Распределение (математика)

Эта статья об обобщенных функциях в математическом анализе. Чтобы узнать о концепции распределений в теории вероятностей, см. Распределение вероятностей . Информацию об искусственных ландшафтах см. в разделе Тестовые функции для оптимизации . Чтобы узнать о других значениях, см. Распределение § Математика .

Распределения , также известные как распределения Шварца или обобщенные функции , представляют собой объекты, которые обобщают классическое понятие функций в математическом анализе . Распределения позволяют дифференцировать функции, производные которых не существуют в классическом смысле. В частности, любая локально интегрируемая функция имеет распределительную производную .

Распределения широко используются в теории уравнений в частных производных , где может быть легче установить существование распределительных решений ( слабых решений ), чем классических решений , или где подходящие классические решения могут не существовать. Распределения также важны в физике и технике , где многие проблемы естественным образом приводят к дифференциальным уравнениям, решения или начальные условия которых являются сингулярными, например, дельта-функция Дирака .

Функция ​ $f$ обычно считается действием на точки функции в области путем «отправки» точки $x$ в домене до точки $f(x).$ Вместо воздействия на точки теория распределения по-новому интерпретирует такие функции, как $f$ как воздействующие на тестовые функции определенным образом. В приложениях к физике и технике пробные функции обычно представляют собой бесконечно дифференцируемые комплексные (или действительные ) функции с компактным носителем , определенные на некотором заданном непустом открытом подмножестве. $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. ( Функции Bump являются примерами тестовых функций.) Набор всех таких тестовых функций образует векторное пространство , которое обозначается $C_{c}^{\infty }(U)$ или ${\mathcal {D}}(U).$

Наиболее часто встречающиеся функции, включая все непрерывные карты. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ если использовать $U:=\mathbb {R} ,$ может быть канонически интерпретировано как действие посредством « интеграции с тестовой функцией». В явном виде это означает, что такая функция $f$ «действует» на тестовую функцию $\psi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$ «отправив» его на номер ${\textstyle \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx,}$ который часто обозначается $D_{f}(\psi ).$ Это новое действие ${\textstyle \psi \mapsto D_{f}(\psi )}$ из $f$ определяет скалярную карту $D_{f}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} ,$ областью определения которой является пространство пробных функций ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ).$ Этот функционал $D_{f}$ оказывается, обладает двумя определяющими свойствами того, что известно как распределение на $U=\mathbb {R}$: оно линейно , а также непрерывно, когда ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$ задана некоторая топология, называемая канонической топологией LF . Действие (интеграция ${\textstyle \psi \mapsto \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx}$) этого распределения $D_{f}$ на тестовой функции $\psi$ можно интерпретировать как средневзвешенное распределение на носителе тестовой функции, даже если значения распределения в одной точке не определены четко. Дистрибутивы типа $D_{f}$ которые возникают из функций таким образом, являются прототипическими примерами распределений, но существует множество распределений, которые невозможно определить путем интегрирования с какой-либо функцией. Примеры последнего включают дельта-функцию Дирака и распределения, определенные для действия путем интеграции тестовых функций. ${\textstyle \psi \mapsto \int _{U}\psi d\mu }$ против определенных мер $\mu$ на $U.$ Тем не менее, всегда возможно свести любое произвольное распределение к более простому семейству связанных распределений, которые возникают в результате таких действий интегрирования.

В более общем смысле, распределение по $U$ по определению является линейным функционалом на $C_{c}^{\infty }(U)$ это непрерывно , когда $C_{c}^{\infty }(U)$ задана топология, называемая канонической топологией LF . Это приводит к пространству (всех) распределений на $U$, обычно обозначается ${\mathcal {D}}'(U)$ (обратите внимание на штрих ), который по определению является пространством всех распределений на $U$ (т. е. это непрерывное дуальное пространство $C_{c}^{\infty }(U)$); именно этим дистрибутивам и посвящена данная статья.

Определения соответствующих топологий на пространствах основных функций и распределений даны в статье о пространствах основных функций и распределений . Эта статья в первую очередь посвящена определению распределений, их свойствам и некоторым важным примерам.

История

Практическое использование распределений можно проследить до использования функций Грина в 1830-х годах для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, но оно было формализовано лишь намного позже. Согласно Колмогорову и Фомину (1957) , обобщенные функции возникли в работе Сергея Соболева ( 1936 ) по производных второго порядка гиперболическим уравнениям в частных , а идеи были развиты в несколько расширенной форме Лораном Шварцем в конце 1940-х годов. Согласно автобиографии, Шварц ввел термин «распределение» по аналогии с распределением электрического заряда, возможно, включающего не только точечные заряды, но и диполи и так далее. Гординг (1997) отмечает, что, хотя идеи трансформационной книги Шварца (1951) не были совершенно новыми, именно широкая атака Шварца и его убежденность в том, что распределения будут полезны почти везде в анализе, сыграли решающую роль.

Обозначения

В этой статье будут использоваться следующие обозначения:

• $n$ является фиксированным положительным целым числом и $U$ — фиксированное непустое открытое подмножество . евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}.$
• $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ обозначает натуральные числа .
• $k$ будет обозначать неотрицательное целое число или $\infty .$
• Если $f$ это функция, тогда $\operatorname {Dom} (f)$ будет обозначать его домен и поддержка ​ $f,$ обозначается $\operatorname {supp} (f),$ определяется как замыкание множества $\{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}$ в $\operatorname {Dom} (f).$
• Для двух функций $f,g:U\to \mathbb {C} ,$ следующие обозначения определяют каноническое спаривание : $$\langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.$$
• Мультииндекс ​ размера $n$ является элементом в $\mathbb {N} ^{n}$ (при условии $n$ фиксирован, если размер мультииндексов опущен, то размер следует считать равным $n$). Длина ​ мультииндекса $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ определяется как $\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$ и обозначается $|\alpha |.$ Мультииндексы особенно полезны при работе с функциями нескольких переменных, в частности, мы вводим следующие обозначения для данного мультииндекса $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$: $${\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}$$ Мы также вводим частичный порядок всех мультииндексов с помощью $\beta \geq \alpha$ тогда и только тогда, когда $\beta _{i}\geq \alpha _{i}$ для всех $1\leq i\leq n.$ Когда $\beta \geq \alpha$ мы определяем их многоиндексный биномиальный коэффициент как: $${\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}.$$

Определения тестовых функций и распределений

некоторые основные понятия и определения, необходимые для определения действительных распределений U. В этом разделе вводятся Дальнейшее обсуждение топологий на пространствах основных функций и распределений дано в статье о пространствах основных функций и распределений .

