

${\hat {\alpha }}(q)=\max\{\alpha :\ {\mbox{minimal requirements are always satisfied}}\}$	(надежность)	(1а)
${\hat {\beta }}(q)=\min\{\alpha :\ {\mbox{sweeping success is possible}}\}$	(своевременность)	(2а)

Формально,

${\hat {\alpha }}(q)=\max\{\alpha :\ {\mbox{minimal requirements are satisfied for all }}u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\}$	(надежность)	(1б)
${\hat {\beta }}(q)=\min\{\alpha :\ {\mbox{windfall is achieved for at least one }}u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\}$	(своевременность)	(2б)

Мы можем «прочитать» уравнение. (1) следующим образом. Надежность ${\hat {\alpha }}(q)$ вектора решения $q$ – наибольшее значение горизонта неопределенности $\alpha$ для которых указанные минимальные требования всегда выполняются. ${\hat {\alpha }}(q)$ выражает надежность — степень устойчивости к неопределенности и иммунитета к сбоям — поэтому большое значение ${\hat {\alpha }}(q)$ желательно. Устойчивость определяется как наихудший сценарий вплоть до горизонта неопределенности: насколько велик может быть горизонт неопределенности и при этом, даже в худшем случае, достичь критического уровня результата?

уравнение (2) утверждает, что возможность ${\hat {\beta }}(q)$ это наименьший уровень неопределенности $\alpha$ с чем необходимо мириться, чтобы обеспечить возможность широкого успеха в результате решений $q$ . ${\hat {\beta }}(q)$ — это иммунитет против неожиданного вознаграждения, поэтому небольшое значение ${\hat {\beta }}(q)$ желательно. Небольшое значение ${\hat {\beta }}(q)$ отражает благоприятную ситуацию,большая награда возможна даже при небольшой внешней неопределенности. Возможность определяется как наилучший сценарий вплоть до горизонта неопределенности: насколько малым может быть горизонт неопределенности и при этом, в лучшем случае, достичь неожиданного вознаграждения?

Функции иммунитета ${\hat {\alpha }}(q)$ и ${\hat {\beta }}(q)$ дополняют друг друга и определяются в антисимметричном смысле. Таким образом, «чем больше, тем лучше» для ${\hat {\alpha }}(q)$ в то время как «большой — это плохо» для ${\hat {\beta }}(q)$ . Функции иммунитета — надежность и своевременность — являются основными функциями принятия решений в теории принятия решений в условиях информационного дефицита.

Оптимизация

Функция устойчивости предполагает максимизацию, но не производительности или результата решения: в общем случае результат может быть сколь угодно плохим. Скорее, это максимизирует уровень неопределенности, который необходим для того, чтобы результат оказался неудачным.

Наибольшая допустимая неопределенность обнаруживается при том, какое решение $q$ удовлетворяет производительности на критическом уровне выживания. Можно установить свои предпочтения среди доступных действий. $q,\,q^{\prime },\,\ldots$ в зависимости от их прочности ${\hat {\alpha }}(q),\,{\hat {\alpha }}(q^{\prime }),\,\ldots$ , при этом большая надежность порождает более высокие предпочтения. Таким образом, функция устойчивости лежит в основе удовлетворительного алгоритма принятия решений, который максимизирует устойчивость к пагубной неопределенности.

Функция возможности в уравнении (2) предполагает минимизацию, но не, как можно было бы ожидать, ущерба, который может возникнуть в результате неизвестных нежелательных явлений. Наименьший горизонт неопределенности ищется, при котором решение $q$ позволяет (но не обязательно гарантирует) большую непредвиденную прибыль. В отличие от функции устойчивости, функция возможности не удовлетворяет, а «непредвиденно». Непредвиденные предпочтения – это те, которые отдают предпочтение действиям, для которых функция возможности имеет небольшое значение. Когда ${\hat {\beta }}(q)$ используется для выбора действия $q$ , кто-то «неожиданно терпит неудачу», оптимизируя возможности из благоприятной неопределенности в попытке обеспечить весьма амбициозные цели или вознаграждения.

Учитывая скалярную функцию вознаграждения $R(q,u)$ , в зависимости от вектора решения $q$ и функция неопределенности информационного разрыва $u$ , минимальное требование в уравнении. (1) заключается в том, что награда $R(q,u)$ быть не меньше критического значения ${r_{\rm {c}}}$ . Аналогичным образом, ошеломительный успех в упр. (2) достижение уровня вознаграждения «самой дикой мечты». ${r_{\rm {w}}}$ что намного больше, чем ${r_{\rm {c}}}$ . Обычно ни одно из этих пороговых значений, ${r_{\rm {c}}}$ и ${r_{\rm {w}}}$ , выбирается безвозвратно перед выполнением анализа решений. Скорее, эти параметры позволяют лицу, принимающему решения, изучить ряд вариантов. В любом случае неожиданная награда ${r_{\rm {w}}}$ больше, обычно намного больше, чем критическая награда ${r_{\rm {c}}}$ :

{r_{\rm {w}}}>{r_{\rm {c}}}

Функции устойчивости и целесообразности уравнений. Теперь (1) и (2) можно выразить более явно:

${\hat {\alpha }}(q,{r_{\rm {c}}})=\max \left\{\alpha :r_{\rm {c}}\leq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}R(q,u)\right\}$	(3)
${\hat {\beta }}(q,{r_{\rm {w}}})=\min \left\{\alpha :r_{\rm {w}}\leq \max _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}R(q,u)\right\}$	(4)

${\hat {\alpha }}(q,{r_{\rm {c}}})$ — это наибольший уровень неопределенности, соответствующий гарантированному вознаграждению, не меньший, чем критическое вознаграждение. ${r_{\rm {c}}}$ , пока ${\hat {\beta }}(q,{r_{\rm {w}}})$ — это наименьший уровень неопределенности, который необходимо принять, чтобы облегчить (но не гарантировать) непредвиденные доходы, ${r_{\rm {w}}}$ . Комплементарная или антисимметричная структура функций иммунитета видна из уравн. (3) и (4).

Эти определения можно изменить для обработки многокритериальных функций вознаграждения. Аналогично, аналогичные определения применяются, когда $R(q,u)$ это потеря, а не награда.

Правила принятия решений

Основываясь на этих функциях, можно затем принять решение о образе действий путем оптимизации неопределенности: выбрать решение, которое является наиболее надежным (может выдержать наибольшую неопределенность; «удовлетворительное») или выбрать решение, которое требует наименьшей неопределенности для достижения непредвиденная удача.

Формально оптимизация устойчивости или оптимизация возможности дает отношение предпочтений для набора решений, а правилом принятия решения является «оптимизация с учетом этого предпочтения».

Ниже пусть ${\mathcal {Q}}$ быть набором всех доступных или возможных векторов решений $q$ .

Надежный и удовлетворительный

Функция устойчивости генерирует удовлетворяющие устойчивости предпочтения для вариантов: решения ранжируются в порядке возрастания устойчивости для заданного критического вознаграждения, т.е. ${\hat {\alpha }}(q,{r_{\rm {c}}})$ ценность, смысл $q\succ _{\rm {r}}q^{\prime }$ если ${\hat {\alpha }}(q,{r_{\rm {c}}})>{\hat {\alpha }}(q^{\prime },{r_{\rm {c}}}).$

Удовлетворяющее надежность решение — это решение, которое максимизирует надежность и обеспечивает производительность на критическом уровне. ${r_{\rm {c}}}$ .

Обозначим максимальную устойчивость через ${\hat {\alpha }},$ (формально ${\hat {\alpha }}({r_{\rm {c}}}),$ для максимальной устойчивости для данного критического вознаграждения) и соответствующее решение (или решения) по ${\hat {q}}_{\rm {c}}$ (формально, ${{\hat {q}}_{\rm {c}}}({r_{\rm {c}}}),$ критическое оптимизирующее действие для данного уровня критического вознаграждения):

{\begin{aligned}{\hat {\alpha }}({r_{\rm {c}}})&=\max _{q\in {\mathcal {Q}}}{\hat {\alpha }}(q,{r_{\rm {c}}})\\{{\hat {q}}_{\rm {c}}}({r_{\rm {c}}})&=\arg \max _{q\in {\mathcal {Q}}}{\hat {\alpha }}(q,{r_{\rm {c}}})\end{aligned}}

Обычно, хотя и не всегда, действие, приносящее устойчивое удовлетворение, ${{\hat {q}}_{\rm {c}}}({r_{\rm {c}}})$ зависит от критической награды ${r_{\rm {c}}}$ .

Возможность-неожиданно

И наоборот, можно оптимизировать возможность:Функция возможностей генерирует неожиданные предпочтения по вариантам: решения ранжируются в порядке убывания возможности для данного неожиданного вознаграждения, т.е. ${\hat {\beta }}(q,{r_{\rm {c}}})$ ценность, смысл $q\succ _{\rm {w}}q^{\prime }$ если ${\hat {\beta }}(q,{r_{\rm {w}}})<{\hat {\beta }}(q^{\prime },{r_{\rm {w}}}).$

Своевременное-неожиданное решение, ${{\hat {q}}_{\rm {w}}}({r_{\rm {w}}})$ , минимизирует функцию возможности на множестве доступных решений.

Обозначим минимальную возможность через ${\hat {\beta }},$ (формально ${\hat {\beta }}({r_{\rm {w}}}),$ за минимальную возможность получения данного непредвиденного вознаграждения) и соответствующее решение (или решения) ${\hat {q}}_{\rm {w}}$ (формально, ${{\hat {q}}_{\rm {w}}}({r_{\rm {w}}}),$ действие по оптимизации непредвиденных доходов для данного уровня непредвиденного вознаграждения):

{\begin{aligned}{\hat {\beta }}({r_{\rm {w}}})&=\min _{q\in {\mathcal {Q}}}{\hat {\beta }}(q,{r_{\rm {w}}})\\{{\hat {q}}_{\rm {w}}}({r_{\rm {w}}})&=\arg \min _{q\in {\mathcal {Q}}}{\hat {\beta }}(q,{r_{\rm {w}}})\end{aligned}}

Два рейтинга предпочтений, а также соответствующие оптимальные решения ${{\hat {q}}_{\rm {c}}}({r_{\rm {c}}})$ и ${{\hat {q}}_{\rm {w}}}({r_{\rm {w}}})$ , может быть разным и может меняться в зависимости от значений ${r_{\rm {c}}}$ и ${r_{\rm {w}}}.$

Приложения

Теория информационного дефицита породила много литературы. Теория информационного дефицита изучалась или применялась в ряде приложений, включая инженерное дело, ^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]^[17]^[18]биологическая консервация, ^[19]^[20]^[21]^[22]^[23]^[24]^[25]^[26]^[27]^[28]^[29]^[30] теоретическая биология, ^[31] национальная безопасность, ^[32] экономика, ^[33]^[34]^[35] управление проектом ^[36]^[37]^[38]и статистика. ^[39] Также были изучены фундаментальные вопросы, связанные с теорией информационного дефицита. ^[40]^[41]^[42]^[43]^[44]^[45]

В оставшейся части этого раздела более подробно описываются виды неопределенностей, рассматриваемые теорией информационного дефицита. Хотя ниже упоминаются многие опубликованные работы, здесь не делается никаких попыток представить выводы из этих статей. Акцент делается не на разъяснении концепций теории информационного дефицита, а на контексте, в котором она используется, и целях.

Инженерное дело

Типичным инженерным применением является анализ вибрации балки с трещиной, где местоположение, размер, форма и ориентация трещины неизвестны и сильно влияют на динамику вибрации. ^[9] Об этих пространственных и геометрических неопределенностях обычно известно очень мало. Анализ информационных пробелов позволяет моделировать эти неопределенности и определять степень устойчивости к этим неопределенностям таких свойств, как амплитуда вибрации, собственные частоты и собственные формы вибрации. Другим примером является структурный проект здания, подверженного неопределенным нагрузкам, например, от ветра или землетрясений. ^[8]^[10] Реакция конструкции сильно зависит от пространственного и временного распределения нагрузок. Однако ураганы и землетрясения являются весьма своеобразными событиями, и взаимодействие между событием и конструкцией включает в себя механические свойства, специфичные для конкретного места, которые редко известны. Анализ информационных пробелов позволяет при проектировании конструкции повысить устойчивость конструкции к неопределенным отклонениям от проектных или расчетных нагрузок для наихудшего случая. ^{[ нужна ссылка ]} Другое инженерное применение предполагает разработку нейронной сети для обнаружения неисправностей в механической системе на основе измерений в реальном времени. Основная трудность заключается в том, что неисправности очень своеобразны, поэтому данные обучения нейронной сети будут иметь тенденцию существенно отличаться от данных, полученных в результате ошибок в реальном времени после обучения сети. Стратегия устойчивости к информационному разрыву позволяет спроектировать нейронную сеть устойчивой к несоответствию между обучающими данными и будущими реальными событиями. ^[11]^[13]

Биология

Биолог-эколог сталкивается с пробелами в информации при использовании биологических моделей. Они используют кривые устойчивости информационных пробелов для выбора вариантов управления популяциями еловых червей в Восточной Канаде. Бургман ^[46] использует тот факт, что кривые устойчивости различных альтернатив могут пересекаться.

Управление проектом

Управление проектами — еще одна область, в которой часто встречается неопределенность в отношении информационных пробелов. Менеджер проекта часто имеет очень ограниченную информацию о продолжительности и стоимости некоторых задач в проекте, а надежность информационных пробелов может помочь в планировании и интеграции проекта. ^[37] Финансовая экономика – еще одна область, будущее которой чревато сюрпризами, которые могут быть как пагубными, так и благоприятными. Анализ надежности и возможностей информационных пробелов может помочь в разработке портфеля, нормировании кредита и других приложениях. ^[33]

Ограничения

Применяя теорию информационного дефицита, необходимо помнить об определенных ограничениях.

Во-первых, информационный пробел делает предположения, а именно о рассматриваемой вселенной и степени неопределенности. Модель информационного разрыва представляет собой модель степеней неопределенности или сходства различных предположений в пределах данной вселенной. Информационный разрыв не делает вероятностных предположений в этой вселенной – он невероятностный – но дает количественную оценку понятия «расстояние от оценки». Короче говоря, информационный пробел предполагает меньше предположений, чем вероятностный метод, но все же делает некоторые предположения.

Например, простая модель ежедневных доходностей фондового рынка, которые по определению попадают в диапазон $[-100\%,+\infty \%)$ – может включать в себя экстремальные движения, такие как «Черный понедельник» (1987 г.) , но не может моделировать рыночные обвалы после терактов 11 сентября : он учитывает «известные неизвестные», а не « неизвестные неизвестные ». Это общая критика многих теорий принятия решений , и она ни в коем случае не касается информационного дефицита, но информационный дефицит не застрахован от него.

Во-вторых, нет естественного масштаба: неопределенность $\alpha =1$ маленький или большой? Различные модели неопределенности дают разные масштабы и требуют суждения и понимания предметной области и модели неопределенности. Аналогичным образом, измерение различий между результатами требует суждения и понимания предметной области.

