Функция индикатора

В математике индикаторная функция или характеристическая функция подмножества множества . , — это функция которая отображает элементы подмножества в единицу, а все остальные элементы — в ноль То есть, если $A$ является подмножеством некоторого множества $X$ , то $\mathbf {1} _{A}(x)=1$ если $x\in A,$ и $\mathbf {1} _{A}(x)=0$ иначе, где $\mathbf {1} _{A}$ — общепринятое обозначение индикаторной функции. Другие распространенные обозначения: $I_{A},$ и $\chi _{A}.$

Индикаторной функцией $A$ является скобка Айверсона свойства принадлежности $A$ ; то есть,

\mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].

Например, функция Дирихле является индикаторной функцией рациональных чисел как подмножества действительных чисел .

Определение [ править ]

Индикаторной функцией подмножества $А$ множества $X$ является функция

\mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}

определяется как

\mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}

обеспечивает Скобка Айверсона эквивалентное обозначение: $[x\in A]$ или $⟦ x \in A ⟧$ , который будет использоваться вместо $\mathbf {1} _{A}(x)\,.$

Функция $\mathbf {1} _{A}$ иногда обозначается $I A$ , $χ A$ , $KA просто$ или даже $A$ . ^[а]^[б]

Обозначения и терминология [ править ]

Обозначения $\chi _{A}$ также используется для обозначения характеристической функции в выпуклом анализе , которая определяется как если бы использовалась обратная величина стандартного определения индикаторной функции.

Связанное с этим понятие в статистике — это фиктивная переменная . (Это не следует путать с «фиктивными переменными», поскольку этот термин обычно используется в математике и также называется связанной переменной .)

Термин « характеристическая функция » имеет несвязанное значение в классической теории вероятностей . По этой причине традиционные вероятностники используют термин « индикаторная функция» для обозначения функции, определенной здесь, почти исключительно, в то время как математики в других областях чаще используют термин « характеристическая функция». ^[а] для описания функции, указывающей членство в наборе.

В нечеткой логике и современной многозначной логике предикаты являются характеристическими функциями вероятностей распределения . То есть строгая истинная/ложная оценка предиката заменяется величиной, интерпретируемой как степень истинности.

Основные свойства [ править ]

Индикаторная характеристическая или функция множества подмножества $A$ некоторого $X$ отображает элементы $X$ в диапазон $\{0,1\}$ .

Это отображение сюръективно только тогда, когда $является$ непустым собственным подмножеством X $A$ . Если $A\equiv X,$ затем $\mathbf {1} _{A}=1.$ По аналогичному рассуждению, если $A\equiv \emptyset$ затем $\mathbf {1} _{A}=0.$

Если $A$ и $B$ представляют собой два подмножества $X,$ затем

{\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}&=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}&=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}

и индикаторная дополнения функция $A$ то есть $A^{C}$ является:

\mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.

В более общем плане, предположим $A_{1},\dotsc ,A_{n}$ представляет собой набор подмножеств $X$ . Для любого $x\in X:$

\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))

очевидно, является произведением $0$ с и $1$ с. Этот продукт имеет значение 1 именно при тех $x\in X$ которые не принадлежат ни одному из множеств $A_{k}$ и равно 0 в противном случае. То есть

\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.

Развертывание продукта с левой стороны,

\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}

где $|F|$ — мощность F $$ . Это одна из форм принципа включения-исключения .

Как следует из предыдущего примера, индикаторная функция — полезное средство обозначения в комбинаторике . Эти обозначения используются и в других местах, например, в теории вероятностей : если $X$ — вероятностное пространство с вероятностной мерой $\operatorname {P}$ и $A$ — измеримое множество , то $\mathbf {1} _{A}$ становится случайной величиной которой , ожидаемое значение равно вероятности $A$ :

\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\operatorname {P} =\int _{A}d\operatorname {P} =\operatorname {P} (A).

Это тождество используется в простом доказательстве неравенства Маркова .

Во многих случаях, например, в теории порядка , может быть определена обратная индикаторная функция. Это обычно называют обобщенной функцией Мёбиуса , как обобщение обратной индикаторной функции в элементарной теории чисел , функции Мёбиуса . (См. параграф ниже об использовании обратного в классической теории рекурсии.)

Среднее значение, дисперсия и ковариация [ править ]

Учитывая вероятностное пространство $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ с $A\in {\mathcal {F}},$ индикаторная случайная величина $\mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ определяется $\mathbf {1} _{A}(\omega )=1$ если $\omega \in A,$ в противном случае $\mathbf {1} _{A}(\omega )=0.$

Иметь в виду: $\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$ (также называемый «Фундаментальный мост»).