Обозначение :

1. Позволять $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.$
2. Позволять $C^{k}(U)$ обозначают векторное пространство всех k -раз непрерывно дифференцируемых вещественных или комплекснозначных функций на U .
3. Для любого компактного подмножества $K\subseteq U,$ позволять $C^{k}(K)$ и $C^{k}(K;U)$ оба обозначают векторное пространство всех этих функций $f\in C^{k}(U)$ такой, что $\operatorname {supp} (f)\subseteq K.$
   • Если $f\in C^{k}(K)$ тогда область $f$ это U а не K. , Так что, хотя $C^{k}(K)$ зависит как от K , так и от U только K. , обычно указывается Обоснование этой распространенной практики подробно описано ниже . Обозначения $C^{k}(K;U)$ будет использоваться только тогда, когда обозначение $C^{k}(K)$ рискует оказаться двусмысленным.
   • Каждый $C^{k}(K)$ содержит карту постоянного 0 , даже если $K=\varnothing .$
4. Позволять $C_{c}^{k}(U)$ обозначаем множество всех $f\in C^{k}(U)$ такой, что $f\in C^{k}(K)$ для некоторого компактного подмножества K в U .
   • Эквивалентно, $C_{c}^{k}(U)$ это совокупность всех $f\in C^{k}(U)$ такой, что $f$ имеет компактную поддержку .
   • $C_{c}^{k}(U)$ равно объединению всех $C^{k}(K)$ как $K\subseteq U$ распространяется по всем компактным подмножествам $U.$
   • Если $f$ является вещественной функцией на $U$, затем $f$ является элементом $C_{c}^{k}(U)$ тогда и только тогда, когда $f$ это $C^{k}$ функция удара . Каждая вещественная тестовая функция на $U$ также является комплексной тестовой функцией на $U.$

График функции удара $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),$ где $r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$ и $\Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.$ Эта функция является тестовой функцией на $\mathbb {R} ^{2}$ и является элементом $C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).$ Поддержкой этой функции является закрытый единичный диск в $\mathbb {R} ^{2}.$ Он отличен от нуля на открытом единичном диске и равен 0 всюду за его пределами.

Для всех $j,k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}$ и любые компактные подмножества $K$ и $L$ из $U$, у нас есть: $${\begin{aligned}C^{k}(K)&\subseteq C_{c}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)&\subseteq C^{k}(L)&&{\text{if }}K\subseteq L\\C^{k}(K)&\subseteq C^{j}(K)&&{\text{if }}j\leq k\\C_{c}^{k}(U)&\subseteq C_{c}^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\C^{k}(U)&\subseteq C^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\\end{aligned}}$$

Определение : Элементы $C_{c}^{\infty }(U)$ называются пробными функциями на U и $C_{c}^{\infty }(U)$ называется пространством основных функций на U . Мы будем использовать оба ${\mathcal {D}}(U)$ и $C_{c}^{\infty }(U)$ для обозначения этого пространства.

Распределения на U представляют собой непрерывные линейные функционалы на $C_{c}^{\infty }(U)$ когда это векторное пространство наделено определенной топологией, называемой канонической LF-топологией . Следующее предложение формулирует два необходимых и достаточных условия непрерывности линейной функции на $C_{c}^{\infty }(U)$ которые зачастую легко проверить.

Предложение : линейный функционал T на $C_{c}^{\infty }(U)$ является непрерывным и, следовательно, распределением тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. Для каждого компактного подмножества $K\subseteq U$ существуют константы $C>0$ и $N\in \mathbb {N}$ (в зависимости от $K$) такой, что для всех $f\in C_{c}^{\infty }(U)$ при поддержке, содержащейся в $K$, $$|T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.$$
2. Для каждого компактного подмножества $K\subseteq U$ и каждая последовательность $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ в $C_{c}^{\infty }(U)$ чьи опоры содержатся в $K$, если $\{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ сходится равномерно к нулю на $U$ для каждого мультииндекса $\alpha$, затем $T(f_{i})\to 0.$

Топология на C ^к ( У )

Теперь мы введем полунормы , которые будут определять топологию на $C^{k}(U).$ Разные авторы иногда используют разные семейства полунорм, поэтому ниже мы перечислим наиболее распространенные семейства. Однако результирующая топология одинакова независимо от того, какое семейство используется.

Предполагать $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}$ и $K$ — произвольное компактное подмножество $U.$ Предполагать $i$ целое число такое, что $0\leq i\leq k$ и $p$ является мультииндексом длины $|p|\leq k.$ Для $K\neq \varnothing ,$ определять:

$${\begin{alignedat}{4}{\text{ (1) }}\ &s_{p,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (2) }}\ &q_{i,K}(f)&&:=\sup _{|p|\leq i}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)=\sup _{|p|\leq i}\left(s_{p,K}(f)\right)\\[4pt]{\text{ (3) }}\ &r_{i,K}(f)&&:=\sup _{\stackrel {|p|\leq i}{x_{0}\in K}}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (4) }}\ &t_{i,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left(\sum _{|p|\leq i}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)\end{alignedat}}$$

в то время как для $K=\varnothing ,$ определите все приведенные выше функции как карту постоянного 0 .

Все приведенные выше функции неотрицательны. $\mathbb {R}$-ценный полунормы по $C^{k}(U).$ Как объясняется в этой статье , каждый набор полунорм в векторном пространстве порождает локально выпуклую векторную топологию .

Каждый из следующих наборов полунорм $${\begin{alignedat}{4}A~:=\quad &\{q_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\B~:=\quad &\{r_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\C~:=\quad &\{t_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\D~:=\quad &\{s_{p,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&p\in \mathbb {N} ^{n}{\text{ satisfies }}\;&&|p|\leq k\}\end{alignedat}}$$сгенерировать ту же локально выпуклую векторную топологию на $C^{k}(U)$ (так, например, топология, порожденная полунормами в $A$ равна топологии, порожденной теми, что в $C$).