В-третьих, если рассматриваемая Вселенная больше, чем значительный горизонт неопределенности, и результаты для этих удаленных точек значительно отличаются от точек, близких к оценке, то выводы анализа устойчивости или возможностей обычно будут такими: «нужно быть очень уверенным в своих силах». предположения, иначе можно ожидать, что результаты будут значительно отличаться от прогнозов» – предостерегающий вывод.

Отказ от ответственности и резюме

Функции устойчивости и возможности могут повлиять на решение. Например, изменение решения, повышающее надежность, может увеличить или уменьшить возможности. С субъективной точки зрения надежность и своевременность идут вразрез со стремлением к результату: надежность и своевременность ухудшаются по мере того, как возрастают стремления лица, принимающего решения. Устойчивость равна нулю для ожидаемых результатов модели. Кривые устойчивости альтернативных решений могут пересекаться в зависимости от стремления, подразумевая изменение предпочтений.

Различные теоремы определяют условия, при которых большая устойчивость к информационным пробелам подразумевает большую вероятность успеха, независимо от основного распределения вероятностей. Однако эти условия носят технический характер и не трансформируются в какие-либо устные рекомендации, основанные на здравом смысле, что ограничивает такое применение теории информационного пробела неспециалистами.

Критика

Общая критика невероятностных правил принятия решений, подробно обсуждаемая в разделе «Теория принятия решений: альтернативы теории вероятностей» , заключается в том, что оптимальные правила принятия решений (формально допустимые правила принятия решений ) всегда могут быть получены вероятностными методами с подходящей функцией полезности и априорным распределением. (это формулировка теорем о полном классе), и, таким образом, невероятностные методы, такие как информационный пробел, не нужны и не дают новых или лучших правил принятия решений.

Более общая критика принятия решений в условиях неопределенности заключается в воздействии нестандартных, неожиданных событий, которые не отражаются моделью. Это обсуждается, в частности, в теории черного лебедя , и информационный разрыв, используемый изолированно, уязвим для этого, как и тем более все теории принятия решений, которые используют фиксированную совокупность возможностей, особенно вероятностных.

Снедович ^[47] поднимает два вопроса в теории принятия решений при информационном дефиците: один существенный, другой научный:

1. Модель неопределенности информационного дефицита ошибочна и переоценена.: Следует учитывать диапазон возможностей, а не его подмножества. Снедович утверждает, что теория принятия решений в связи с информационным дефицитом является, таким образом, «теорией принятия решений вуду».
2. информационный пробел – это максимин: Бен-Хаим утверждает (Бен-Хаим 1999, стр. 271–2), что «надежная надежность категорически не является [мин-макс] анализом наихудшего случая». Обратите внимание, что Бен-Хаим сравнивает информационный разрыв с минимаксом, а Снедович считает это случаем максимина.

Снедович поставил под сомнение обоснованность теории информационного дефицита для принятия решений в условиях серьезной неопределенности. Снедович отмечает, что функция устойчивости к информационному разрыву является «локальной» для региона вокруг $\displaystyle {\tilde {u}}$ , где $\displaystyle {\tilde {u}}$ скорее всего, будет существенно ошибочным.

Максимин

Символически, макс. $\alpha$ предполагая минимальный (наихудший) результат или максимин.

Другими словами, хотя это и не максиминный анализ результата во вселенной неопределенности, это максиминный анализ в правильно построенном пространстве решений.

Бен-Хаим утверждает, что модель устойчивости информационного разрыва не является анализом мин-максимум/максимин, поскольку это не анализ результатов наихудшего случая; это удовлетворительная модель, а не модель оптимизации – (прямой) максиминный анализ будет учитывать результаты наихудшего случая во всем пространстве, что, поскольку неопределенность часто потенциально неограничена, приведет к неограниченному плохому наихудшему сценарию.

Радиус устойчивости

Снедович ^[3] показал, что модель устойчивости информационного разрыва представляет собой простую модель радиуса стабильности , а именно модель локальной устойчивости общей формы

{\hat {\rho }}({\tilde {p}}):=\max \ \{\rho \geq 0:p\in P(s),\forall p\in B(\rho ,{\tilde {p}})\}

где $B(\rho ,{\tilde {p}})$ обозначает шар радиуса $\rho$ сосредоточено в ${\tilde {p}}$ и $P(s)$ обозначает набор значений $p$ которые удовлетворяют заранее определенным условиям устойчивости.

Другими словами, модель устойчивости информационного разрыва представляет собой модель радиуса стабильности, характеризующуюся требованием стабильности в форме $r_{c}\leq R(q,p)$ . Поскольку модели радиуса устойчивости предназначены для анализа малых возмущений заданного номинального значения параметра, Снедович ^[3] утверждает, что модель надежности информационного разрыва не подходит для обработки серьезной неопределенности, характеризующейся плохой оценкой и огромным пространством неопределенности.

Обсуждение

Удовлетворительная и ограниченная рациональность

Верно, что функция устойчивости к информационным пробелам является локальной и в некоторых случаях имеет ограниченное количественное значение. Однако основная цель анализа решений — сосредоточить внимание на субъективных суждениях. То есть, независимо от формального анализа, обеспечивается основа для обсуждения. Не вдаваясь в какие-либо конкретные рамки или характеристики структур в целом, далее следует обсуждение предложений по таким структурам.

Саймон ^[48] ввел идею ограниченной рациональности . Ограничения знаний, понимания и вычислительных возможностей ограничивают способность лиц, принимающих решения, определять оптимальные варианты. Саймон выступал за удовлетворение, а не за оптимизацию: поиск адекватных (а не оптимальных) результатов при наличии имеющихся ресурсов. Шварц, ^[49]Конлиск ^[50]и другие обсуждают обширные доказательства феномена ограниченной рациональности среди людей, принимающих решения, а также преимуществ удовлетворения, когда знаний и понимания недостаточно. Функция устойчивости к информационному разрыву обеспечивает средства реализации удовлетворительной стратегии в условиях ограниченной рациональности. Например, обсуждая ограниченную рациональность и удовлетворение в области охраны окружающей среды и управления окружающей средой, Бургман отмечает, что «теория информационного дефицита... может разумно функционировать, когда существуют «серьезные» пробелы в знаниях». Функции устойчивости к информационному разрыву и возможности обеспечивают «формальную основу для изучения видов спекуляций, которые возникают интуитивно при рассмотрении вариантов решения». ^[51] Затем Бургман приступает к разработке надежной стратегии защиты находящегося под угрозой исчезновения оранжевобрюхого попугая. Точно так же Вино, Коган и Чиполла. ^[52] обсудить инженерное проектирование и отметить, что «обратная сторона анализа, основанного на модели, заключается в знании того, что поведение модели является лишь приближением к реальному поведению системы. Отсюда вопрос честного проектировщика: насколько чувствительна моя мера успеха проекта к неопределенности в представлении моей системы... Очевидно, что если анализ на основе моделей должен использоваться с каким-либо уровнем уверенности, то... [необходимо] попытаться удовлетворить приемлемый неоптимальный уровень производительности, оставаясь при этом максимально надежным. к системным неопределенностям». ^[52] Они приступили к разработке процедуры проектирования, удовлетворяющей информационным пробелам, для аэрокосмического применения.

Альтернативы

Конечно, решения перед лицом неопределенности не являются чем-то новым, и попытки справиться с ними имеют долгую историю. Ряд авторов отметили и обсудили сходства и различия между устойчивостью к информационным пробелам и минимаксными методами или методами наихудшего случая. ^[7]^[16]^[35]^[37]^[53] . ^[54] Снедович ^[47] формально продемонстрировал, что функция устойчивости информационного разрыва может быть представлена как максиминная оптимизация и, таким образом, связана с теорией минимакса Уолда. Снедович ^[47] заявил, что анализ устойчивости информационных пробелов проводится вблизи оценки, которая может быть существенно неверной, и пришел к выводу, что результирующая функция устойчивости с равной вероятностью будет существенно неверной.

С другой стороны, оценка является лучшей из имеющихся, поэтому полезно знать, может ли она сильно ошибаться, но при этом давать приемлемый результат. Этот критический вопрос явно поднимает вопрос о том, может ли надежность (согласно определению теории информационного дефицита) быть квалифицированной для того, чтобы судить о том, оправдано ли доверие. ^[5]^[55]^[56] и чем он отличается от методов, используемых для принятия решений в условиях неопределенности, используя соображения, не ограничивающиеся окрестностями неверного первоначального предположения. Ответы на эти вопросы варьируются в зависимости от конкретной проблемы. Ниже приведены некоторые общие комментарии.

Анализ чувствительности

Анализ чувствительности – насколько чувствительны выводы к входным предположениям – может выполняться независимо от модели неопределенности: проще всего можно взять два разных предполагаемых значения в качестве входных данных и сравнить выводы. С этой точки зрения информационный пробел можно рассматривать как метод анализа чувствительности, хотя ни в коем случае не единственный.

Надежная оптимизация

Литература по надежной оптимизации ^[57]^[58]^[59]^[60]^[61]^[62] предоставляет методы и приемы, которые используют глобальный подход к анализу устойчивости. Эти методы непосредственно касаются принятия решений в условиях серьезной неопределенности и используются для этой цели уже более тридцати лет. Уолда Модель Максимина . является основным инструментом, используемым в этих методах

Принципиальное различие между моделью Максимина , используемой для анализа информационного разрыва, и различными моделями Максимина , используемыми в методах робастной оптимизации, заключается в том, каким образом вся область неопределенности включается в модель устойчивости. Info-Gap использует локальный подход, который концентрируется на непосредственной близости от оценки. Напротив, надежные методы оптимизации призваны включить в анализ всю область неопределенности или, по крайней мере, ее адекватное представление. Фактически, некоторые из этих методов даже не используют оценку.

Сравнительный анализ

Классическая теория принятия решений, ^[63]^[64] предлагает два подхода к принятию решений в условиях серьезной неопределенности, а именно максимин Лапласа и принцип недостаточного основания (предполагается, что все результаты одинаково вероятны); их можно считать альтернативными решениями проблемы адресов информационных пробелов.

Далее, как обсуждалось в теории принятия решений: альтернативы теории вероятностей , вероятностные специалисты , особенно байесовские вероятностные специалисты, утверждают, что оптимальные правила принятия решений (формально, допустимые правила принятия решений ) всегда могут быть получены вероятностными методами (это утверждение теорем полного класса ), и, таким образом, невероятностные методы, такие как информационный пробел, не нужны и не дают новых или лучших правил принятия решений.

Максимин

Как свидетельствует богатая литература по робастной оптимизации , максимин предоставляет широкий спектр методов принятия решений в условиях серьезной неопределенности.

Действительно, как обсуждалось в критике теории принятия решений при информационном дефиците , модель устойчивости информационного дефицита можно интерпретировать как пример общей модели максимина.

Байесовский анализ

Лапласа Что касается принципа недостаточности основания , то в этом контексте его удобно рассматривать как пример байесовского анализа .

Суть байесовского анализа заключается в применении вероятностей для различных возможных реализаций неопределенных параметров. В случае найтовской (невероятностной) неопределенности эти вероятности представляют собой «степень веры» лица, принимающего решения, в конкретную реализацию.

Предположим, что в нашем примере существует только пять возможных реализаций функции распределения неопределенного дохода. Лицо, принимающее решение, считает, что оцененная функция является наиболее вероятной и что вероятность уменьшается по мере увеличения разницы от оценки. Рисунок 11 иллюстрирует такое распределение вероятностей.

Рисунок 11 – Распределение вероятностей реализации функции дохода

Теперь для любого распределения можно построить вероятностное распределение дохода на основе своих предыдущих убеждений. Затем лицо, принимающее решение, может выбрать распределение с самым высоким ожидаемым доходом, с наименьшей вероятностью неприемлемого дохода и т. д.

Самым проблематичным этапом этого анализа является выбор вероятностей реализаций. При наличии обширного и релевантного прошлого опыта эксперт может использовать этот опыт для построения распределения вероятностей. Но даже имея обширный прошлый опыт, когда некоторые параметры изменяются, эксперт может только оценить, что $A$ более вероятно, чем $B$ , но не сможет достоверно количественно оценить эту разницу. Более того, когда условия резко меняются или когда прошлого опыта вообще нет, может оказаться затруднительным даже оценить, является ли $A$ более вероятно, чем $B$ .

Тем не менее, с методологической точки зрения, эта трудность не так проблематична, как основание анализа проблемы, подверженной серьезной неопределенности, на одной точечной оценке и ее непосредственной близости, как это происходит в случае информационного разрыва. Причем, в отличие от информационного дефицита, этот подход носит глобальный, а не локальный характер.

Тем не менее, следует подчеркнуть, что байесовский анализ не затрагивает напрямую вопрос устойчивости.

Байесовский анализ поднимает проблему обучения на основе опыта и соответствующей корректировки вероятностей. Другими словами, принятие решения — это не универсальный процесс, а результат последовательности решений и наблюдений.

Взгляд классической теории принятия решений

Снедович ^[47] с точки зрения классической теории принятия решений поднимает два вопроса об информационном дефиците: один существенный, другой научный:

Модель неопределенности информационного дефицита ошибочна и переоценена: В условиях серьезной неопределенности следует использовать глобальную теорию принятия решений, а не локальную теорию принятия решений.
Информационный пробел – это максимин: Бен-Хаим (2006, стр.xii) утверждает, что информационный разрыв «радикально отличается от всех современных теорий принятия решений в условиях неопределенности». Бен-Хаим утверждает (Бен-Хаим 1999, стр. 271–2), что «надежная надежность категорически не является [мин-макс] анализом наихудшего случая».

Снедович поставил под сомнение обоснованность теории информационного дефицита для принятия решений в условиях серьезной неопределенности.

В рамках классической теории принятия решений модель надежности информационного разрыва может быть истолкована как пример , Уолда модели Максимина а ее модель возможностей является примером классической модели Минимина. Оба работают вблизи оценки интересующего параметра, истинное значение которого подвержено серьезной неопределенности и, следовательно, вероятно, будет существенно неверным . Более того, соображения, влияющие на сам процесс принятия решений, также возникают из-за локальности этой ненадежной оценки и поэтому могут отражать, а могут и не отражать весь спектр решений и неопределенностей.

Предыстория, рабочие предположения и взгляд на будущее

Теперь, как описано в литературе об информационном дефиците, Info-Gap был разработан специально как методология решения проблем принятия решений, которые подвержены серьезной неопределенности. Более того, его целью является поиск надежных решений .

Таким образом, чтобы иметь четкое представление о методах работы информационного дефицита, его роли и месте в теории принятия решений и надежной оптимизации, необходимо изучить его в этом контексте. Другими словами, необходимо установить связь информационного разрыва с классической теорией принятия решений и робастной оптимизацией. Для этого необходимо решить следующие вопросы:

Каковы характеристики проблем принятия решений, которые подвержены серьезной неопределенности?
Какие трудности возникают при моделировании и решении подобных задач?
Какой тип устойчивости требуется?
Как теория информационного дефицита решает эти проблемы?
В чем теория принятия решений в условиях информационного дефицита похожа и/или отличается от других теорий принятия решений в условиях неопределенности?