Дисперсия: $\operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))$

Ковариация: $\operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)$

Гёделя и Клини в теории рекурсии, представляющая функция Характеристическая функция

Курт Гёдель описал представляющую функцию в своей статье 1934 года «О неразрешимых утверждениях формальных математических систем» («¬» указывает на логическую инверсию, т.е. «НЕ»): ^[1]^: 42

должна соответствовать $Каждому классу или отношению R$ представляющая функция $\phi (x_{1},\ldots x_{n})=0$ если $R(x_{1},\ldots x_{n})$ и $\phi (x_{1},\ldots x_{n})=1$ если $\neg R(x_{1},\ldots x_{n}).$

Клини предлагает то же определение в контексте примитивно -рекурсивных функций , поскольку функция $φ$ предиката $P$ принимает значения $0$ , если предикат истинен, и $1$ , если предикат ложен. ^[2]

Например, поскольку произведение характеристических функций $\phi _{1}*\phi _{2}*\cdots *\phi _{n}=0$ всякий раз, когда какая-либо из функций равна $0$ , она играет роль логического ИЛИ: ЕСЛИ $\phi _{1}=0$ ИЛИ $\phi _{2}=0$ ИЛИ ИЛИ $\phi _{n}=0$ ТОГДА их произведение равно $0$ . То, что современному читателю кажется логической инверсией представляющей функции, т. е. представляющая функция равна $0$ , когда функция $R$ «истинна» или удовлетворяется, играет полезную роль в определении Клини логических функций ИЛИ, И и ПОДЛЕЖИТ. ^[2]^: 228 ограниченное- ^[2]^: 228 и безгранично- ^[2]^{: 279 и далее} операторы mu и функция CASE. ^[2]^: 229

множеств нечетких Характеристическая функция в теории

В классической математике характеристические функции множеств принимают только значения $1$ (члены) или $0$ (не члены). В теории нечетких множеств характеристические функции обобщаются, чтобы принимать значения в реальном единичном интервале $[0, 1]$ или, в более общем смысле, в некоторой алгебре или структуре (обычно требуется, чтобы они были как минимум частично упорядоченным множеством или решеткой ). Такие обобщенные характеристические функции чаще называют функциями принадлежности , а соответствующие «множества» — нечеткими множествами. Нечеткие множества моделируют постепенное изменение степени принадлежности , наблюдаемое во многих реальных предикатах , таких как «высокий», «теплый» и т. д.

Гладкость [ править ]

В целом индикаторная функция множества не является гладкой; оно непрерывно тогда и только тогда, когда его носитель является компонентой связности . в алгебраической геометрии конечных полей Однако каждое аффинное многообразие допускает ( Зарисского ). непрерывную индикаторную функцию ^[3] Учитывая конечный набор функций $f_{\alpha }\in \mathbb {F} _{q}[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ позволять $V=\left\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}:f_{\alpha }(x)=0\right\}$ быть их исчезающим местом. Тогда функция ${\textstyle P(x)=\prod \left(1-f_{\alpha }(x)^{q-1}\right)}$ действует как индикаторная функция для $V$ . Если $x\in V$ затем $P(x)=1$ , в противном случае для некоторых $f_{\alpha }$ , у нас есть $f_{\alpha }(x)\neq 0$ , что означает, что $f_{\alpha }(x)^{q-1}=1$ , следовательно $P(x)=0$ .

Хотя индикаторные функции не являются гладкими, они допускают слабые производные . Например, рассмотрим ступенчатую функцию Хевисайда.

H(x):=\mathbf {1} _{x>0}

Распределительная производная ступенчатой функции Хевисайда равна дельта-функции Дирака , т.е.

{\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)

и аналогично распределительная производная

G(x):=\mathbf {1} _{x<0}

является

{\frac {dG(x)}{dx}}=-\delta (x)

Таким образом, производную ступенчатой функции Хевисайда можно рассматривать как внутреннюю нормальную производную на границе области, заданной положительной полупрямой. В более высоких измерениях производная естественным образом обобщается до производной по внутренней нормали, а ступенчатая функция Хевисайда естественным образом обобщается до индикаторной функции некоторой области $D$ . Поверхность $D$ обозначим $S.$ Продолжая, можно сделать вывод, что внутренняя нормальная производная индикатора порождает «поверхностную дельта-функцию», которую можно обозначить как $\delta _{S}(\mathbf {x} )$ :

\delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}

где

n

внешняя нормаль поверхности

S.

— Эта «дельта-функция поверхности» имеет следующее свойство: ^[4]

-\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}\;d^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;d^{n-1}\mathbf {\beta } .