Векторное пространство $C^{k}(U)$ наделен локально выпуклой топологией, индуцированной любым из четырех семейств $A,B,C,D$ полунорм, описанных выше. Эта топология также равна векторной топологии, индуцированной всеми полунормами в $A\cup B\cup C\cup D.$

При такой топологии $C^{k}(U)$ становится локально выпуклым пространством Фреше не , нормируемым . Каждый элемент $A\cup B\cup C\cup D$ является непрерывной полунормой на $C^{k}(U).$В этой топологии сеть $(f_{i})_{i\in I}$ в $C^{k}(U)$ сходится к $f\in C^{k}(U)$ тогда и только тогда, когда для каждого мультииндекса $p$ с $|p|<k+1$ и каждый компакт $K,$ сеть частных производных $\left(\partial ^{p}f_{i}\right)_{i\in I}$ сходится равномерно к $\partial ^{p}f$ на $K.$ Для любого $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \},$ любое (фон Неймановское) ограниченное подмножество $C^{k+1}(U)$ представляет собой относительно компактное подмножество $C^{k}(U).$ В частности, подмножество $C^{\infty }(U)$ ограничен тогда и только тогда, когда он ограничен в $C^{i}(U)$ для всех $i\in \mathbb {N} .$ Пространство $C^{k}(U)$ является пространством Монтеля тогда и только тогда, когда $k=\infty .$

Подмножество $W$ из $C^{\infty }(U)$ открыт в этой топологии тогда и только тогда, когда существует $i\in \mathbb {N}$ такой, что $W$ открыт, когда $C^{\infty }(U)$ наделено топологией подпространства, индуцированной на нем формулой $C^{i}(U).$

Топология на C ^к ( К )

Как и прежде, исправьте $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.$ Напомним, что если $K$ любое компактное подмножество $U$ затем $C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).$

Предположение : Для любого компактного подмножества $K\subseteq U,$ впредь мы будем предполагать, что $C^{k}(K)$ наделен топологией подпространства, унаследованной от пространства Фреше $C^{k}(U).$

Если $k$ конечно тогда $C^{k}(K)$ является банаховым пространством с топологией, которую можно определить по норме $$r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right).$$И когда $k=2,$ затем $C^{k}(K)$ является даже гильбертовым пространством .

Тривиальные расширения и независимость C ^к ( K ) из U

Предполагать $U$ является открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ и $K\subseteq U$ является компактным подмножеством. По определению, элементы $C^{k}(K)$ это функции с доменом $U$ (в символах, $C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U)$), поэтому пространство $C^{k}(K)$ и его топология зависят от $U;$ сделать эту зависимость от открытого множества $U$ ясно, временно обозначить $C^{k}(K)$ к $C^{k}(K;U).$ Главное, изменить набор $U$ в другое открытое подмножество $U'$ (с $K\subseteq U'$) изменит набор $C^{k}(K)$ от $C^{k}(K;U)$ к $C^{k}(K;U'),$ так что элементы $C^{k}(K)$ будут функции с доменом $U'$ вместо $U.$ Несмотря на $C^{k}(K)$ в зависимости от открытого набора ( $U{\text{ or }}U'$), стандартное обозначение для $C^{k}(K)$ об этом не упоминает. Это оправдано, поскольку, как будет объяснено в этом подразделе, пространство $C^{k}(K;U)$ канонически идентифицируется как подпространство $C^{k}(K;U')$ (как алгебраически, так и топологически).

Достаточно объяснить, как канонически идентифицировать $C^{k}(K;U)$ с $C^{k}(K;U')$ когда один из $U$ и $U'$ является подмножеством другого. Причина в том, что если $V$ и $W$ являются произвольными открытыми подмножествами $\mathbb {R} ^{n}$ содержащий $K$ тогда открытый набор $U:=V\cap W$ также содержит $K,$ так, чтобы каждый из $C^{k}(K;V)$ и $C^{k}(K;W)$ канонически отождествляется с $C^{k}(K;V\cap W)$ и теперь по транзитивности, $C^{k}(K;V)$ таким образом отождествляется с $C^{k}(K;W).$ Итак, предположим $U\subseteq V$ являются открытыми подмножествами $\mathbb {R} ^{n}$ содержащий $K.$

Данный $f\in C_{c}^{k}(U),$ его тривиальное расширение на $V$ это функция $F:V\to \mathbb {C}$ определяется: $$F(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$Это тривиальное расширение принадлежит $C^{k}(V)$ (потому что $f\in C_{c}^{k}(U)$ имеет компактный носитель) и будет обозначаться через $I(f)$ (то есть, $I(f):=F$). Задание $f\mapsto I(f)$ таким образом, возникает карта $I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)$ который отправляет функцию в $C_{c}^{k}(U)$ к его тривиальному расширению на $V.$ Это отображение представляет собой линейную инъекцию и для любого компактного подмножества $K\subseteq U$ (где $K$ также является компактным подмножеством $V$ с $K\subseteq U\subseteq V$), $${\begin{alignedat}{4}I\left(C^{k}(K;U)\right)&~=~C^{k}(K;V)\qquad {\text{ and thus }}\\I\left(C_{c}^{k}(U)\right)&~\subseteq ~C_{c}^{k}(V).\end{alignedat}}$$Если $I$ ограничивается $C^{k}(K;U)$ то следующее индуцированное линейное отображение является гомеоморфизмом (линейные гомеоморфизмы называются TVS-изоморфизмами ): $${\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(K;V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f)\\\end{alignedat}}$$и, таким образом, следующая карта является топологическим вложением : $${\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f).\\\end{alignedat}}$$Использование инъекции $$I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)$$векторное пространство $C_{c}^{k}(U)$ канонически отождествляется со своим образом в $C_{c}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V).$ Потому что $C^{k}(K;U)\subseteq C_{c}^{k}(U),$ посредством этой идентификации, $C^{k}(K;U)$ также можно рассматривать как подмножество $C^{k}(V).$Таким образом, топология на $C^{k}(K;U)$ не зависит от открытого подмножества $U$ из $\mathbb {R} ^{n}$ который содержит $K,$ что оправдывает практику написания $C^{k}(K)$ вместо $C^{k}(K;U).$

Каноническая топология LF

Основная статья: Пространства тестовых функций и распределений

См. Также: LF-пространство и Топология равномерной сходимости.