В этой связи с самого начала необходимо прояснить два важных момента:

Учитывая серьезность неопределенности, для устранения которой был разработан информационный пробел, важно прояснить трудности, возникающие из-за серьезной неопределенности.
Поскольку информационный разрыв — это невероятностный метод, целью которого является максимизация устойчивости к неопределенности, крайне важно сравнить его с единственной наиболее важной «невероятностной» моделью в классической теории принятия решений, а именно с парадигмой Максимина Уолда (Wald 1945, 1950). . В конце концов, эта парадигма доминирует в классической теории принятия решений уже более шестидесяти лет.

Итак, сначала давайте проясним предположения, которые подразумеваются серьезной неопределенностью.

Рабочие предположения

Теория принятия решений при информационном дефиците использует три простые конструкции для учета неопределенности, связанной с проблемами принятия решений:

Параметр $\displaystyle u$ истинная ценность которых подвержена серьезной неопределенности.
Регион неопределенности $\displaystyle {\mathfrak {U}}\$ где истинная стоимость $\displaystyle u\$ ложь.
Оценка $\ \displaystyle {\tilde {u}}\$ истинной стоимости $\displaystyle u\$ .

Однако следует отметить, что сами по себе эти конструкции являются общими, а это означает, что их можно использовать для моделирования ситуаций, в которых неопределенность не является серьезной, а умеренной, даже очень легкой. Поэтому очень важно четко понимать, что для того, чтобы правильно выразить серьезность неопределенности , в рамках информационного разрыва этим трем конструкциям придается конкретное значение.

Рабочие предположения
Область неопределенности $\displaystyle {\mathfrak {U}}\$ относительно велик .
Фактически, Бен-Хаим (2006, стр. 210) указывает, что в контексте теории принятия решений при информационном дефиците большинство часто встречающихся областей неопределенности являются неограниченными.
Оценка $\displaystyle {\tilde {u}}\$ является плохим приближением к истинному значению $\displaystyle \ u\$ .
То есть оценка не является плохим показателем истинной стоимости $\displaystyle \ u\$ (Бен-Хаим, 2006, стр. 280) и, вероятно, существенно ошибается (Бен-Хаим, 2006, стр. 281).
На картинке $\displaystyle u^{\circ }\$ представляет истинное (неизвестное) значение $\ \displaystyle u\$ .
Здесь следует отметить, что условия серьезной неопределенности влекут за собой, что оценка $\displaystyle {\tilde {u}}\$ может, условно говоря, быть очень далеким от истинного значения $\displaystyle u^{\circ }\$ . Это особенно актуально для методологий, таких как информационный дефицит, которые стремятся обеспечить устойчивость к неопределенности. В самом деле, предположение об обратном было бы — с методологической точки зрения — равносильно принятию желаемого за действительное.

Парадигма Максимина Вальда

Основную идею этой знаменитой парадигмы можно выразить простым языком следующим образом:

Правило Максимина
Мы должны принять альтернативу, худший результат которой превосходит худший результат других.
Ролз ^[65](1971, стр. 152)

Таким образом, согласно этой парадигме, в рамках принятия решений в условиях жесткой неопределенности надежность альтернативы является мерой того, насколько хорошо эта альтернатива может справиться с наихудшим неопределенным результатом , который она может создать. Излишне говорить, что такое отношение к серьезной неопределенности часто приводит к выбору весьма консервативных альтернатив. Именно по этой причине эта парадигма не всегда является удовлетворительной методологией принятия решений в условиях серьезной неопределенности (Тинтнер, 1952).

Как указано в обзоре, модель надежности информационного разрыва — это замаскированная модель Maximin. Более конкретно, это простой пример модели Максимина Уолда, где:

Область неопределенности, связанная с альтернативным решением, является непосредственной окрестностью оценки. $\displaystyle {\tilde {u}}\$ .
Неопределенные результаты альтернативы определяются характерной функцией рассматриваемого требования к производительности.

Таким образом, помимо проблемы консерватизма , необходимо решить гораздо более серьезную проблему. Это проблема достоверности , возникающая из-за локального характера анализа надежности информационного пробела.

Локальная и глобальная надежность

Достоверность результатов, полученных в результате анализа устойчивости информационных пробелов, зависит от качества оценки. $\displaystyle {\tilde {u}}\$ . Согласно собственным рабочим предположениям Info-Gap, эта оценка неудовлетворительна и, вероятно, существенно неверна (Бен-Хаим, 2006, стр. 280-281).

Проблема с этой особенностью модели надежности информационного разрыва еще более наглядно видна на картинке. Белый кружок представляет собой непосредственную окрестность оценки $\ \displaystyle {\tilde {u}}\$ на котором проводится анализ Максимин. Поскольку область неопределенности велика, а качество оценки низкое, весьма вероятно, что истинное значение $\ \displaystyle u\$ находится далеко от точки, в которой проводится анализ Максимина.

Итак, учитывая серьезность рассматриваемой неопределенности, насколько достоверным/полезным на самом деле может быть этот тип анализа Максимина?

В какой степени локальный анализ устойчивости в стиле Максимина в непосредственной близости от плохой оценки может представлять большую область неопределенности.

Надежные методы оптимизации неизменно используют гораздо более глобальный взгляд на надежность. Настолько, что планирование и создание сценариев являются центральными вопросами в этой области. Это отражает твердую приверженность адекватному представлению всей области неопределенности в определении устойчивости и в самом анализе устойчивости.

Это связано с описанием вклада информационного дефицита в современное состояние теории принятия решений, а также его роли и места по сравнению с другими методологиями.

Роль и место в теории принятия решений

Info-Gap решительно заявляет о своем продвижении на современном уровне теории принятия решений (здесь для акцента используется цвет):

Теория принятия решений в условиях информационного дефицита радикально отличается от всех современных теорий принятия решений в условиях неопределенности. Разница возникает в моделировании неопределенности как информационного пробела, а не как вероятности .
Бен-Хаим (2006, стр.xii)
В этой книге мы концентрируемся на довольно новой концепции неопределенности информационного разрыва, отличия которой от более классических подходов к неопределенности реальны и глубоки . Несмотря на силу классических теорий принятия решений, во многих областях, таких как инженерия, экономика, менеджмент, медицина и государственная политика, возникла необходимость в другом формате решений, основанных на крайне неопределенных фактах.
Бен-Хаим (2006, стр. 11)

Эти сильные претензии должны быть обоснованы. В частности, необходимо дать четкий и недвусмысленный ответ на следующий вопрос: чем общая модель устойчивости информационного разрыва отличается, даже радикально отличается , от анализа наихудшего случая а-ля Максимин ?

В последующих разделах этой статьи описываются различные аспекты теории принятия решений при информационном дефиците и ее применения, то, как она предлагает справляться с рабочими предположениями, изложенными выше, локальный характер анализа устойчивости информационного дефицита и его тесная связь с классической парадигмой Максимина Уолда и худшей парадигмой Максимина. -анализ дела.

Свойство инвариантности

Здесь следует иметь в виду, что смысл существования информационного дефицита состоит в том, чтобы обеспечить методологию принятия решений в условиях серьезной неопределенности. Это означает, что его основной проверкой будет эффективность управления и преодоления серьезной неопределенности. С этой целью сначала необходимо установить, как ведут себя/эффективны модели надежности/возможности Info-Gap по мере увеличения/уменьшения серьезности неопределенности.

Во-вторых, необходимо установить, дают ли модели устойчивости/возможности информационного разрыва адекватное выражение потенциальной изменчивости функции производительности во всей области неопределенности. Это особенно важно, поскольку Info-Gap обычно имеет дело с относительно большими, фактически неограниченными областями неопределенности.

Итак, пусть $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ обозначим общую область неопределенности и рассмотрим следующие ключевые вопросы:

Как анализ устойчивости/возможности реагирует на увеличение/уменьшение размера $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ ?
Как происходит увеличение/уменьшение размера $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ влияют на надежность или целесообразность решения?
Насколько репрезентативны результаты, полученные в результате анализа устойчивости/возможности информационного разрыва того, что происходит в относительно большой общей области неопределенности? $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ ?

Предположим тогда, что устойчивость $\ \displaystyle {\hat {\alpha }}(q,r_{c})\$ было рассчитано для принятия решения $\ \displaystyle q\in {\mathcal {Q}}\$ и замечено, что $\ \displaystyle \ {\mathcal {U}}(\alpha ^{*},{\tilde {u}})\subseteq {\mathfrak {U}}\$ где $\ \displaystyle \alpha ^{*}={\hat {\alpha }}(q,r_{c})+\varepsilon \$ для некоторых $\ \displaystyle \varepsilon >0\$ .

Тогда возникает вопрос: какова будет надежность $\ \displaystyle q\$ , а именно $\ \displaystyle {\hat {\alpha }}(q,r_{c})\$ , повлияет, если область неопределенности будет, скажем, в два раза больше, чем $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ или, возможно, даже в 10 раз больше, чем $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ ?

Рассмотрим затем следующий результат, который является прямым следствием локального характера анализа устойчивости/возможности информационных пробелов и свойства гнездования областей неопределенности информационных пробелов (Снедович 2007):

Теорема инвариантности

Надежность решения $\ \displaystyle q\$ инвариантен размеру полной области неопределенности $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ для всех $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ такой, что

(7)	${\mathcal {U}}({\hat {\alpha }}(q,r_{c})+\varepsilon ,{\tilde {u}})\subseteq {\mathfrak {U}}\$ для некоторых $\ \displaystyle \varepsilon >0\ .$ $\Box$

Другими словами, для любого данного решения анализ информационных пробелов дает одинаковые результаты для всех областей неопределенности, которые содержат $\ \displaystyle \ {\mathcal {U}}(\alpha ^{*},{\tilde {u}})\$ . Это относится как к моделям надежности, так и к моделям возможности.

Это иллюстрируется на рисунке: робастность данного решения не меняется, несмотря на увеличение области неопределенности от $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}\$ к $\ \displaystyle {\mathfrak {U}}'''\$ .

Короче говоря, сосредоточив внимание исключительно на непосредственной окрестности оценки $\ \displaystyle {\tilde {u}}\$ Модели устойчивости/возможности информационного разрыва по своей сути являются локальными . По этой причине они в принципе неспособны включиться в анализ $\ \displaystyle {\hat {\alpha }}(q,r_{c})\$ и $\ \displaystyle {\hat {\beta }}(q,r_{c})\$ регионы неопределенности, лежащие за пределами кварталов ${\mathcal {U}}({\hat {\alpha }}(q,r_{c}),{\tilde {u}})\$ и ${\mathcal {U}}({\hat {\beta }}(q,r_{c}),{\tilde {u}})\$ сметы $\ \displaystyle {\tilde {u}}\$ , соответственно.

Для иллюстрации рассмотрим простой численный пример, где общая область неопределенности равна ${\mathfrak {U}}=(-\infty ,\infty ),\$ оценка $\ \displaystyle {\tilde {u}}=0\$ и для какого-то решения $\ \displaystyle {\hat {q}}\$ мы получаем ${\mathcal {U}}({\hat {\alpha }}({\hat {q}},r_{c}),{\tilde {u}})=(-2,2)$ . Картина такая:

где термин «ничейная земля» относится к части общей области неопределенности, которая находится за пределами региона. $\ \displaystyle {\mathcal {U}}({\hat {\alpha }}(q,r_{c})+\varepsilon ,{\tilde {u}})\$ .

Обратите внимание, что в этом случае устойчивость решения $\ \displaystyle {\hat {q}}\$ основано на его (наихудшем случае) характеристиках не более чем в ничтожной части общей области неопределенности, которая находится в непосредственной близости от оценки $\ \displaystyle {\tilde {u}}\$ . Поскольку обычно общая область неопределенности информационного разрыва не ограничена, эта иллюстрация представляет собой скорее обычный случай, чем исключение.

Надежность/возможность информационного дефицита по определению являются местными свойствами. По существу, они не могут оценить эффективность решений во всей области неопределенности. По этой причине неясно, как модели надежности/возможности Info-Gap могут обеспечить содержательную/надежную/полезную основу для принятия решений в условиях серьезной неопределенности, когда оценка плохая и, вероятно, будет существенно неверной.

Этот важный вопрос рассматривается в последующих разделах данной статьи.

Максимин/Минимин: игра в игры на устойчивость/возможность с Природой

Вот уже более шестидесяти лет фигурирует модель Максимина Уолда и связанных с ней в классической теории принятия решений областях, таких как робастная оптимизация , как ведущая невероятностная парадигма для моделирования и лечения серьезной неопределенности.

Информационный разрыв пропагандируется (например, Бен-Хаим 2001, 2006) как новая невероятностная теория, которая радикально отличается от всех существующих теорий принятия решений в условиях неопределенности. Таким образом, в этой дискуссии крайне важно изучить, чем модель устойчивости информационного разрыва радикально отличается от модели Maximin , если таковая имеется . Во-первых, существует устоявшаяся оценка полезности Максимина . Например, Бергер (глава 5) ^[66] предполагает, что даже в ситуациях, когда предварительная информация недоступна (лучший случай для Maximin ), Maximin может привести к неверным правилам принятия решений и его будет трудно реализовать. Он рекомендует байесовскую методологию . И как указано выше,

Следует также отметить, что принцип минимакса, даже если он применим, приводит к крайне консервативной политике.
Тинтнер (1952, стр. 25) ^[67]

Однако, помимо последствий, которые установка этого момента может иметь для полезности модели устойчивости информационных пробелов, причина, по которой нам следует прояснить взаимосвязь между информационным дефицитом и максимином , заключается в центральной роли последнего в теории принятия решений. В конце концов, это основная классическая методология принятия решений. Таким образом, любую теорию, претендующую на создание новой невероятностной методологии принятия решений в условиях серьезной неопределенности, можно будет сравнить с этим стойким приверженцем теории принятия решений. дефицит, не только отсутствует сравнение модели надежности информационного разрыва с моделью Максимина И тем не менее, в трех книгах, описывающих информационный (Ben-Haim 1996, 2001, 2006), но и Максимин в них даже не упоминается как основная методология теории принятия решений для сильная неуверенность в том, что это так.

В других источниках литературы по информационным пробелам можно найти дискуссии, посвященные сходствам и различиям между этими двумя парадигмами, а также дискуссии о взаимосвязи между информационными пробелами и анализом наихудшего случая. ^[7]^[16]^[35]^[37]^[53]^[68]Однако общее впечатление таково, что тесная связь между этими двумя парадигмами не выявлена. Действительно, утверждается обратное. Например, Бен-Хаим (2005 г.) ^[35]) утверждает, что модель надежности информационного разрыва аналогична модели Maximin , но не является моделью Maximin .

Следующая цитата красноречиво выражает оценку Бен-Хаимом отношения информационного пробела к Максимину и обеспечивает достаточную мотивацию для последующего анализа.