Принимая функцию $f$ равной единице, следует, что внутренняя нормальная производная показателя интегрируется с числовым значением площади поверхности $S$ .

См. также [ править ]

Мера Дирака
Лапласиан индикатора
Дельта Дирака
Расширение (логика предикатов)
Свободные переменные и связанные переменные
Ступенчатая функция Хевисайда
Функция идентификации
Кронштейн Айверсона
Дельта Кронекера — функция, которую можно рассматривать как индикатор тождественного отношения.
Брекеты Маколея
Мультисет
Функция членства
Простая функция
Фиктивная переменная (статистика)
Статистическая классификация
Функция потерь ноль-единица

Примечания [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б Греческая буква $χ$ появляется потому, что это начальная буква греческого слова χαρακτήρ , которое является основным источником слова « характеристика» .
^ Совокупность всех индикаторных функций на $X$ можно отождествить с ${\mathcal {P}}(X),$ мощности набор X $$ . Следовательно, оба множества иногда обозначаются через $2^{X}.$ Это частный случай( $Y=\{0,1\}=2$ ) обозначений $Y^{X}$ за набор всех функций $f:X\to Y.$

Ссылки [ править ]

^ Дэвис, Мартин , изд. (1965). Неразрешимое Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Книги Raven Press. стр. 100-1 41–74.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Клини, Стивен (1971) [1952]. Введение в метаматематику (Шестое переиздание, с исправлениями под ред.). Нидерланды: Wolters-Noordhoff Publishing и North Holland Publishing Company. п. 227.
^ Серр. Курс арифметики . п. 5.
^ Ланге, Рутгер-Ян (2012). «Теория потенциала, интегралы по путям и лапласиан индикатора». Журнал физики высоких энергий . 2012 (11): 29–30. arXiv : 1302.0864 . Бибкод : 2012JHEP...11..032L . дои : 10.1007/JHEP11(2012)032 . S2CID 56188533 .

Источники [ править ]

Фолланд, Великобритания (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (второе изд.). Джон Уайли и сыновья, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6 .
Кормен, Томас Х .; Лейзерсон, Чарльз Э .; Ривест, Рональд Л .; Штейн, Клиффорд (2001). «Раздел 5.2: Индикаторные случайные величины». Введение в алгоритмы (второе изд.). MIT Press и McGraw-Hill. стр. 94–99 . ISBN 978-0-262-03293-3 .
Дэвис, Мартин , изд. (1965). Неразрешимое . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Книги Raven Press.
Клини, Стивен (1971) [1952]. Введение в метаматематику (Шестое переиздание, с исправлениями под ред.). Нидерланды: Wolters-Noordhoff Publishing и North Holland Publishing Company.
Булос, Джордж ; Берджесс, Джон П .; Джеффри, Ричард С. (2002). Вычислимость и логика . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-00758-0 .
Заде, Луизиана (июнь 1965 г.). «Нечеткие множества» . Информация и контроль . 8 (3). Сан-Диего: 338–353. дои : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . ISSN 0019-9958 . Збл 0139.24606 . Викиданные Q25938993 .
Гоген, Джозеф (1967). « L -нечеткие множества». Журнал математического анализа и приложений . 18 (1): 145–174. дои : 10.1016/0022-247X(67)90189-8 . hdl : 10338.dmlcz/103980 .

[χαρακτήρ-1] Перейти обратно: ^а ^б Греческая буква $χ$ появляется потому, что это начальная буква греческого слова χαρακτήρ , которое является основным источником слова « характеристика» .

[2] Совокупность всех индикаторных функций на $X$ можно отождествить с ${\mathcal {P}}(X),$ мощности набор X $$ . Следовательно, оба множества иногда обозначаются через $2^{X}.$ Это частный случай( $Y=\{0,1\}=2$ ) обозначений $Y^{X}$ за набор всех функций $f:X\to Y.$

[Martin-1965-3] Дэвис, Мартин , изд. (1965). Неразрешимое Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Книги Raven Press. стр. 100-1 41–74.

[Kleene1952-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Клини, Стивен (1971) [1952]. Введение в метаматематику (Шестое переиздание, с исправлениями под ред.). Нидерланды: Wolters-Noordhoff Publishing и North Holland Publishing Company. п. 227.

[5] Серр. Курс арифметики . п. 5.

[6] Ланге, Рутгер-Ян (2012). «Теория потенциала, интегралы по путям и лапласиан индикатора». Журнал физики высоких энергий . 2012 (11): 29–30. arXiv : 1302.0864 . Бибкод : 2012JHEP...11..032L . дои : 10.1007/JHEP11(2012)032 . S2CID 56188533 .

[а]

[б]

[1]

[2]

[3]

[4]