Напомним, что $C_{c}^{k}(U)$ обозначает все функции в $C^{k}(U)$ которые имеют компактную поддержку в $U,$ где обратите внимание, что $C_{c}^{k}(U)$ это союз всех $C^{k}(K)$ как $K$ распространяется по всем компактным подмножествам $U.$ Более того, для каждого $k,\,C_{c}^{k}(U)$ представляет собой плотное подмножество $C^{k}(U).$ Особый случай, когда $k=\infty$ дает нам пространство тестовых функций.

$C_{c}^{\infty }(U)$ называется пространством пробных функций на $U$ и это также может быть обозначено ${\mathcal {D}}(U).$ Если не указано иное, оно наделено топологией, называемой канонической топологией ЛФ , определение которой дано в статье: Пространства тестовых функций и распределений .

Каноническая LF-топология не метризуема и, что важно, она строго тоньше , чем топология подпространства , $C^{\infty }(U)$ вызывает $C_{c}^{\infty }(U).$ Однако каноническая LF-топология делает $C_{c}^{\infty }(U)$ в полную рефлексивную ядерную Круглолицый борнологическое бочкообразное пространство Макки ; то же самое относится и к его сильному двойственному пространству (т. е. пространству всех распределений с его обычной топологией). Каноническую LF-топологию можно определить различными способами.

Распределения

См. Также: Непрерывный линейный функционал.

Как обсуждалось ранее, непрерывные линейные функционалы на $C_{c}^{\infty }(U)$ известны как распределения на $U.$ Другие эквивалентные определения описаны ниже.

По определению, распределение по $U$ является непрерывным линейным функционалом на $C_{c}^{\infty }(U).$ Другими словами, распределение на $U$ является элементом непрерывного дуального пространства $C_{c}^{\infty }(U)$ когда $C_{c}^{\infty }(U)$ наделен своей канонической LF-топологией.

Существует каноническая пара двойственности между распределением $T$ на $U$ и тестовая функция $f\in C_{c}^{\infty }(U),$ которое обозначается с помощью скобок угловых $${\begin{cases}{\mathcal {D}}'(U)\times C_{c}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle :=T(f)\end{cases}}$$

Эти обозначения можно интерпретировать как распределение $T$ действие на тестовую функцию $f$ чтобы дать скаляр или симметрично, как тестовую функцию $f$ действуя на распределение $T.$

Характеристики распределений

Предложение. Если $T$ является линейным функционалом от $C_{c}^{\infty }(U)$ то следующие условия эквивалентны:

1. Т — распределение;
2. Т непрерывно ​ ;
3. T непрерывен в начале координат;
4. T непрерывен равномерно ;
5. T — ограниченный оператор ;
6. T секвенциально непрерывен ;
   • явно для каждой последовательности $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $C_{c}^{\infty }(U)$ который сходится в $C_{c}^{\infty }(U)$ некоторым $f\in C_{c}^{\infty }(U),$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);}$
7. T в секвенциально непрерывен начале координат; другими словами, T отображает нулевые последовательности обнулить последовательности;
   • явно для каждой последовательности $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $C_{c}^{\infty }(U)$ который сходится в $C_{c}^{\infty }(U)$ к началу координат (такая последовательность называется нулевой последовательностью ), ${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0;}$
   • нулевая последовательность по определению — это любая последовательность, сходящаяся к началу координат;
8. T отображает нулевые последовательности в ограниченные подмножества;
   • явно для каждой последовательности $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $C_{c}^{\infty }(U)$ который сходится в $C_{c}^{\infty }(U)$ к началу, последовательности $\left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ ограничен;
9. T отображает сходящиеся нулевые последовательности Макки в ограниченные подмножества;
   • явно, для каждой сходящейся нулевой последовательности Макки $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $C_{c}^{\infty }(U),$ последовательность $\left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ ограничен;
   • последовательность $f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ называется по Макки, сходящейся к началу координат если существует расходящаяся последовательность $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty$ положительных действительных чисел таких, что последовательность $\left(r_{i}f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ ограничен; каждая последовательность, сходящаяся к началу координат по Макки, обязательно сходится к началу координат (в обычном смысле);
10. Ядро T является замкнутым подпространством $C_{c}^{\infty }(U);$
11. График T замкнут;
12. Существует непрерывная полунорма $g$ на $C_{c}^{\infty }(U)$ такой, что $|T|\leq g;$
13. Существует константа $C>0$ и конечное подмножество $\{g_{1},\ldots ,g_{m}\}\subseteq {\mathcal {P}}$ (где ${\mathcal {P}}$ — это любой набор непрерывных полунорм, определяющий каноническую топологию LF на $C_{c}^{\infty }(U)$) такой, что $|T|\leq C(g_{1}+\cdots +g_{m});$
14. Для каждого компактного подмножества $K\subseteq U$ существуют константы $C>0$ и $N\in \mathbb {N}$ такой, что для всех $f\in C^{\infty }(K),$ $$|T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\};$$
15. Для каждого компактного подмножества $K\subseteq U$ существуют константы $C_{K}>0$ и $N_{K}\in \mathbb {N}$ такой, что для всех $f\in C_{c}^{\infty }(U)$ при поддержке, содержащейся в $K,$ $$|T(f)|\leq C_{K}\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\};$$
16. Для любого компактного подмножества $K\subseteq U$ и любая последовательность $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ в $C^{\infty }(K),$ если $\{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ сходится равномерно к нулю для всех мультииндексов $p,$ затем $T(f_{i})\to 0;$

Топология в пространстве распределений и ее связь со слабой топологией

Набор всех дистрибутивов на $U$ представляет собой непрерывное двойственное пространство $C_{c}^{\infty }(U),$ которая, если она наделена сильной дуальной топологией, обозначается ${\mathcal {D}}'(U).$ Важно отметить, что, если не указано иное, топология на ${\mathcal {D}}'(U)$ – сильная двойственная топология ; если вместо этого используется топология слабого* , это будет указано. Ни одна из топологий не является метризуемой, хотя, в отличие от топологии слабого-*, сильная двойственная топология делает ${\mathcal {D}}'(U)$ в полное ядерное пространство , и это лишь некоторые из его желательных свойств.