Мы отмечаем, что робастная надежность явно не является анализом наихудшего случая. В классическом мин-максном анализе наихудшего случая проектировщик минимизирует влияние случая с наибольшим ущербом. Но модель неопределенности информационного разрыва представляет собой неограниченное семейство вложенных множеств: $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ , для всех $\ \displaystyle \alpha \geq 0\$ . Следовательно, худшего случая не существует: любое неблагоприятное событие менее разрушительно, чем какое-либо другое, более экстремальное событие, происходящее при большем значении $\ \displaystyle \alpha \$ . Какое уравнение (1) выражает наибольший уровень неопределенности, соответствующий безотказности. Когда дизайнер выбирает q для максимизации $\ \displaystyle {\hat {\alpha }}(q,r_{c})\$ он максимизирует свой иммунитет к неограниченной окружающей неопределенности. Ближе всего к «мин-максиму» это относится к тому, что дизайн выбран таким образом, чтобы «плохие» события (причиняющие вознаграждение) $\ \displaystyle R\$ меньше, чем $\ \displaystyle r_{c}\$ ) происходят настолько «далеко», насколько это возможно (за максимальным значением $\ \displaystyle {\hat {\alpha }}\$ ).
Бен-Хаим, 1999, стр. 271–2. ^[69]

Здесь следует отметить, что это утверждение упускает из виду тот факт, что горизонт неопределенности $\ \displaystyle \alpha \$ ограничено сверху (неявно) требованием производительности

$r_{c}\leq R(q,u),\forall u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})$

и этот информационный пробел проводит анализ наихудшего случая — один анализ за раз для данного $\ \displaystyle \alpha \geq 0\$ -- внутри каждой из областей неопределенности $\displaystyle \ {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}}),\alpha \geq 0\$ .

Короче говоря, учитывая дискуссии в литературе об информационном дефиците по этому вопросу, очевидно, что необходимо выявить родство между моделью устойчивости информационного разрыва и Уолда моделью Максимина , а также родство информационного разрыва с другими моделями классической теории принятия решений. осветить. Итак, цель этого раздела — поместить модели устойчивости и возможностей информационного разрыва в надлежащий контекст, а именно в более широкие рамки классической теории принятия решений и робастной оптимизации .

Обсуждение основано на классической перспективе теории принятия решений, изложенной Снедовичем (2007). ^[70]) и стандартных текстов в этой области (например, Резник 1987, ^[63] Французский 1988 г. ^[64]).

Некоторые части последующего изложения имеют математический уклон.
Это неизбежно, поскольку модели информационного дефицита являются математическими.

Общие модели

Базовая концептуальная основа, которую предлагает классическая теория принятия решений для борьбы с неопределенностью, — это игра для двух игроков. Двумя игроками являются лицо, принимающее решения (DM), и Природа, где Природа представляет собой неопределенность. Более конкретно, Природа представляет отношение Мастера к неопределенности и риску.

Обратите внимание, что в этом отношении проводится четкое различие между лицом, принимающим пессимистические решения, и лицами, принимающими решения с оптимизмом , а именно между отношением к худшему сценарию и отношением к лучшему сценарию . Человек, принимающий решения с пессимизмом, предполагает, что Природа играет против него, тогда как человек, принимающий решения с оптимизмом, предполагает, что Природа играет с ним.

Чтобы выразить эти интуитивные понятия математически, классическая теория принятия решений использует простую модель, состоящую из следующих трех конструкций:

Набор $\ \displaystyle D$ представляющее пространство решений, доступное DM.
Набор наборов $\ \displaystyle \{S(d):d\in D\}\$ представление пространств состояний, связанных с решениями в $\ \displaystyle D$ .
Функция $\ \displaystyle g=g(d,s)$ определение результатов, генерируемых парами решение-состояние $\ \displaystyle (d,s)\$ .

Функция $\ \displaystyle g\$ называется целевой функцией, функцией выигрыша, функцией возврата, функцией затрат и т. д.

Процесс принятия решений (игра), определяемый этими объектами, состоит из трех этапов:

Шаг 1: DM выбирает решение $d\in D$ .
Шаг 2: В ответ дано $d$ , Природа выбирает состояние $\ \displaystyle s\in S(d)\$ .
Шаг 3: Результат $g(d,s)$ отведено ДМ.

Обратите внимание, что в отличие от игр, рассматриваемых в классической теории игр , здесь первый игрок (DM) ходит первым, так что второй игрок (Природа) знает, какое решение было выбрано первым игроком, прежде чем выбрать свое решение. Таким образом, концептуальные и технические сложности, связанные с существованием точки равновесия Нэша, здесь неуместны. Природа – не независимый игрок, это концептуальный механизм, описывающий отношение ЛПР к неопределенности и риску.

На первый взгляд простота этой схемы может показаться наивной. Тем не менее, о чем свидетельствует разнообразие конкретных случаев, которые он охватывает, он богат возможностями, гибок и универсален. Для целей данного обсуждения достаточно рассмотреть следующую классическую общую схему:

z^{*}={\underset {d\in D}{\overset {\text{DM}}{\operatorname {Opt} }}}\ {\underset {s\in S(d)}{\overset {\text{Nature}}{\operatorname {opt} }}}g(d,s)

где $\ \displaystyle \mathop {Opt} \$ и $\displaystyle \mathop {opt} \$ представляют критерии оптимальности DM и Природы соответственно, то есть каждый равен либо $\ \displaystyle \max \$ или $\ \displaystyle \min \$ .

Если $\ \displaystyle \mathop {Opt} =\mathop {opt} \$ то игра кооперативная, и если $\ \displaystyle \mathop {Opt} \neq \mathop {opt} \$ тогда игра некооперативная. Таким образом, этот формат представляет четыре случая: две некооперативные игры (Максимин и Минимакс) и две кооперативные игры (Минимин и Максимакс). Соответствующие формулировки следующие:

{\begin{array}{cc||cc}{\text{Worst-case pessimism}}&&{\text{Best-case optimism}}\\\hline {\text{Maximin}}&{\text{Minimax}}&{\text{Minimin}}&{\text{Maximax}}\\\displaystyle \max _{d\in D}\,\min _{s\in S(d)}\,g(d,s)&\displaystyle \min _{d\in D}\,\max _{s\in S(d)}\,g(d,s)&\displaystyle \min _{d\in D}\,\min _{s\in S(d)}\,g(d,s)&\displaystyle \max _{d\in D}\,\max _{s\in S(d)}\,g(d,s)\end{array}}

Каждый случай определяется парой критериев оптимальности, используемых DM и Nature. Например, Максимин изображает ситуацию, когда DM стремится максимизировать результат, а Природа стремится его минимизировать. Точно так же парадигма Minimin представляет ситуации, когда и DM, и Природа стремятся минимизировать результат.

Особый интерес для этого обсуждения представляют парадигмы Максимина и Минимина, поскольку они включают в себя модели надежности и возможностей информационного дефицита соответственно. Итак, вот они:

Игра Максимина: $\ \displaystyle \max _{d\in D}\,\min _{s\in S(d)}\,g(d,s)$
Шаг 1: DM выбирает решение $\ \displaystyle d\in D\$ с целью максимизировать результат $\ \displaystyle g(d,s)\$ .
Шаг 2: В ответ дано $\ \displaystyle d\$ , Природа выбирает состояние в $\ \displaystyle S(d)\$ что сводит к минимуму $\ \displaystyle g(d,s)\$ над $\ \displaystyle S(d)\$ .
Шаг 3: Результат $\ \displaystyle g(d,s)$ отведено ДМ.

Минимальная игра: $\ \displaystyle \min _{d\in D}\,\min _{s\in S(d)}\,g(d,s)$
Шаг 1: DM выбирает решение $\ \displaystyle d\in D\$ с целью минимизировать результат $\ \displaystyle g(d,s)\$ .
Шаг 2: В ответ дано $\ \displaystyle d\$ , Природа выбирает состояние в $\ \displaystyle S(d)\$ что сводит к минимуму $\ \displaystyle g(d,s)\$ над $\ \displaystyle S(d)\$ .
Шаг 3: Результат $\ \displaystyle g(d,s)$ отведено ДМ.

Имея это в виду, рассмотрим теперь модели надежности и возможностей информационного дефицита.

Модель надежности Info-Gap

С классической точки зрения теории принятия решений модель устойчивости информационного разрыва представляет собой игру между DM и Природой, в которой DM выбирает значение $\ \displaystyle \alpha \$ (стремясь к максимально возможному), тогда как Природа выбирает наихудшее значение $\ \displaystyle u\$ в $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ . В этом контексте худшее значение $\ \displaystyle u\$ относящийся к данному $\ \displaystyle (q,\alpha )\$ пара - это $\ \displaystyle u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ это нарушает требования к производительности $\ \displaystyle r_{c}\leq R(q,u)\$ . Это достигается за счет минимизации $\ \displaystyle R(q,u)\$ над $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ .

Существуют различные способы объединить цель DM и антагонистическую реакцию Природы в одном результате. Например, для этой цели можно использовать следующую характеристическую функцию:

$\varphi (q,\alpha ,u):={\begin{cases}\quad \alpha &,\ \ r_{c}\leq R(q,u)\\-\infty &,\ \ r_{c}>R(q,u)\end{cases}}\ ,\ q\in {\mathcal {Q}},\alpha \geq 0,u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})$

Заметим, что по желанию для любого триплета $\ \ (q,\alpha ,u)\$ интерес у нас есть

$r_{c}\leq R(q,u)\ \ \ \longleftrightarrow \ \ \ \alpha \leq \varphi (q,\alpha ,u)$

следовательно, с точки зрения DM, удовлетворение ограничения производительности эквивалентно максимизации $\ \displaystyle \varphi (q,\alpha ,u)\$ .

Суммируя,

Игра Maximin Robustness от Info-Gap на решение $\ \displaystyle q\$ : $\ \displaystyle {\hat {\alpha }}(q,r_{c}):=\max _{\alpha \geq 0}\,\min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\,\varphi (q,\alpha ,u)$
Шаг 1: Мастер выбирает горизонт неопределенности. $\ \displaystyle \alpha \geq 0\$ с целью максимизировать результат $\ \displaystyle \varphi (q,\alpha ,u)\$ .
Шаг 2: В ответ дано $\ \displaystyle \alpha \$ , Природа выбирает $\ \displaystyle u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ что сводит к минимуму $\ \displaystyle \varphi (q,\alpha ,u)\$ над $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ .
Шаг 3: Результат $\ \displaystyle \varphi (q,\alpha ,u)$ отведено ДМ.

Очевидно, что оптимальной альтернативой ЛПР является выбор наибольшего значения $\ \displaystyle \alpha \$ такое, что самое худшее $\ \displaystyle u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ удовлетворяет требованиям производительности.

Величайшая теорема

Как показано Снедовичем (2007), ^[47] Модель устойчивости Info-Gap представляет собой простой пример максимин-модели Уолда . Конкретно,

{\hat {\alpha }}(q,{r_{c}})=\max \left\{\alpha :\ {r_{\rm {c}}}\leq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}R(q,u)\right\}=\max _{\alpha \geq 0}\min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\varphi (q,\alpha ,u)\quad \quad \Box

Модель возможностей информационного дефицита

Точно так же модель возможностей информационного дефицита является простым примером общей модели Minimin. То есть,

{\hat {\beta }}(q,{r_{c}})=\min \left\{\alpha :\ {r_{c}}\leq \max _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}R(q,u)\right\}=\min _{\alpha \geq 0}\min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\psi (q,\alpha ,u)

где

\psi (q,\alpha ,u)=\left\{{\begin{matrix}\alpha &,&{r_{c}}\leq R(q,u)\\\infty &,&{r_{c}}>R(q,u)\end{matrix}}\right.\ ,\ \alpha \geq 0,u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})

наблюдая, что при желании для любого триплета $\ \ (q,\alpha ,u)\$ интерес у нас есть

$r_{w}\leq R(q,u)\ \ \ \longleftrightarrow \ \ \ \alpha \geq \psi (q,\alpha ,u)$

следовательно, для данной пары $\ \displaystyle (q,\alpha )\$ DM удовлетворит требования к производительности за счет минимизации результата $\ \displaystyle \psi (q,\alpha ,u)\$ над $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ . Поведение природы здесь является отражением ее сочувственной позиции.

Реплика: Такое отношение к риску и неопределенности, предполагающее, что Природа будет играть с нами, довольно наивно. Как отмечает Резник (1987, с. 32) ^[63]) "... Но этому правилу наверняка мало кто будет следовать...". Тем не менее, оно часто используется в сочетании с правилом Максимина при формулировке Гурвича правила оптимизма -пессимисима (Resnik 1987, ^[63] Французский 1988 г. ^[64]) с целью смягчить крайний консерватизм Максимина .

Формулировки математического программирования

Чтобы более убедительно продемонстрировать, что модель надежности информационного разрыва является примером общей модели Максимина , а модель возможностей информационного разрыва является примером общей модели Минимина, полезно изучить эквивалентные так называемые форматы математического программирования (МП) эти общие модели (Экер и Купфершмид, ^[71] 1988, стр. 24–25; Тай 1988 г. ^[72] pp. 314–317; Kouvelis and Yu, ^[59] 1997, с. 27):

${\begin{array}{c|c|c}{\textit {Model}}&{\textit {Classical\ Format}}&{\textit {MP\ Format}}\\\hline {\textit {Maximin:}}&\displaystyle \max _{d\in D}\ \min _{s\in S(d)}\ g(d,s)&\displaystyle \max _{d\in D,\alpha \in \mathbb {R} }\{\alpha :\alpha \leq \min _{s\in S(d)}g(d,s)\}\\{\textit {Minimin:}}&\displaystyle \min _{d\in D}\ \min _{s\in S(d)}\ g(d,s)&\displaystyle \min _{d\in D,\alpha \in \mathbb {R} }\{\alpha :\alpha \geq \min _{s\in S(d)}g(d,s)\}\end{array}}$

Таким образом, в случае информационного разрыва мы имеем

${\begin{array}{c|c|c|c}{\textit {Model}}&{\textit {Info-Gap\ Format}}&{\textit {MP\ Format}}&{\textit {Classical\ Format}}\\\hline {\textit {Robustness}}&\displaystyle \max\{\alpha :r_{c}\leq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}R(q,u)\}&\displaystyle \displaystyle \max\{\alpha :\alpha \leq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\varphi (q,\alpha ,u)\}&\displaystyle \max _{\alpha \geq 0}\ \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\ \varphi (q,\alpha ,u)\\{\textit {Opportuneness}}&\displaystyle \min\{\alpha :r_{c}\leq \max _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}R(q,u)\}&\displaystyle \displaystyle \min\{\alpha :\alpha \geq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\psi (q,\alpha ,u)\}&\displaystyle \min _{\alpha \geq 0}\ \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\ \psi (q,\alpha ,u)\end{array}}$

Чтобы проверить эквивалентность между форматами информационных пробелов и соответствующими форматами теории принятия решений, напомним, что по построению для любого триплета $\ \displaystyle (q,\alpha ,u)\$ интерес у нас есть

$\alpha \leq \varphi (q,\alpha ,u)\ \ \ \longleftrightarrow \ \ \ r_{c}\leq R(q,u)$

$\alpha \geq \psi (q,\alpha ,u)\ \ \ \longleftrightarrow \ \ \ r_{w}\leq R(q,u)$

Это означает, что в случае устойчивости/ Максимина антагонистическая Природа будет (эффективно) минимизировать $\ \displaystyle R(q,u)\$ минимизируя $\ \displaystyle \varphi (q,\alpha ,u)\$ тогда как в случае возможности/Минимина сочувствующая Природа будет (эффективно) максимизировать $\ \displaystyle R(q,u)\$ минимизируя $\ \displaystyle \psi (q,\alpha ,u)\$ .