Ни один $C_{c}^{\infty }(U)$ ни его сильный двойной ${\mathcal {D}}'(U)$ является секвенциальным пространством , и поэтому ни одна из их топологий не может быть полностью описана последовательностями (другими словами, определения только того, какие последовательности сходятся в этих пространствах, недостаточно для полного/правильного определения их топологий).Однако последовательность в ${\mathcal {D}}'(U)$ сходится в сильной двойственной топологии тогда и только тогда, когда она сходится в топологии слабого* (это заставляет многих авторов использовать поточечную сходимость для определения сходимости последовательности распределений; это нормально для последовательностей, но не гарантируется, что это распространяется на сходимость сетей распределений, поскольку сеть может сходиться поточечно, но не сходиться в сильной двойственной топологии).Дополнительная информация о топологии, которая ${\mathcal {D}}'(U)$ наделен можно найти в статьях о пространствах основных функций и распределений и статьях о полярных топологиях и дуальных системах .

карта Линейная ​ из ${\mathcal {D}}'(U)$ в другое локально выпуклое топологическое векторное пространство (например, в любое нормированное пространство ) непрерывно тогда и только тогда, когда оно секвенциально непрерывно в начале координат. Однако это больше не гарантируется, если карта не является линейной или для карт, оцененных в более общих топологических пространствах (например, которые не являются также локально выпуклыми топологическими векторными пространствами ). То же самое относится и к картам из $C_{c}^{\infty }(U)$ (в более общем смысле это справедливо для отображений любого локально выпуклого борнологического пространства ).

Локализация дистрибутивов

Невозможно определить значение распределения в ${\mathcal {D}}'(U)$ в конкретной U. точке Однако, как и в случае с функциями, распределения на U ограничиваются распределением на открытых подмножествах U . Более того, распределения локально определены в том смысле, что распределение на всем U может быть составлено из распределения на открытом покрытии U, удовлетворяющего некоторым условиям совместимости на перекрытиях. Такая структура известна как пучок .

Расширения и ограничения открытого подмножества

Позволять $V\subseteq U$ быть открытыми подмножествами $\mathbb {R} ^{n}.$ Каждая функция $f\in {\mathcal {D}}(V)$ можно расширить нулем из области определения V до функции на U, установив ее равной $0$ в дополнении $U\setminus V.$ Это расширение представляет собой гладкую функцию с компактным носителем, называемую тривиальным расширением $f$ к $U$ и это будет обозначаться $E_{VU}(f).$Это задание $f\mapsto E_{VU}(f)$ определяет расширения тривиальный оператор $E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U),$ которое является непрерывным инъективным линейным отображением. Он используется для канонической идентификации ${\mathcal {D}}(V)$ как векторное подпространство ${\mathcal {D}}(U)$ (хотя и не как топологическое подпространство ). Его транспонирование ( описано здесь ) $$\rho _{VU}:={}^{t}E_{VU}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(V),$$ называется ограничение на $V$ распределений в $U$ и, как следует из названия, образ $\rho _{VU}(T)$ распределения $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ под этой картой находится распределение по $V$ называется ограничением $T$ к $V.$ Определяющее условие ограничения $\rho _{VU}(T)$ является: $$\langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(V).$$Если $V\neq U$ тогда (непрерывное инъективное линейное) тривиальное отображение расширения $E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)$ является не топологическим вложением (другими словами, если бы эта линейная инъекция использовалась для идентификации ${\mathcal {D}}(V)$ как подмножество ${\mathcal {D}}(U)$ затем ${\mathcal {D}}(V)$топология будет строго тоньше, чем топология подпространства , которая ${\mathcal {D}}(U)$ наводит на это; что важно, это не будет топологическое подпространство , поскольку это требует равенства топологий), и его диапазон также не плотен в своей кодомене. ${\mathcal {D}}(U).$ Следовательно, если $V\neq U$ тогда отображение ограничения не является ни инъективным, ни сюръективным. Распределение $S\in {\mathcal {D}}'(V)$ называется расширяемым до U , если оно принадлежит области транспонирования $E_{VU}$ и называется расширяемым, если его можно расширить до $\mathbb {R} ^{n}.$

Пока не $U=V,$ ограничение на V не является ни инъективным , ни сюръективным . Отсутствие сюръективности следует из того, что распределения могут взрываться к границе V . Например, если $U=\mathbb {R}$ и $V=(0,2),$ тогда распределение $$T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \left(x-{\frac {1}{n}}\right)$$находится в ${\mathcal {D}}'(V)$ но не допускает расширения ${\mathcal {D}}'(U).$

Склейка и распределения, исчезающие во множестве

Теорема - Позволять $(U_{i})_{i\in I}$ быть совокупностью открытых подмножеств $\mathbb {R} ^{n}.$ Для каждого $i\in I,$ позволять $T_{i}\in {\mathcal {D}}'(U_{i})$ и предположим, что для всех $i,j\in I,$ ограничение $T_{i}$ к $U_{i}\cap U_{j}$ равно ограничению $T_{j}$ к $U_{i}\cap U_{j}$ (обратите внимание, что оба ограничения являются элементами ${\mathcal {D}}'(U_{i}\cap U_{j})$). Тогда существует единственный ${\textstyle T\in {\mathcal {D}}'(\bigcup _{i\in I}U_{i})}$ такой, что для всех $i\in I,$ ограничение T на $U_{i}$ равно $T_{i}.$

Пусть V открытое подмножество U. — $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ говорят, что он исчезает в V, если для всех $f\in {\mathcal {D}}(U)$ такой, что $\operatorname {supp} (f)\subseteq V$ у нас есть $Tf=0.$ T обращается в нуль в V тогда и только тогда, когда ограничение T на V равно 0 или, что то же самое, тогда и только тогда, когда T лежит в ядре отображения ограничения $\rho _{VU}.$

Следствие - Позволять $(U_{i})_{i\in I}$ быть совокупностью открытых подмножеств $\mathbb {R} ^{n}$ и пусть ${\textstyle T\in {\mathcal {D}}'(\bigcup _{i\in I}U_{i}).}$ $T=0$ тогда и только тогда, когда для каждого $i\in I,$ ограничение T на $U_{i}$ равен 0.

Следствие — Объединение всех открытых подмножеств U , в которых распределение T обращается в нуль, является открытым подмножеством U , в котором T обращается в нуль.

Поддержка дистрибутива

Из этого последнего следствия следует, что для каждого распределения T на U существует единственное наибольшее подмножество V из U такое, что T обращается в нуль в V (и не исчезает ни в одном открытом подмножестве U , которое не содержится в V ); дополнение в U подмножества называется носителем открытого T этого уникального наибольшего . Таким образом $$\operatorname {supp} (T)=U\setminus \bigcup \{V\mid \rho _{VU}T=0\}.$$

Если $f$ является локально интегрируемой функцией на U , и если $D_{f}$ является его ассоциированным распределением, то поддержка $D_{f}$ — наименьшее замкнутое подмножество U, в дополнении к которому $f$ почти всюду равен 0. Если $f$ непрерывна, то поддержка $D_{f}$ равно замыканию множества точек в U , в которых $f$ не исчезает. Поддержка распределения, связанного с мерой Дирака в точке $x_{0}$ это набор $\{x_{0}\}.$ Если поддержка тестовой функции $f$ не пересекает носитель распределения T, то $Tf=0.$ Распределение T равно 0 тогда и только тогда, когда его носитель пуст. Если $f\in C^{\infty }(U)$ тождественно равен 1 на некотором открытом множестве, содержащем носитель распределения T , тогда $fT=T.$ Если носитель распределения T компактен, то он имеет конечный порядок и существует константа $C$ и неотрицательное целое число $N$ такой, что: $$|T\phi |\leq C\|\phi \|_{N}:=C\sup \left\{\left|\partial ^{\alpha }\phi (x)\right|:x\in U,|\alpha |\leq N\right\}\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$$

Если T имеет компактный носитель, то оно имеет единственное продолжение до непрерывного линейного функционала ${\widehat {T}}$ на $C^{\infty }(U)$; эта функция может быть определена как ${\widehat {T}}(f):=T(\psi f),$ где $\psi \in {\mathcal {D}}(U)$ это любая функция, которая тождественно равна 1 на открытом множестве, содержащем носитель T .

Если $S,T\in {\mathcal {D}}'(U)$ и $\lambda \neq 0$ затем $\operatorname {supp} (S+T)\subseteq \operatorname {supp} (S)\cup \operatorname {supp} (T)$ и $\operatorname {supp} (\lambda T)=\operatorname {supp} (T).$ Таким образом, распределения с поддержкой в ​​заданном подмножестве $A\subseteq U$ образуют векторное подпространство ${\mathcal {D}}'(U).$ Кроме того, если $P$ является дифференциальным оператором в U , то для всех распределений T на U и всех $f\in C^{\infty }(U)$ у нас есть $\operatorname {supp} (P(x,\partial )T)\subseteq \operatorname {supp} (T)$ и $\operatorname {supp} (fT)\subseteq \operatorname {supp} (f)\cap \operatorname {supp} (T).$

Дистрибутивы с компактной поддержкой

Опора в множестве точек и меры Дирака

Для любого $x\in U,$ позволять $\delta _{x}\in {\mathcal {D}}'(U)$ обозначим распределение, индуцированное мерой Дирака при $x.$ Для любого $x_{0}\in U$ и распространение $T\in {\mathcal {D}}'(U),$ носитель T содержится в $\{x_{0}\}$ тогда и только тогда, когда T — конечная линейная комбинация производных меры Дирака в точке $x_{0}.$ Если, кроме того, порядок T равен $\leq k$ тогда существуют константы $\alpha _{p}$ такой, что: $$T=\sum _{|p|\leq k}\alpha _{p}\partial ^{p}\delta _{x_{0}}.$$

Другими словами, если T имеет опору в одной точке $\{P\},$ тогда T на самом деле является конечной линейной комбинацией производных распределения $\delta$ в P. функция То есть существует целое число m и комплексные константы $a_{\alpha }$ такой, что $$T=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\partial ^{\alpha }(\tau _{P}\delta )$$где $\tau _{P}$ является оператором перевода.

Распространение с компактной поддержкой

Теорема — Предположим, что — распределение на U с компактным носителем K. T Существует непрерывная функция $f$ определенный на U и мультииндексе p такой, что $$T=\partial ^{p}f,$$где производные понимаются в смысле распределений. То есть для всех тестовых функций $\phi$ на У , $$T\phi =(-1)^{|p|}\int _{U}f(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.$$

Распределения конечного порядка с носителем в открытом подмножестве

Теорема — Предположим, что T — распределение на U с компактным носителем K , и пусть V — открытое подмножество U содержащее K. , Поскольку каждое распределение с компактным носителем имеет конечный порядок, возьмем N в качестве порядка T и определим $P:=\{0,1,\ldots ,N+2\}^{n}.$ Существует семейство непрерывных функций $(f_{p})_{p\in P}$ определенный на U с носителем в V такой, что $$T=\sum _{p\in P}\partial ^{p}f_{p},$$где производные понимаются в смысле распределений. То есть для всех тестовых функций $\phi$ на У , $$T\phi =\sum _{p\in P}(-1)^{|p|}\int _{U}f_{p}(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.$$

Глобальная структура дистрибутивов

Формальное определение распределений показывает их как подпространство очень большого пространства, а именно как топологическое двойственное распределение. ${\mathcal {D}}(U)$ (или пространство Шварца ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ для умеренных дистрибутивов). Из определения не сразу понятно, насколько экзотическим может быть распределение. Чтобы ответить на этот вопрос, поучительно увидеть распределения, построенные из меньшего пространства, а именно пространства непрерывных функций. Грубо говоря, любое распределение является локально (кратной) производной непрерывной функции. Точная версия этого результата, приведенная ниже, справедлива для распределений с компактным носителем, умеренных распределений и общих распределений. Вообще говоря, ни одно собственное подмножество пространства распределений не содержит всех непрерывных функций и не замкнуто относительно дифференцирования. Это говорит о том, что дистрибутивы не являются чем-то экзотическим; они настолько сложны, насколько это необходимо.

Распределения в виде пучков

Теорема — Пусть T — на U. распределение Существует последовательность $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$ в ${\mathcal {D}}'(U)$ такой, что каждое T _i имеет компактный носитель и каждое компактное подмножество $K\subseteq U$ пересекается с носителем лишь конечного числа $T_{i},$ и последовательность частичных сумм $(S_{j})_{j=1}^{\infty },$ определяется $S_{j}:=T_{1}+\cdots +T_{j},$ сходится в ${\mathcal {D}}'(U)$ к Т ; другими словами, мы имеем: $$T=\sum _{i=1}^{\infty }T_{i}.$$Напомним, что последовательность сходится в ${\mathcal {D}}'(U)$ (с его сильной двойственной топологией) тогда и только тогда, когда оно сходится поточечно.