Краткое содержание

Анализ устойчивости Info-Gap предполагает, что при наличии пары $\ \displaystyle (q,\alpha )\$ , худший элемент $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ реализуется. Это, конечно, типичный анализ Максимина . Говоря языком классической теории принятия решений :

Надежность решения $\ \displaystyle q\$ самый большой горизонт неопределенности, $\ \displaystyle \alpha \$ , такой, что наихудшее значение $\ \displaystyle u\$ в $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ удовлетворяет требованиям производительности $\ \displaystyle r_{c}\leq R(q,u)\$ .

Аналогично, анализ возможностей информационного разрыва предполагает, что при наличии пары $\ \displaystyle (q,\alpha )\$ , лучший элемент $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ реализуется. Это, конечно, типичный анализ Minimin. Говоря языком классической теории принятия решений :

Возможность решения $\ \displaystyle q\$ это наименьший горизонт неопределенности, $\ \displaystyle \alpha \$ , такой, что наилучшее значение $\ \displaystyle u\$ в $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ удовлетворяет требованиям производительности $\ \displaystyle r_{w}\leq R(q,u)\$ .

Математическая транслитерация этих концепций проста, в результате чего получаются типичные модели Максимина и Минимина соответственно.

Компактная структура общих моделей Maximin/Minimin не является ограничительной, а является скрытым благом. Главное здесь то, что абстрактный характер трех основных конструкций родовых моделей

Решение
Состояние
Исход

по сути, обеспечивает большую гибкость моделирования.

Поэтому необходим более детальный анализ, чтобы выявить всю силу взаимосвязи между информационным дефицитом и общими классическими моделями теории принятия решений. См. #Заметки по искусству математического моделирования .

Охота за сокровищами

Ниже приводится графическое резюме дискуссии Снедовича (2007) о локальной и глобальной устойчивости. Для наглядности здесь это обозначено как « Охота за сокровищами». Он показывает, как элементы модели надежности информационного разрыва соотносятся друг с другом и как в модели учитывается серьезная неопределенность.

(1) Вы отвечаете за поиск сокровищ на небольшом континенте где-то в Азиатско-Тихоокеанском регионе. Вы просматриваете портфолио стратегий поиска. Вам нужно решить, какая стратегия лучше всего подойдет для этой конкретной экспедиции.

(2) Сложность в том, что точное местонахождение клада на континенте неизвестно. Существует серьезный разрыв между тем, что вам нужно знать (истинное местонахождение сокровища), и тем, что вы на самом деле знаете (плохая оценка истинного местоположения).

(3) Каким-то образом вы вычисляете приблизительное местонахождение клада. Поскольку здесь мы имеем дело с серьезной неопределенностью, мы предполагаем (с методологической точки зрения), что эта оценка не является точным показателем истинного местоположения и, скорее всего, будет существенно неверной.

(4) Чтобы определить надежность данной стратегии, вы проводите локальный анализ наихудшего случая в непосредственной близости от плохой оценки. В частности, вы вычисляете наибольшее безопасное отклонение от плохой оценки, которое не нарушает требования к производительности.

(5) Вы вычисляете надежность каждой стратегии поиска в своем портфолио и выбираете ту, надежность которой является наибольшей.

(6) Чтобы напомнить себе и финансовым спонсорам экспедиции, что этот анализ подвержен серьезной неопределенности в отношении истинного местонахождения сокровищ, важно — с методологической точки зрения — отобразить истинное местоположение на карте. Конечно, вы не знаете истинного местоположения. Но, учитывая серьезность неопределенности, вы помещаете ее на некотором расстоянии от плохой оценки. Чем серьезнее неопределенность, тем больше должно быть расстояние (разрыв) между истинным местоположением и оценкой.

Эпилог:

По мнению Снедовича (2007), это является важным напоминанием о центральном вопросе принятия решений в условиях серьезной неопределенности. Имеющаяся у нас оценка плохо указывает на истинное значение интересующего параметра и, скорее всего, существенно неверна. Поэтому в случае информационного дефицита важно показать этот дефицит на карте, отобразив истинную ценность $\ \displaystyle u\$ где-то в области неопределенности.

Маленький красный $\ \clubsuit \$ представляет истинное (неизвестное) местонахождение сокровища.

В итоге:

Модель устойчивости Info-Gap представляет собой математическое представление локального анализа наихудшего случая в окрестности заданной оценки истинного значения интересующего параметра. В условиях серьезной неопределенности предполагается, что оценка не является точным показателем истинного значения параметра и, вероятно, будет существенно неверной.

Таким образом, фундаментальный вопрос заключается в следующем: учитывая

Серьезность неопределенности
Локальный характер анализа
Плохое качество сметы

насколько значимы и полезны результаты анализа и насколько надежна методология в целом?

Более подробную информацию об этой критике можно найти на веб-сайте Снедовича.

Заметки об искусстве математического моделирования

Удовлетворение ограничений против оптимизации выигрыша

Любую задачу удовлетворения можно сформулировать как задачу оптимизации. Чтобы убедиться в этом, пусть целевая функция задачи оптимизации будет индикаторной функцией ограничений, относящихся к проблеме удовлетворения. Таким образом, если наша задача состоит в том, чтобы определить наихудший сценарий, относящийся к ограничению, это можно сделать с помощью подходящего Максимин/Минимаксного анализа наихудшего случая индикаторной функции ограничения.

Это означает, что общие модели теории принятия решений могут обрабатывать результаты, вызванные ограничениями, удовлетворяющими требованиям, а не, скажем, максимизацией выигрыша.

В частности, отметим эквивалентность

$r\leq f(x)\ \ \longleftrightarrow \ \ 1\leq I(x)$

где

$I(x):={\begin{cases}1&,\ \ r\leq f(x)\\0&,\ \ r>f(x)\end{cases}}\ ,\ x\in X$

и поэтому

$x\in X,r\leq f(x)\ \ \ \longleftrightarrow \ \ \ x=\arg \,\max _{x\in X}I(x)$

На практике это означает, что антагонистическая Природа будет стремиться выбрать состояние, которое будет нарушать ограничение, тогда как сочувствующая Природа будет стремиться выбрать состояние, которое будет удовлетворять ограничению. Что касается результата, то наказание за нарушение ограничения таково, что лицо, принимающее решение, воздержится от выбора решения, которое позволит Природе нарушить ограничение в пространстве состояний, относящемся к выбранному решению.

Роль «мин» и «макс»

Следует подчеркнуть, что особенностью, согласно модели устойчивости информационного разрыва, является ее типичный максиминовый характер, а не наличие обоих $\ \displaystyle \min \$ и $\ \displaystyle \max \$ при разработке модели информационного дефицита. Скорее, причина этого более глубокая. Это затрагивает суть концептуальной основы, которую отражает модель Максимина : Природа играет против DM. Вот что здесь имеет решающее значение.

Чтобы убедиться в этом, давайте обобщим модель устойчивости информационного разрыва и вместо этого рассмотрим следующую модифицированную модель:

$z(q):=\max\{\alpha :R(q,u)\in C,\forall u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\}$

где в этом контексте $\ \displaystyle C\$ это какой-то набор и $\ R\$ какая-то функция включена $\ \displaystyle {\mathcal {Q}}\times {\mathfrak {U}}$ . Обратите внимание, что не предполагается, что $\ \displaystyle R\$ является действительнозначной функцией. Также обратите внимание, что в этой модели отсутствует «min».

Все, что нам нужно сделать, чтобы включить min в эту модель, — это выразить ограничение

$R(q,u)\in C\ ,\ \forall u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})$

как требование наихудшего случая. Это несложная задача, учитывая, что для любого триплета $\ \displaystyle (q,\alpha .u)\$ интерес у нас есть

$R(q,u)\in C\ \ \ \longleftrightarrow \ \ \ \alpha \leq I(q,\alpha ,u)$

где

$I(q,\alpha ,u):={\begin{cases}\quad \alpha &,\ \ R(q,u)\in C\\-\infty &,\ \ R(q,u)\notin C\end{cases}}\ ,\ q\in {\mathcal {Q}},u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})$

следовательно,

${\begin{array}{ccl}\max\{\alpha :R(q,u)\in C,\forall u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\}&=&\max\{\alpha :\alpha \leq I(q,\alpha ,u),\forall u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\}\\&=&\max\{\alpha :\alpha \leq \displaystyle \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}I(q,\alpha ,u)\}\end{array}}$

что, конечно же, является моделью Максимина а-ля математическое программирование.

Суммируя,

$\max\{\alpha :R(q,u)\in C,\forall u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\}=\max _{\alpha \geq 0}\ \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}I(q,\alpha ,u)\}$

Обратите внимание: хотя модель слева не включает явного «min», тем не менее, это типичная модель Maximin. Особенностью, делающей ее моделью Maximin, является $\ \displaystyle \forall \$ Требование, которое поддается интуитивной формулировке и интерпретации для наихудшего случая.

Фактически, наличие двойного «максимума» в модели устойчивости к информационному разрыву не обязательно меняет тот факт, что эта модель является моделью Максимина . Например, рассмотрим модель устойчивости

$\max\{\alpha :r_{c}\geq \max _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}R(q,u)\}$

Это экземпляр следующей Maximin модели .

$\max _{\alpha \geq 0}\min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\vartheta (q,\alpha ,u)$

где

$\vartheta (q,\alpha ,u):={\begin{cases}\quad \alpha &,\ \ r_{c}\geq R(q,\alpha )\\-\infty &,\ \ r_{c}<R(q,\alpha )\end{cases}}$

«Внутренний минимум» указывает на то, что Природа играет против DM – «максимального» игрока – следовательно, модель является моделью устойчивости.

Природа связи информационного разрыва/максимина/минимина

Этот вопрос моделирования обсуждается здесь, поскольку были сделаны утверждения о том, что, хотя существует тесная взаимосвязь между моделями устойчивости и возможностей информационного разрыва и общими моделями максимина и минимина, соответственно, описание информационного дефицита как примера этих моделей слишком сильный. Выдвигаемый аргумент заключается в том, что, хотя модель надежности информационного разрыва и правда может быть выражена как максиминная модель, первая не является примером второй.

Это возражение, по-видимому, проистекает из того факта, что любую задачу оптимизации можно сформулировать как максимин-модель путем простого использования фиктивных переменных. То есть, ясно

\min _{x\in X}f(x)=\max _{y\in Y}\min _{x\in X}g(y,x)

где

g(y,x)=f(x)\ ,\ \forall x\in X,y\in Y

для любого произвольного непустого множества $Y$ .

Суть этого возражения, по-видимому, заключается в том, что мы рискуем размыть значение термина « экземпляр», если таким образом утверждаем, что любая задача минимизации является примером максимин- модели.

Поэтому следует отметить, что эта озабоченность совершенно необоснованна в случае соотношения информационный дефицит/максимин/минимин. Соответствие между моделью устойчивости информационного разрыва и общей моделью максимина не является ни надуманным, ни сформулированным с помощью фиктивных объектов. Соответствие является непосредственным, интуитивным и убедительным, поэтому оно удачно описывается термином « экземпляр» .

В частности, как показано выше, модель устойчивости информационного разрыва является экземпляром общей модели максимина, заданной следующими конструкциями:

{\begin{aligned}{\text{Decision space}}&&D&=(0,\infty )\\{\text{State spaces}}&&S(d)&={\mathcal {U}}(d,{\tilde {u}})\\{\text{Outcomes}}&&g(d,s)&=\varphi (q,d,s)\end{aligned}}

Кроме того, те, кто возражает против использования термина «экземпляр», должны отметить, что сформулированная выше модель Максимина имеет эквивалент, так называемую формулировку математического программирования (МП), вытекающую из того факта, что

{\begin{array}{rcl}{\text{Classical maximin format}}&&{\text{MP maximin format}}\\\displaystyle \max _{d\in D}\ \min _{s\in S(d)}\ g(d,s)&=&\displaystyle \max _{d\in D,\alpha \in \mathbb {R} }\{\alpha :\alpha \leq \min _{s\in S(d)}g(d,s)\}\end{array}}

где $\ \mathbb {R} \$ обозначает реальную линию.

Итак, вот модель надежности информационного разрыва и две эквивалентные формулировки общей парадигмы максимина :

{\begin{array}{l}{\text{Robustness model}}\\{\begin{array}{c|c|c}{\text{Info-gap format}}&{\text{MP maximin format}}&{\text{Classical maximin format}}\\\hline \\[-0.18in]\displaystyle \max\{\alpha :r_{c}\leq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}R(q,u)\}&\displaystyle \max\{\alpha :\alpha \leq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\ \varphi (q,\alpha ,u)\}&\displaystyle \max _{\alpha \geq 0}\ \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\varphi (q,\alpha ,u)\end{array}}\end{array}}

Обратите внимание, что эквивалентность между этими тремя представлениями одной и той же ситуации принятия решений не требует использования фиктивных переменных. Он основан на эквивалентности

r_{c}\leq R(q,u)\longleftrightarrow \alpha \leq \varphi (q,\alpha ,u)

вытекающее непосредственно из определения характеристической функции $\varphi$ .

Очевидно, что модель надежности информационного разрыва является примером общей модели максимина .

Аналогично, для модели возможностей информационного дефицита мы имеем

{\begin{array}{l}{\text{Opportuneness model}}\\{\begin{array}{c|c|c}{\text{Info-gap Format}}&{\text{MP minimin format}}&{\text{Classical minimin format}}\\\hline \\[-0.18in]\displaystyle \min\{\alpha :r_{w}\leq \max _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}R(q,u)\}&\displaystyle \min\{\alpha :\alpha \geq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\ \psi (q,\alpha ,u)\}&\displaystyle \min _{\alpha \geq 0}\ \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\psi (q,\alpha ,u)\end{array}}\end{array}}

Опять же, следует подчеркнуть, что эквивалентность между этими тремя представлениями одной и той же ситуации принятия решений не требует использования фиктивных переменных. Он основан на эквивалентности

r_{c}\leq R(q,u)\longleftrightarrow \alpha \geq \psi (q,\alpha ,u)

вытекающее непосредственно из определения характеристической функции $\psi$ .

Таким образом, чтобы «помочь» DM минимизировать $\alpha$ , отзывчивая Природа выберет $u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ что сводит к минимуму $\ \psi (q,\alpha ,u)\$ над $\ \displaystyle {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ .

Очевидно, что модель возможностей информационного дефицита является примером общей модели минимина.

Другие составы

Конечно, существуют и другие достоверные представления моделей устойчивости/возможности. Например, в случае модели устойчивости результаты можно определить следующим образом (Сниедович, 2007). ^[70]) :

$g(\alpha ,u):=\alpha \cdot \left(r_{c}\preceq R(q,u)\right)$

где бинарная операция $\ \ \preceq \ \$ определяется следующим образом:

$a\preceq b:={\begin{cases}1&,\ \ a\leq b\\0&,\ \ a>b\end{cases}}$

Тогда соответствующий формат MP модели Maximin будет следующим:

$\max\{\alpha :\alpha \leq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\alpha \cdot \left(r_{c}\preceq R(q,u)\right)\}=\max\{\alpha :1\leq \min _{u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})}\left(r_{c}\preceq R(q,u)\right)\}$

Другими словами, чтобы максимизировать надежность, DM выбирает наибольшее значение $\ \alpha \$ такое, что ограничение производительности $\ r_{c}\leq R(q,u)\$ доволен всем $\ u\in {\mathcal {U}}(\alpha ,{\tilde {u}})\$ . Проще говоря: Мастер выбирает наибольшее значение $\ \displaystyle \alpha \$ чей худший результат в области неопределенности размера $\ \displaystyle \alpha \$ удовлетворяет требованиям производительности.

Упрощения

Как правило, классические формулировки Максимина не особенно полезны, когда дело доходит до решения проблем, которые они представляют, поскольку не Максимина «общего назначения» (Рустем и Хоу, 2002). существует решателя ^[60]).

Поэтому общепринятой практикой является упрощение классической формулировки с целью получения формулировки, которая легко поддается решению. Это задача, специфичная для конкретной проблемы, которая включает в себя использование специфических особенностей проблемы. Формат математического программирования Maximin в этом отношении зачастую более удобен для пользователя.

Лучшим примером, конечно, является классическая Максимина модель игр с нулевой суммой для двух лиц , которая после оптимизации сводится к стандартной модели линейного программирования (Thie 1988, ^[72] стр. 314–317), которая легко решается с помощью линейного программирования алгоритмов .

Повторим, эта модель линейного программирования является примером общей модели Максимина , полученной путем упрощения классической Максимина формулировки игры с нулевой суммой для двух человек .

Другим примером является динамическое программирование , где парадигма Максимина включена в функциональное уравнение динамического программирования, представляющее последовательные процессы принятия решений, которые подвержены серьезной неопределенности (например, Sniedovich 2003). ^[73]^[74]).

Краткое содержание

Напомним, что простым языком парадигма Максимина утверждает следующее:

Правило Максимина
Правило максимина предписывает нам ранжировать альтернативы по их наихудшим возможным результатам: мы должны принять альтернативу, худший результат которой превосходит худший результат других.
Ролз (1971, стр. 152)

Модель надежности Info-Gap является простым примером этой парадигмы, которая характеризуется конкретным пространством решений, пространствами состояний и целевой функцией, как обсуждалось выше.

Многого можно добиться, рассматривая теорию информационного дефицита в этом свете.

См. также

Примечания

^ Вот несколько примеров: Во многих областях, включая инженерное дело , экономику , менеджмент , биологическую охрану , медицину , внутреннюю безопасность и т. д., аналитики используют модели и данные для оценки и формулирования решений . Информационный разрыв – это несоответствие между тем, что известно , и тем, что необходимо знать для принятия надежного и ответственного решения. Информационные пробелы — это неопределенность по Найту : недостаток знаний, неполнота понимания. Информационные пробелы не являются вероятностными и не могут быть застрахованы или смоделированы вероятностным путем . Распространенным информационным пробелом, хотя и не единственным, является неопределенность в значении параметра или вектора параметров, таких как долговечность нового материала или будущие ставки или доходность запасов. Еще одним распространенным информационным пробелом является неопределенность в форме распределения вероятностей . Еще одним информационным пробелом является неопределенность в функциональной форме свойства системы, такого как сила трения в технике или кривая Филлипса в экономике. Другой информационный пробел заключается в форме и размере набора возможных векторов или функций. Например, можно иметь очень мало знаний о соответствующем наборе сердечных сигналов в начале сердечной недостаточности у конкретного человека.

Ссылки

^ Яков Бен-Хаим, Теория информационного разрыва: решения в условиях серьезной неопределенности, Academic Press, Лондон, 2001.
^ Яков Бен-Хаим, Теория информационного разрыва: решения в условиях серьезной неопределенности, 2-е издание, Academic Press, Лондон, 2006.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Снедович, М. (2010). «Теория принятия решений при информационном дефиците с высоты птичьего полета». Журнал рискового финансирования . 11 (3): 268–283. дои : 10.1108/15265941011043648 .
^ «Как возникла теория информационного дефицита? Как она развивается?» . Архивировано из оригинала 28 ноября 2009 г. Проверено 18 марта 2009 г.
^ Jump up to: ^а ^б Яков Бен-Хаим, Робастная надежность в механике, Springer, Берлин, 1996.
^ Хипель, Кейт В.; Бен-Хаим, Яков (1999). «Принятие решений в неопределенном мире: моделирование информационного разрыва в управлении водными ресурсами». Транзакции IEEE в системах, человеке и кибернетике. Часть C: Приложения и обзоры . 29 (4): 506–517. дои : 10.1109/5326.798765 . S2CID 14135581 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Яков Бен-Хаим, 2005, Теория принятия решений при информационном дефиците для инженерного проектирования. Или: «Почему «хорошо» предпочтительнее «лучшего»», опубликовано в главе 11 в « Справочнике по надежности инженерного проектирования » под редакцией Эфстратиоса Николаидиса, Дэна М. Гиоселя и Сурендры Сингхала, CRC Press, Бока-Ратон.
^ Jump up to: ^а ^б Канно, Ю.; Такеваки, И. (2006). «Анализ прочности ферм с отделяемой нагрузкой и структурными неопределенностями». Международный журнал твердых тел и структур . 43 (9): 2646–2669. doi : 10.1016/j.ijsolstr.2005.06.088 .
^ Jump up to: ^а ^б Кайхонг Ван, 2005 г., Анализ вибрации растрескавшихся композитных балок изгиба и кручения для диагностики повреждений, докторская диссертация, Политехнический институт Вирджинии, Блэксбург, Вирджиния.
^ Jump up to: ^а ^б Канно, Ю.; Такеваки, И. (2006). «Последовательная полуопределенная программа для проектирования максимальной прочности конструкций в условиях неопределенности нагрузки». Журнал теории оптимизации и приложений . 130 (2): 265–287. дои : 10.1007/s10957-006-9102-z . S2CID 16514524 .
^ Jump up to: ^а ^б Пирс, СГ; Уорден, К.; Мэнсон, Г. (2006). «Новый метод выявления информационных пробелов для оценки надежности обнаружения повреждений на основе нейронных сетей». Журнал звука и вибрации . 293 (1–2): 96–111. Бибкод : 2006JSV...293...96P . дои : 10.1016/j.jsv.2005.09.029 .
^ Пирс, Гарет; Бен-Хаим, Яков; Уорден, Кейт; Мэнсон, Грэм (2006). «Оценка надежности нейронных сетей с использованием теории информационного разрыва». Транзакции IEEE в нейронных сетях . 17 (6): 1349–1361. дои : 10.1109/ТНН.2006.880363 . ПМИД 17131652 . S2CID 13019088 .
^ Jump up to: ^а ^б Четвинд, Д.; Уорден, К.; Мэнсон, Г. (2006). «Применение интервальных нейронных сетей к задаче регрессии». Труды Королевского общества А. 462 (2074): 3097–3114. Бибкод : 2006RSPSA.462.3097C . дои : 10.1098/rspa.2006.1717 . S2CID 122820264 .
^ Лим, Д.; Онг, Ю.С.; Джин, Ю.; Сендхофф, Б.; Ли, бакалавр наук (2006). «Обратный многокритериальный надежный эволюционный дизайн» (PDF) . Генетическое программирование и развивающиеся машины . 7 (4): 383–404. дои : 10.1007/s10710-006-9013-7 . S2CID 9244713 .
^ Винот, П.; Коган, С.; Чиполла, В. (2005). «Надежная процедура планирования тестирования на основе моделей» (PDF) . Журнал звука и вибрации . 288 (3): 571–585. Бибкод : 2005JSV...288..571V . дои : 10.1016/j.jsv.2005.07.007 . S2CID 122895551 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Такеваки, Изуру; Бен-Хаим, Яков (2005). «Надежная конструкция с информационными пробелами с неопределенностью нагрузки и модели». Журнал звука и вибрации . 288 (3): 551–570. Бибкод : 2005JSV...288..551T . дои : 10.1016/j.jsv.2005.07.005 . S2CID 53466062 .
^ Изуру Такеваки и Яков Бен-Хаим, 2007 г., Надежное проектирование пассивно управляемых конструкций с учетом неопределенностей нагрузки и модели с учетом информационного разрыва, Оптимизация проектирования конструкций с учетом неопределенностей , Яннис Цомпанакис, Никкос Д. Лагарос и Манолис Пападракакис, редакторы, издательство Taylor and Francisco Publishers.
^ Хемез, Франсуа М.; Бен-Хаим, Яков (2004). «Устойчивость к информационным пробелам для корреляции испытаний и моделирования нелинейных переходных процессов» . Механические системы и обработка сигналов . 18 (6): 1443–1467. Бибкод : 2004MSSP...18.1443H . дои : 10.1016/j.ymssp.2004.03.001 .
^ Леви, Джейсон К.; Хипель, Кейт В.; Килгур, Марк (2000). «Использование экологических показателей для количественной оценки устойчивости политических альтернатив неопределенности». Экологическое моделирование . 130 (1–3): 79–86. дои : 10.1016/S0304-3800(00)00226-X .
^ Мойланен, А.; Винтл, бакалавр (2006). «Анализ неопределенности благоприятствует выбору пространственно агрегированных резервных структур». Биологическая консервация . 129 (3): 427–434. дои : 10.1016/j.biocon.2005.11.006 .
^ Халперн, Бенджамин С.; Риган, Хелен М.; Поссингем, Хью П.; Маккарти, Майкл А. (2006). «Учет неопределенности при проектировании морских заповедников». Экологические письма . 9 (1): 2–11. Бибкод : 2006EcolL...9....2H . дои : 10.1111/j.1461-0248.2005.00827.x . ПМИД 16958861 .
^ Риган, Хелен М.; Бен-Хаим, Яков; Лэнгфорд, Билл; Уилсон, Уилл Г.; Лундберг, Пер; Андельман, Сэнди Дж.; Бургман, Марк А. (2005). «Принятие устойчивых решений в условиях серьезной неопределенности для управления природоохранной деятельностью» . Экологические приложения . 15 (4): 1471–1477. Бибкод : 2005ЭкоАп..15.1471Р . дои : 10.1890/03-5419 .
^ Маккарти, Массачусетс; Линденмайер, Д.Б. (2007). «Теория принятия решений по пробелам в информации для оценки управления водосборами для производства древесины и городского водоснабжения». Экологический менеджмент . 39 (4): 553–562. Бибкод : 2007EnMan..39..553M . дои : 10.1007/s00267-006-0022-3 . hdl : 1885/28692 . ПМИД 17318697 . S2CID 45674554 .
^ Кроун, Элизабет Э.; Пикеринг, Дебби; Шульц, Шерил Б. (2007). «Может ли выращивание в неволе способствовать восстановлению находящихся под угрозой исчезновения бабочек? Оценка перед лицом неопределенности». Биологическая консервация . 139 (1–2): 103–112. Бибкод : 2007BCons.139..103C . doi : 10.1016/j.biocon.2007.06.007 .
^ Л. Джо Моффитт, Джон К. Странлунд и Крейг Д. Остин, 2007 г., Надежные протоколы обнаружения неопределенных интродукций инвазивных видов, Журнал управления окружающей средой , в печати, исправленное доказательство, доступно в Интернете 27 августа 2007 г.
^ Бургман, Массачусетс; Линденмайер, Д.Б.; Элит, Дж. (2005). «Управление ландшафтами для сохранения в условиях неопределенности» (PDF) . Экология . 86 (8): 2007–2017. Бибкод : 2005Экол...86.2007Б . CiteSeerX 10.1.1.477.4238 . дои : 10.1890/04-0906 .
^ Мойланен, А.; Элит, Дж.; Бургман, М.; Бургман, М. (2006). «Анализ неопределенностей при выборе резервов регионального масштаба». Биология сохранения . 20 (6): 1688–1697. Бибкод : 2006ConBi..20.1688M . дои : 10.1111/j.1523-1739.2006.00560.x . ПМИД 17181804 . S2CID 28613050 .
^ Мойланен, Атте; Рунге, Майкл С.; Элит, Джейн; Тир, Эндрю; Кармель, Йохай; Феграус, Эрик; Винтл, Брендан; Бургман, Марк; Бенхаим, Ю (2006). «Планирование надежных резервных сетей с использованием анализа неопределенности» . Экологическое моделирование . 199 (1): 115–124. doi : 10.1016/j.ecolmodel.2006.07.004 . S2CID 2406867 .
^ Николсон, Эмили; Поссингем, Хью П. (2007). «Принятие решений по сохранению в условиях неопределенности в отношении сохранения нескольких видов» (PDF) . Экологические приложения . 17 (1): 251–265. doi : 10.1890/1051-0761(2007)017[0251:MCDUUF]2.0.CO;2 . ПМИД 17479849 .
^ Бургман, Марк, 2005, Риски и решения для охраны окружающей среды и управления окружающей средой , Издательство Кембриджского университета, Кембридж.
^ Кармель, Йохай; Бен-Хаим, Яков (2005). «Надежная и удовлетворяющая информационная модель поведения при поиске пищи: собиратели оптимизируют или удовлетворяют?». Американский натуралист . 166 (5): 633–641. дои : 10.1086/491691 . ПМИД 16224728 . S2CID 20509139 .
^ Моффитт, Джо; Странлунд, Джон К.; Филд, Барри К. (2005). «Инспекции по предотвращению терроризма: надежность в условиях серьезной неопределенности» . Журнал внутренней безопасности и управления чрезвычайными ситуациями . 2 (3): 3. дои : 10.2202/1547-7355.1134 . S2CID 55708128 . Архивировано из оригинала 23 марта 2006 г. Проверено 21 апреля 2006 г.
^ Jump up to: ^а ^б Бересфорд-Смит, Брайан; Томпсон, Колин Дж. (2007). «Управление кредитным риском в условиях неопределенности информационного дефицита». Журнал рискового финансирования . 8 (1): 24–34. дои : 10.1108/15265940710721055 .
^ Джон К. Странлунд и Яков Бен-Хаим, (2007), Экологическое регулирование на основе цены и количества в условиях неопределенности Найта: надежная и приносящая удовлетворение перспектива информационного разрыва, Журнал экологического менеджмента , в печати, исправленное доказательство, доступно в Интернете 28 марта 2007 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Бен-Хаим, Яков (2005). «Ценность под угрозой из-за неопределенности информационного дефицита». Журнал рискового финансирования . 6 (5): 388–403. дои : 10.1108/15265940510633460 . S2CID 154808813 .
^ Бен-Хаим, Яков; Лауфер, Александр (1998). «Надежная надежность проектов с неопределенностью продолжительности деятельности». Журнал строительной техники и менеджмента . 124 (2): 125–132. doi : 10.1061/(ASCE)0733-9364(1998)124:2(125) .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Тахан, Меир; Бен-Ашер, Джозеф З. (2005). «Моделирование и анализ интеграционных процессов инженерных систем». Системная инженерия . 8 (1): 62–77. дои : 10.1002/sys.20021 . S2CID 3178866 .
^ Регев, Сары; Штуб, Авраам; Бен-Хаим, Яков (2006). «Управление проектными рисками как пробелами в знаниях». Журнал управления проектами . 37 (5): 17–25. дои : 10.1177/875697280603700503 . S2CID 110857106 .
^ Фокс, ДР; Бен-Хаим, Ю.; Хейс, КР; Маккарти, М.; Винтл, Б.; Данстан, П. (2007). «Подход с учетом информационного дефицита к расчетам мощности и размера выборки». Экологометрия . 18 (2): 189–203. Бибкод : 2007Envir..18..189F . дои : 10.1002/env.811 . S2CID 53609269 .
^ Бен-Хаим, Яков (1994). «Выпуклые модели неопределенности: приложения и последствия». Эркеннтнис . 41 (2): 139–156. дои : 10.1007/BF01128824 . S2CID 121067986 .
^ Бен-Хаим, Яков (1999). «Сет-модели неопределенности информационного разрыва: аксиомы и схема вывода». Журнал Института Франклина . 336 (7): 1093–1117. дои : 10.1016/S0016-0032(99)00024-1 .
^ Бен-Хаим, Яков (2000). «Надежная рациональность и решения в условиях серьезной неопределенности». Журнал Института Франклина . 337 (2–3): 171–199. дои : 10.1016/S0016-0032(00)00016-8 .
^ Бен-Хаим, Яков (2004). «Неопределенность, вероятность и информационные пробелы». Инженерия надежности и системная безопасность . 85 (1–3): 249–266. дои : 10.1016/j.ress.2004.03.015 .
^ Джордж Дж. Клир, 2006, Неопределенность и информация: основы обобщенной теории информации , Wiley Publishers.
^ Яков Бен-Хаим, 2007, Пирс, Хаак и информационные пробелы, в Сьюзен Хаак, Выдающаяся дама: философ отвечает своим критикам , под редакцией Корнелиса де Ваала, Prometheus Books.
^ Бургман, Марк, 2005, Риски и решения для охраны окружающей среды и управления окружающей средой , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, стр. 399.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Снедович, М. (2007). «Искусство и наука моделирования принятия решений в условиях серьезной неопределенности» (PDF) . Принятие решений в производстве и сфере услуг . 1 (1–2): 109–134. дои : 10.7494/dmms.2007.1.2.111 .
^ Саймон, Герберт А. (1959). «Теории принятия решений в экономике и поведенческой науке». Американский экономический обзор . 49 : 253–283.
^ Шварц, Барри, 2004, Парадокс выбора: почему больше значит меньше , Harper Perennial.
^ Конлиск, Джон (1996). «Почему ограниченная рациональность?». Журнал экономической литературы . XXXIV : 669–700.
^ Бургман, Марк, 2005, Риски и решения для охраны окружающей среды и управления окружающей средой , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, стр. 391, 394.
^ Jump up to: ^а ^б Винот, П.; Коган, С.; Чиполла, В. (2005). «Надежная процедура планирования тестирования на основе моделей» (PDF) . Журнал звука и вибрации . 288 (3): 572. Бибкод : 2005JSV...288..571V . дои : 10.1016/j.jsv.2005.07.007 . S2CID 122895551 .
^ Jump up to: ^а ^б З. Бен-Хаим и Ю. К. Эльдар, Оценщики максимального набора с ограниченной ошибкой оценки, IEEE Trans. Сигнальный процесс. , том. 53, нет. 8 августа 2005 г., стр. 3172–3182.
^ Бабушка И., Ф. Нобиле и Р. Темпоне, 2005, Анализ сценариев наихудшего случая для эллиптических задач с неопределенностью, Numerische Mathematik (на английском языке), том 101, стр. 185–219.
^ Бен-Хаим, Яков; Коган, Скотт; Сансень, Летиция (1998). «Применение математических моделей в процессах принятия механических решений». Механические системы и обработка сигналов . 12 (1): 121–134. Бибкод : 1998MSSP...12..121B . дои : 10.1006/mssp.1996.0137 .
^ (См. также главу 4 в книге Яков Бен-Хаим, ссылка 2.)
^ Розенхед, MJ; Элтон, М.; Гупта, СК (1972). «Надежность и оптимальность как критерии стратегических решений». Ежеквартальный журнал операционных исследований . 23 (4): 413–430. дои : 10.1057/jors.1972.72 .
^ Розенблатт, MJ; Ли, HL (1987). «Надежный подход к проектированию объектов». Международный журнал производственных исследований . 25 (4): 479–486. дои : 10.1080/00207548708919855 .
^ Jump up to: ^а ^б П. Кувелис и Г. Ю, 1997, Робастная дискретная оптимизация и ее приложения, Kluwer.
^ Jump up to: ^а ^б Б. Рустем и М. Хоу, 2002, Алгоритмы проектирования наихудшего случая и приложения к управлению рисками, Princeton University Press.
^ Р. Дж. Лемперт, С. В. Поппер и С. К. Бэнкс, 2003, Формирование следующих ста лет: новые методы количественного, долгосрочного анализа политики, The Rand Corporation.
^ А. Бен-Тал, Л. Эль Гауи и А. Немировский, 2006, Математическое программирование, Специальный выпуск по робастной оптимизации, Том 107 (1-2).
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Резник, доктор медицинских наук, Выбор: введение в теорию принятия решений, УниверситетМиннесота Пресс, Миннеаполис, Миннесота, 1987.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Френч, SD, Теория принятия решений, Эллис Хорвуд, 1988.
^ Ролз, Дж. Теория справедливости, 1971, Belknap Press, Кембридж, Массачусетс.
^ Джеймс О Бергер (2006) [1985]. Статистическая теория принятия решений и байесовский анализ (второе изд.). Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. ISBN 0-387-96098-8 .
^ Тинтнер, Г. (1952). «Вклад Авраама Уолда в эконометрику» . Анналы математической статистики . 23 (1): 21–28. дои : 10.1214/aoms/1177729482 .
^ Бабушка И.; Нобиле, Ф.; Темпоне, Р. (2005). «Анализ сценария наихудшего случая для эллиптических задач с неопределенностью». Нумерическая математика . 101 (2): 185–219. дои : 10.1007/s00211-005-0601-x . S2CID 6088585 .
^ Бен-Хаим, Ю. (1999). «Сертификация конструкции с неопределенностью информационного пробела». Структурная безопасность . 2 (3): 269–289. дои : 10.1016/s0167-4730(99)00023-5 .
^ Jump up to: ^а ^б Снедович, М. (2007). «Искусство и наука моделирования принятия решений в условиях жесткой неопределенности» . Принятие решений в производстве и сфере услуг . 1 (1–2): 111–136. дои : 10.7494/dmms.2007.1.2.111 .
^ Экер Дж. Г. и Купфершмид М., Введение в исследование операций, Wiley, 1988.
^ Jump up to: ^а ^б Ти, П., Введение в линейное программирование и теорию игр, Уайли, Нью-Йорк, 1988.
^ Снедович, М. (2003). «Игры OR/MS: 3. Проблема фальшивых монет» . ИНФОРМЫ Сделки по образованию . 3 (2): 32–41. дои : 10.1287/изд.3.2.32 .
^ Снедович, М. (2003). «Игры OR/MS: 4. Радость от падения яиц в Брауншвейге и Гонконге» . ИНФОРМЫ Сделки по образованию . 4 (1): 48–64. дои : 10.1287/изд.4.1.48 .