Разложение распределений как суммы производных непрерывных функций

Объединив приведенные выше результаты, можно выразить любое распределение на U как сумму серии распределений с компактным носителем, где каждое из этих распределений, в свою очередь, можно записать как конечную сумму производных по распределению непрерывных функций на U . Другими словами, для произвольного $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ мы можем написать: $$T=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{p\in P_{i}}\partial ^{p}f_{ip},$$где $P_{1},P_{2},\ldots$ являются конечными множествами мультииндексов и функций $f_{ip}$ являются непрерывными.

Теорема — Пусть T — на U. распределение Для каждого мультииндекса p существует непрерывная функция $g_{p}$ на U такое, что

1. любое компактное подмножество K в U пересекает носитель лишь конечного числа $g_{p},$ и
2. $T=\sum \nolimits _{p}\partial ^{p}g_{p}.$

Более того, если T имеет конечный порядок, то можно выбрать $g_{p}$ таким образом, что лишь конечное число из них отличны от нуля.

Обратите внимание, что приведенная выше бесконечная сумма четко определена как распределение. Значение T для данного $f\in {\mathcal {D}}(U)$ можно вычислить, используя конечное число $g_{\alpha }$ которые пересекаются с поддержкой $f.$

Операции над распределениями

Многие операции, определенные над гладкими функциями с компактным носителем, также могут быть определены и для распределений. В общем, если $A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ — линейное отображение, непрерывное относительно слабой топологии , то не всегда возможно продолжить $A$ на карту $A':{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ классическими теоремами расширения топологии или линейного функционального анализа. «Дистрибутивное» расширение указанного выше линейного непрерывного оператора A возможно тогда и только тогда, когда A допускает сопряженный Шварца, то есть другой линейный непрерывный оператор B того же типа такой, что $\langle Af,g\rangle =\langle f,Bg\rangle$,для каждой пары тестовых функций. В этом условии B единственно, а расширение A' является транспозицией сопряженного Шварца B.

Предварительные сведения: транспонирование линейного оператора

Основная статья: Транспонирование линейной карты

Операции над распределениями и пространствами распределений часто определяются с помощью транспонирования линейного оператора. Это связано с тем, что транспонирование позволяет унифицированно представить многие определения теории распределений, а также потому, что его свойства хорошо известны в функциональном анализе . Например, хорошо известный эрмитово сопряжение линейного оператора между гильбертовыми пространствами представляет собой просто транспонирование оператора (но с теоремой о представлении Рисса, используемой для отождествления каждого гильбертова пространства с его непрерывным двойственным пространством ). В общем случае транспонирование непрерывного линейного отображения $A:X\to Y$ это линейная карта $${}^{t}A:Y'\to X'\qquad {\text{ defined by }}\qquad {}^{t}A(y'):=y'\circ A,$$ или, что то же самое, это уникальное отображение, удовлетворяющее $\langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{t}A(y'),x\right\rangle$ для всех $x\in X$ и все $y'\in Y'$ (главный символ в $y'$ не означает производную любого рода; это просто указывает на то, что $y'$ является элементом непрерывного дуального пространства $Y'$). С $A$ непрерывно, транспонирование ${}^{t}A:Y'\to X'$ также является непрерывным, когда оба дуала наделены соответствующими сильными дуальными топологиями ; он также непрерывен, когда оба дуала наделены соответствующими слабыми* топологиями см. в статьях полярная топология и дуальная система ( более подробную информацию ).

В контексте распределений характеристику транспонирования можно немного уточнить. Позволять $A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ быть непрерывным линейным отображением. Тогда по определению транспонирование $A$ — единственный линейный оператор ${}^{t}A:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ что удовлетворяет: $$\langle {}^{t}A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi )\rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U){\text{ and all }}T\in {\mathcal {D}}'(U).$$

С ${\mathcal {D}}(U)$ плотный в ${\mathcal {D}}'(U)$ (здесь, ${\mathcal {D}}(U)$ на самом деле относится к набору дистрибутивов $\left\{D_{\psi }:\psi \in {\mathcal {D}}(U)\right\}$) достаточно, чтобы определяющее равенство выполнялось для всех распределений вида $T=D_{\psi }$ где $\psi \in {\mathcal {D}}(U).$ Явно это означает, что непрерывное линейное отображение $B:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ равно ${}^{t}A$ тогда и только тогда, когда выполняется приведенное ниже условие: $$\langle B(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi ,\psi \in {\mathcal {D}}(U)$$где правая часть равна $\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi )\rangle =\langle \psi ,A(\phi )\rangle =\int _{U}\psi \cdot A(\phi )\,dx.$

Дифференциальные операторы

Дифференциация распределений

Позволять $A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ быть оператором частной производной ${\tfrac {\partial }{\partial x_{k}}}.$ Расширить $A$ мы вычисляем его транспонирование: $${\begin{aligned}\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle &=\int _{U}\psi (A\phi )\,dx&&{\text{(See above.)}}\\&=\int _{U}\psi {\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\,dx\\[4pt]&=-\int _{U}\phi {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\,dx&&{\text{(integration by parts)}}\\[4pt]&=-\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle \\[4pt]&=-\langle A\psi ,\phi \rangle =\langle -A\psi ,\phi \rangle \end{aligned}}$$

Поэтому ${}^{t}A=-A.$ Таким образом, частная производная $T$ относительно координаты $x_{k}$ определяется по формуле $$\left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\right\rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$$

Согласно этому определению, каждое распределение бесконечно дифференцируемо, а производная по направлению $x_{k}$ является линейным оператором на ${\mathcal {D}}'(U).$

В более общем смысле, если $\alpha$ — произвольный мультииндекс , то частная производная $\partial ^{\alpha }T$ распределения $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ определяется $$\langle \partial ^{\alpha }T,\phi \rangle =(-1)^{|\alpha |}\langle T,\partial ^{\alpha }\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$$

Дифференцирование распределений — это непрерывный оператор на ${\mathcal {D}}'(U);$ это важное и желательное свойство, которого нет в большинстве других понятий дифференциации.

Если $T$ это распределение в $\mathbb {R}$ затем $$\lim _{x\to 0}{\frac {T-\tau _{x}T}{x}}=T'\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ),$$где $T'$ является производной от $T$ и $\tau _{x}$ это перевод $x;$ таким образом, производная от $T$ можно рассматривать как предел частных.