Внешние ссылки

Теория информационного дефицита и ее приложения , дополнительная информация о теории информационного дефицита
Что такое теория информационного разрыва? неофициальное знакомство
Принятие ответственных решений (когда кажется, что вы не можете): инженерное проектирование и стратегическое планирование в условиях жесткой неопределенности
Как возникла теория информационного дефицита? Как он растет?
Часто задаваемые вопросы о теории информационного дефицита
Кампания по информационному дефициту , дальнейший анализ и критика информационного дефицита
Часто задаваемые вопросы о теории принятия решений при информационном дефиците ( PDF )

[5] Вот несколько примеров: Во многих областях, включая инженерное дело , экономику , менеджмент , биологическую охрану , медицину , внутреннюю безопасность и т. д., аналитики используют модели и данные для оценки и формулирования решений . Информационный разрыв – это несоответствие между тем, что известно , и тем, что необходимо знать для принятия надежного и ответственного решения. Информационные пробелы — это неопределенность по Найту : недостаток знаний, неполнота понимания. Информационные пробелы не являются вероятностными и не могут быть застрахованы или смоделированы вероятностным путем . Распространенным информационным пробелом, хотя и не единственным, является неопределенность в значении параметра или вектора параметров, таких как долговечность нового материала или будущие ставки или доходность запасов. Еще одним распространенным информационным пробелом является неопределенность в форме распределения вероятностей . Еще одним информационным пробелом является неопределенность в функциональной форме свойства системы, такого как сила трения в технике или кривая Филлипса в экономике. Другой информационный пробел заключается в форме и размере набора возможных векторов или функций. Например, можно иметь очень мало знаний о соответствующем наборе сердечных сигналов в начале сердечной недостаточности у конкретного человека.

[ybh_igdt_2001-1] Яков Бен-Хаим, Теория информационного разрыва: решения в условиях серьезной неопределенности, Academic Press, Лондон, 2001.

[ybh_igdt_2006-2] Яков Бен-Хаим, Теория информационного разрыва: решения в условиях серьезной неопределенности, 2-е издание, Academic Press, Лондон, 2006.

[MS10-3] Jump up to: ^а ^б ^с Снедович, М. (2010). «Теория принятия решений при информационном дефиците с высоты птичьего полета». Журнал рискового финансирования . 11 (3): 268–283. дои : 10.1108/15265941011043648 .

[4] «Как возникла теория информационного дефицита? Как она развивается?» . Архивировано из оригинала 28 ноября 2009 г. Проверено 18 марта 2009 г.

[ybh_rrms_1996-6] Jump up to: ^а ^б Яков Бен-Хаим, Робастная надежность в механике, Springer, Берлин, 1996.

[7] Хипель, Кейт В.; Бен-Хаим, Яков (1999). «Принятие решений в неопределенном мире: моделирование информационного разрыва в управлении водными ресурсами». Транзакции IEEE в системах, человеке и кибернетике. Часть C: Приложения и обзоры . 29 (4): 506–517. дои : 10.1109/5326.798765 . S2CID 14135581 .

[ybh_2005_crc-8] Jump up to: ^а ^б ^с Яков Бен-Хаим, 2005, Теория принятия решений при информационном дефиците для инженерного проектирования. Или: «Почему «хорошо» предпочтительнее «лучшего»», опубликовано в главе 11 в « Справочнике по надежности инженерного проектирования » под редакцией Эфстратиоса Николаидиса, Дэна М. Гиоселя и Сурендры Сингхала, CRC Press, Бока-Ратон.

[kanno_ijss_2005-9] Jump up to: ^а ^б Канно, Ю.; Такеваки, И. (2006). «Анализ прочности ферм с отделяемой нагрузкой и структурными неопределенностями». Международный журнал твердых тел и структур . 43 (9): 2646–2669. doi : 10.1016/j.ijsolstr.2005.06.088 .

[wang_2005-10] Jump up to: ^а ^б Кайхонг Ван, 2005 г., Анализ вибрации растрескавшихся композитных балок изгиба и кручения для диагностики повреждений, докторская диссертация, Политехнический институт Вирджинии, Блэксбург, Вирджиния.

[kanno_jota_2006-11] Jump up to: ^а ^б Канно, Ю.; Такеваки, И. (2006). «Последовательная полуопределенная программа для проектирования максимальной прочности конструкций в условиях неопределенности нагрузки». Журнал теории оптимизации и приложений . 130 (2): 265–287. дои : 10.1007/s10957-006-9102-z . S2CID 16514524 .

[pierce_jsv_2006-12] Jump up to: ^а ^б Пирс, СГ; Уорден, К.; Мэнсон, Г. (2006). «Новый метод выявления информационных пробелов для оценки надежности обнаружения повреждений на основе нейронных сетей». Журнал звука и вибрации . 293 (1–2): 96–111. Бибкод : 2006JSV...293...96P . дои : 10.1016/j.jsv.2005.09.029 .

[13] Пирс, Гарет; Бен-Хаим, Яков; Уорден, Кейт; Мэнсон, Грэм (2006). «Оценка надежности нейронных сетей с использованием теории информационного разрыва». Транзакции IEEE в нейронных сетях . 17 (6): 1349–1361. дои : 10.1109/ТНН.2006.880363 . ПМИД 17131652 . S2CID 13019088 .

[chetwynd_rs_2006-14] Jump up to: ^а ^б Четвинд, Д.; Уорден, К.; Мэнсон, Г. (2006). «Применение интервальных нейронных сетей к задаче регрессии». Труды Королевского общества А. 462 (2074): 3097–3114. Бибкод : 2006RSPSA.462.3097C . дои : 10.1098/rspa.2006.1717 . S2CID 122820264 .

[15] Лим, Д.; Онг, Ю.С.; Джин, Ю.; Сендхофф, Б.; Ли, бакалавр наук (2006). «Обратный многокритериальный надежный эволюционный дизайн» (PDF) . Генетическое программирование и развивающиеся машины . 7 (4): 383–404. дои : 10.1007/s10710-006-9013-7 . S2CID 9244713 .

[vinot_et_al._2005-16] Винот, П.; Коган, С.; Чиполла, В. (2005). «Надежная процедура планирования тестирования на основе моделей» (PDF) . Журнал звука и вибрации . 288 (3): 571–585. Бибкод : 2005JSV...288..571V . дои : 10.1016/j.jsv.2005.07.007 . S2CID 122895551 .

[takewaki_and_ybh_2005-17] Jump up to: ^а ^б ^с Такеваки, Изуру; Бен-Хаим, Яков (2005). «Надежная конструкция с информационными пробелами с неопределенностью нагрузки и модели». Журнал звука и вибрации . 288 (3): 551–570. Бибкод : 2005JSV...288..551T . дои : 10.1016/j.jsv.2005.07.005 . S2CID 53466062 .

[18] Изуру Такеваки и Яков Бен-Хаим, 2007 г., Надежное проектирование пассивно управляемых конструкций с учетом неопределенностей нагрузки и модели с учетом информационного разрыва, Оптимизация проектирования конструкций с учетом неопределенностей , Яннис Цомпанакис, Никкос Д. Лагарос и Манолис Пападракакис, редакторы, издательство Taylor and Francisco Publishers.

[19] Хемез, Франсуа М.; Бен-Хаим, Яков (2004). «Устойчивость к информационным пробелам для корреляции испытаний и моделирования нелинейных переходных процессов» . Механические системы и обработка сигналов . 18 (6): 1443–1467. Бибкод : 2004MSSP...18.1443H . дои : 10.1016/j.ymssp.2004.03.001 .

[levy_et_al._2000-20] Леви, Джейсон К.; Хипель, Кейт В.; Килгур, Марк (2000). «Использование экологических показателей для количественной оценки устойчивости политических альтернатив неопределенности». Экологическое моделирование . 130 (1–3): 79–86. дои : 10.1016/S0304-3800(00)00226-X .

[21] Мойланен, А.; Винтл, бакалавр (2006). «Анализ неопределенности благоприятствует выбору пространственно агрегированных резервных структур». Биологическая консервация . 129 (3): 427–434. дои : 10.1016/j.biocon.2005.11.006 .

[22] Халперн, Бенджамин С.; Риган, Хелен М.; Поссингем, Хью П.; Маккарти, Майкл А. (2006). «Учет неопределенности при проектировании морских заповедников». Экологические письма . 9 (1): 2–11. Бибкод : 2006EcolL...9....2H . дои : 10.1111/j.1461-0248.2005.00827.x . ПМИД 16958861 .

[rhino-23] Риган, Хелен М.; Бен-Хаим, Яков; Лэнгфорд, Билл; Уилсон, Уилл Г.; Лундберг, Пер; Андельман, Сэнди Дж.; Бургман, Марк А. (2005). «Принятие устойчивых решений в условиях серьезной неопределенности для управления природоохранной деятельностью» . Экологические приложения . 15 (4): 1471–1477. Бибкод : 2005ЭкоАп..15.1471Р . дои : 10.1890/03-5419 .

[24] Маккарти, Массачусетс; Линденмайер, Д.Б. (2007). «Теория принятия решений по пробелам в информации для оценки управления водосборами для производства древесины и городского водоснабжения». Экологический менеджмент . 39 (4): 553–562. Бибкод : 2007EnMan..39..553M . дои : 10.1007/s00267-006-0022-3 . hdl : 1885/28692 . ПМИД 17318697 . S2CID 45674554 .

[25] Кроун, Элизабет Э.; Пикеринг, Дебби; Шульц, Шерил Б. (2007). «Может ли выращивание в неволе способствовать восстановлению находящихся под угрозой исчезновения бабочек? Оценка перед лицом неопределенности». Биологическая консервация . 139 (1–2): 103–112. Бибкод : 2007BCons.139..103C . doi : 10.1016/j.biocon.2007.06.007 .

[26] Л. Джо Моффитт, Джон К. Странлунд и Крейг Д. Остин, 2007 г., Надежные протоколы обнаружения неопределенных интродукций инвазивных видов, Журнал управления окружающей средой , в печати, исправленное доказательство, доступно в Интернете 27 августа 2007 г.

[27] Бургман, Массачусетс; Линденмайер, Д.Б.; Элит, Дж. (2005). «Управление ландшафтами для сохранения в условиях неопределенности» (PDF) . Экология . 86 (8): 2007–2017. Бибкод : 2005Экол...86.2007Б . CiteSeerX 10.1.1.477.4238 . дои : 10.1890/04-0906 .

[28] Мойланен, А.; Элит, Дж.; Бургман, М.; Бургман, М. (2006). «Анализ неопределенностей при выборе резервов регионального масштаба». Биология сохранения . 20 (6): 1688–1697. Бибкод : 2006ConBi..20.1688M . дои : 10.1111/j.1523-1739.2006.00560.x . ПМИД 17181804 . S2CID 28613050 .

[atte_et_al._reserve_2006-29] Мойланен, Атте; Рунге, Майкл С.; Элит, Джейн; Тир, Эндрю; Кармель, Йохай; Феграус, Эрик; Винтл, Брендан; Бургман, Марк; Бенхаим, Ю (2006). «Планирование надежных резервных сетей с использованием анализа неопределенности» . Экологическое моделирование . 199 (1): 115–124. doi : 10.1016/j.ecolmodel.2006.07.004 . S2CID 2406867 .

[30] Николсон, Эмили; Поссингем, Хью П. (2007). «Принятие решений по сохранению в условиях неопределенности в отношении сохранения нескольких видов» (PDF) . Экологические приложения . 17 (1): 251–265. doi : 10.1890/1051-0761(2007)017[0251:MCDUUF]2.0.CO;2 . ПМИД 17479849 .

[burgman_2005_book-31] Бургман, Марк, 2005, Риски и решения для охраны окружающей среды и управления окружающей средой , Издательство Кембриджского университета, Кембридж.

[32] Кармель, Йохай; Бен-Хаим, Яков (2005). «Надежная и удовлетворяющая информационная модель поведения при поиске пищи: собиратели оптимизируют или удовлетворяют?». Американский натуралист . 166 (5): 633–641. дои : 10.1086/491691 . ПМИД 16224728 . S2CID 20509139 .

[33] Моффитт, Джо; Странлунд, Джон К.; Филд, Барри К. (2005). «Инспекции по предотвращению терроризма: надежность в условиях серьезной неопределенности» . Журнал внутренней безопасности и управления чрезвычайными ситуациями . 2 (3): 3. дои : 10.2202/1547-7355.1134 . S2CID 55708128 . Архивировано из оригинала 23 марта 2006 г. Проверено 21 апреля 2006 г.

[colin_2007-34] Jump up to: ^а ^б Бересфорд-Смит, Брайан; Томпсон, Колин Дж. (2007). «Управление кредитным риском в условиях неопределенности информационного дефицита». Журнал рискового финансирования . 8 (1): 24–34. дои : 10.1108/15265940710721055 .

[35] Джон К. Странлунд и Яков Бен-Хаим, (2007), Экологическое регулирование на основе цены и количества в условиях неопределенности Найта: надежная и приносящая удовлетворение перспектива информационного разрыва, Журнал экологического менеджмента , в печати, исправленное доказательство, доступно в Интернете 28 марта 2007 г.

[ybh_2005_var-36] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Бен-Хаим, Яков (2005). «Ценность под угрозой из-за неопределенности информационного дефицита». Журнал рискового финансирования . 6 (5): 388–403. дои : 10.1108/15265940510633460 . S2CID 154808813 .

[37] Бен-Хаим, Яков; Лауфер, Александр (1998). «Надежная надежность проектов с неопределенностью продолжительности деятельности». Журнал строительной техники и менеджмента . 124 (2): 125–132. doi : 10.1061/(ASCE)0733-9364(1998)124:2(125) .

[tahan_ben-asher_2005-38] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Тахан, Меир; Бен-Ашер, Джозеф З. (2005). «Моделирование и анализ интеграционных процессов инженерных систем». Системная инженерия . 8 (1): 62–77. дои : 10.1002/sys.20021 . S2CID 3178866 .

[39] Регев, Сары; Штуб, Авраам; Бен-Хаим, Яков (2006). «Управление проектными рисками как пробелами в знаниях». Журнал управления проектами . 37 (5): 17–25. дои : 10.1177/875697280603700503 . S2CID 110857106 .

[40] Фокс, ДР; Бен-Хаим, Ю.; Хейс, КР; Маккарти, М.; Винтл, Б.; Данстан, П. (2007). «Подход с учетом информационного дефицита к расчетам мощности и размера выборки». Экологометрия . 18 (2): 189–203. Бибкод : 2007Envir..18..189F . дои : 10.1002/env.811 . S2CID 53609269 .

[41] Бен-Хаим, Яков (1994). «Выпуклые модели неопределенности: приложения и последствия». Эркеннтнис . 41 (2): 139–156. дои : 10.1007/BF01128824 . S2CID 121067986 .

[42] Бен-Хаим, Яков (1999). «Сет-модели неопределенности информационного разрыва: аксиомы и схема вывода». Журнал Института Франклина . 336 (7): 1093–1117. дои : 10.1016/S0016-0032(99)00024-1 .

[43] Бен-Хаим, Яков (2000). «Надежная рациональность и решения в условиях серьезной неопределенности». Журнал Института Франклина . 337 (2–3): 171–199. дои : 10.1016/S0016-0032(00)00016-8 .

[44] Бен-Хаим, Яков (2004). «Неопределенность, вероятность и информационные пробелы». Инженерия надежности и системная безопасность . 85 (1–3): 249–266. дои : 10.1016/j.ress.2004.03.015 .

[45] Джордж Дж. Клир, 2006, Неопределенность и информация: основы обобщенной теории информации , Wiley Publishers.

[46] Яков Бен-Хаим, 2007, Пирс, Хаак и информационные пробелы, в Сьюзен Хаак, Выдающаяся дама: философ отвечает своим критикам , под редакцией Корнелиса де Ваала, Prometheus Books.

[47] Бургман, Марк, 2005, Риски и решения для охраны окружающей среды и управления окружающей средой , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, стр. 399.

[sniedo_2007-48] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Снедович, М. (2007). «Искусство и наука моделирования принятия решений в условиях серьезной неопределенности» (PDF) . Принятие решений в производстве и сфере услуг . 1 (1–2): 109–134. дои : 10.7494/dmms.2007.1.2.111 .

[49] Саймон, Герберт А. (1959). «Теории принятия решений в экономике и поведенческой науке». Американский экономический обзор . 49 : 253–283.

[50] Шварц, Барри, 2004, Парадокс выбора: почему больше значит меньше , Harper Perennial.

[51] Конлиск, Джон (1996). «Почему ограниченная рациональность?». Журнал экономической литературы . XXXIV : 669–700.

[52] Бургман, Марк, 2005, Риски и решения для охраны окружающей среды и управления окружающей средой , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, стр. 391, 394.

[Vinot,_Cogan_2005-53] Jump up to: ^а ^б Винот, П.; Коган, С.; Чиполла, В. (2005). «Надежная процедура планирования тестирования на основе моделей» (PDF) . Журнал звука и вибрации . 288 (3): 572. Бибкод : 2005JSV...288..571V . дои : 10.1016/j.jsv.2005.07.007 . S2CID 122895551 .

[C._Eldar_2005-54] Jump up to: ^а ^б З. Бен-Хаим и Ю. К. Эльдар, Оценщики максимального набора с ограниченной ошибкой оценки, IEEE Trans. Сигнальный процесс. , том. 53, нет. 8 августа 2005 г., стр. 3172–3182.

[55] Бабушка И., Ф. Нобиле и Р. Темпоне, 2005, Анализ сценариев наихудшего случая для эллиптических задач с неопределенностью, Numerische Mathematik (на английском языке), том 101, стр. 185–219.

[56] Бен-Хаим, Яков; Коган, Скотт; Сансень, Летиция (1998). «Применение математических моделей в процессах принятия механических решений». Механические системы и обработка сигналов . 12 (1): 121–134. Бибкод : 1998MSSP...12..121B . дои : 10.1006/mssp.1996.0137 .

[57] (См. также главу 4 в книге Яков Бен-Хаим, ссылка 2.)

[rosenhead_72-58] Розенхед, MJ; Элтон, М.; Гупта, СК (1972). «Надежность и оптимальность как критерии стратегических решений». Ежеквартальный журнал операционных исследований . 23 (4): 413–430. дои : 10.1057/jors.1972.72 .

[rosenblatt_87-59] Розенблатт, MJ; Ли, HL (1987). «Надежный подход к проектированию объектов». Международный журнал производственных исследований . 25 (4): 479–486. дои : 10.1080/00207548708919855 .

[kouvelis_97-60] Jump up to: ^а ^б П. Кувелис и Г. Ю, 1997, Робастная дискретная оптимизация и ее приложения, Kluwer.

[rustem_02-61] Jump up to: ^а ^б Б. Рустем и М. Хоу, 2002, Алгоритмы проектирования наихудшего случая и приложения к управлению рисками, Princeton University Press.

[lempert_03-62] Р. Дж. Лемперт, С. В. Поппер и С. К. Бэнкс, 2003, Формирование следующих ста лет: новые методы количественного, долгосрочного анализа политики, The Rand Corporation.

[ben-tal_06-63] А. Бен-Тал, Л. Эль Гауи и А. Немировский, 2006, Математическое программирование, Специальный выпуск по робастной оптимизации, Том 107 (1-2).

[resnik_87-64] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Резник, доктор медицинских наук, Выбор: введение в теорию принятия решений, УниверситетМиннесота Пресс, Миннеаполис, Миннесота, 1987.

[french_88-65] Jump up to: ^а ^б ^с Френч, SD, Теория принятия решений, Эллис Хорвуд, 1988.

[rawls-66] Ролз, Дж. Теория справедливости, 1971, Belknap Press, Кембридж, Массачусетс.

[Berger-67] Джеймс О Бергер (2006) [1985]. Статистическая теория принятия решений и байесовский анализ (второе изд.). Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. ISBN 0-387-96098-8 .

[tintner_52-68] Тинтнер, Г. (1952). «Вклад Авраама Уолда в эконометрику» . Анналы математической статистики . 23 (1): 21–28. дои : 10.1214/aoms/1177729482 .

[69] Бабушка И.; Нобиле, Ф.; Темпоне, Р. (2005). «Анализ сценария наихудшего случая для эллиптических задач с неопределенностью». Нумерическая математика . 101 (2): 185–219. дои : 10.1007/s00211-005-0601-x . S2CID 6088585 .

[YBH_99-70] Бен-Хаим, Ю. (1999). «Сертификация конструкции с неопределенностью информационного пробела». Структурная безопасность . 2 (3): 269–289. дои : 10.1016/s0167-4730(99)00023-5 .

[sniedo_07-71] Jump up to: ^а ^б Снедович, М. (2007). «Искусство и наука моделирования принятия решений в условиях жесткой неопределенности» . Принятие решений в производстве и сфере услуг . 1 (1–2): 111–136. дои : 10.7494/dmms.2007.1.2.111 .

[ecker_88-72] Экер Дж. Г. и Купфершмид М., Введение в исследование операций, Wiley, 1988.

[thie_88-73] Jump up to: ^а ^б Ти, П., Введение в линейное программирование и теорию игр, Уайли, Нью-Йорк, 1988.

[sniedo_03-74] Снедович, М. (2003). «Игры OR/MS: 3. Проблема фальшивых монет» . ИНФОРМЫ Сделки по образованию . 3 (2): 32–41. дои : 10.1287/изд.3.2.32 .

[sniedo_03a-75] Снедович, М. (2003). «Игры OR/MS: 4. Радость от падения яиц в Брауншвейге и Гонконге» . ИНФОРМЫ Сделки по образованию . 4 (1): 48–64. дои : 10.1287/изд.4.1.48 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[примечание 1]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]