Дифференциальные операторы, действующие на гладкие функции

Линейный дифференциальный оператор в $U$ с гладкими коэффициентами действует в пространстве гладких функций на $U.$ Учитывая такой оператор ${\textstyle P:=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\partial ^{\alpha },}$мы хотели бы определить непрерывное линейное отображение, $D_{P}$ что продлевает действие $P$ на $C^{\infty }(U)$ к раздачам на $U.$ Другими словами, мы хотели бы определить $D_{P}$ такая, что следующая диаграмма коммутирует : $${\begin{matrix}{\mathcal {D}}'(U)&{\stackrel {D_{P}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {D}}'(U)\\[2pt]\uparrow &&\uparrow \\[2pt]C^{\infty }(U)&{\stackrel {P}{\longrightarrow }}&C^{\infty }(U)\end{matrix}}$$где вертикальные карты задаются присвоением $f\in C^{\infty }(U)$ его каноническое распределение $D_{f}\in {\mathcal {D}}'(U),$ который определяется: $$D_{f}(\phi )=\langle f,\phi \rangle :=\int _{U}f(x)\phi (x)\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$$ В этих обозначениях диаграмма коммутации эквивалентна: $$D_{P(f)}=D_{P}D_{f}\qquad {\text{ for all }}f\in C^{\infty }(U).$$

Найти $D_{P},$ транспонирование ${}^{t}P:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ непрерывного индуцированного отображения $P:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ определяется $\phi \mapsto P(\phi )$ рассматривается в лемме ниже. Это приводит к следующему определению дифференциального оператора на $U$ называется формальным транспонированием ​ $P,$ который будет обозначаться $P_{*}$ чтобы избежать путаницы с картой транспонирования, которая определяется $$P_{*}:=\sum _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }\quad {\text{ where }}\quad b_{\alpha }:=\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }.$$

Лемма — Пусть $P$ — линейный дифференциальный оператор с гладкими коэффициентами в $U.$ Тогда для всех $\phi \in {\mathcal {D}}(U)$ у нас есть $$\left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle =\left\langle D_{P_{*}(f)},\phi \right\rangle ,$$что эквивалентно: $${}^{t}P(D_{f})=D_{P_{*}(f)}.$$

show Доказательство

As discussed above, for any $\phi \in {\mathcal {D}}(U),$ the transpose may be calculated by:$${\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle &=\int _{U}f(x)P(\phi )(x)\,dx\\&=\int _{U}f(x)\left[\sum \nolimits _{\alpha }c_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }\phi )(x)\right]\,dx\\&=\sum \nolimits _{\alpha }\int _{U}f(x)c_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }\phi )(x)\,dx\\&=\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}\int _{U}\phi (x)(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx\end{aligned}}$$ For the last line we used integration by parts combined with the fact that $\phi$ and therefore all the functions $f(x)c_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }\phi (x)$ have compact support. Continuing the calculation above, for all $\phi \in {\mathcal {D}}(U):$$${\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P(D_{f}),\phi \right\rangle &=\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}\int _{U}\phi (x)(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx&&{\text{As shown above}}\\[4pt]&=\int _{U}\phi (x)\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{U}\phi (x)\sum _{\alpha }\left[\sum _{\gamma \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\gamma }}(\partial ^{\gamma }c_{\alpha })(x)(\partial ^{\alpha -\gamma }f)(x)\right]\,dx&&{\text{Leibniz rule}}\\&=\int _{U}\phi (x)\left[\sum _{\alpha }\sum _{\gamma \leq \alpha }(-1)^{|\alpha |}{\binom {\alpha }{\gamma }}(\partial ^{\gamma }c_{\alpha })(x)(\partial ^{\alpha -\gamma }f)(x)\right]\,dx\\&=\int _{U}\phi (x)\left[\sum _{\alpha }\left[\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\left(\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }\right)(x)\right](\partial ^{\alpha }f)(x)\right]\,dx&&{\text{Grouping terms by derivatives of }}f\\&=\int _{U}\phi (x)\left[\sum \nolimits _{\alpha }b_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }f)(x)\right]\,dx&&b_{\alpha }:=\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }\\&=\left\langle \left(\sum \nolimits _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }\right)(f),\phi \right\rangle \end{aligned}}$$

Лемма в сочетании с тем фактом, что формальная транспозиция формальной транспозиции является исходным дифференциальным оператором, т. е. $P_{**}=P,$ позволяет нам прийти к правильному определению: формальное транспонирование индуцирует (непрерывный) канонический линейный оператор $P_{*}:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)$ определяется $\phi \mapsto P_{*}(\phi ).$ Мы утверждаем, что транспонирование этого отображения ${}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U),$ можно принять как $D_{P}.$ Чтобы увидеть это, для каждого $\phi \in {\mathcal {D}}(U),$ вычислить его действие на распределение формы $D_{f}$ с $f\in C^{\infty }(U)$:

$${\begin{aligned}\left\langle {}^{t}P_{*}\left(D_{f}\right),\phi \right\rangle &=\left\langle D_{P_{**}(f)},\phi \right\rangle &&{\text{Using Lemma above with }}P_{*}{\text{ in place of }}P\\&=\left\langle D_{P(f)},\phi \right\rangle &&P_{**}=P\end{aligned}}$$

Назовем непрерывный линейный оператор $D_{P}:={}^{t}P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ дифференциальный оператор на распределениях, расширяющих $P$. Его действие на произвольное распределение $S$ определяется через: $$D_{P}(S)(\phi )=S\left(P_{*}(\phi )\right)\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$$

Если $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$ сходится к $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ тогда для каждого мультииндекса $\alpha ,(\partial ^{\alpha }T_{i})_{i=1}^{\infty }$ сходится к $\partial ^{\alpha }T\in {\mathcal {D}}'(U).$

Умножение распределений на гладкие функции

Дифференциальный оператор порядка 0 — это просто умножение на гладкую функцию. И наоборот, если $f$ является гладкой функцией, тогда $P:=f(x)$ является дифференциальным оператором порядка 0, формальная транспозиция которого равна ему самому (т. е. $P_{*}=P$). Индуцированный дифференциальный оператор $D_{P}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ отображает распределение $T$ к распределению, обозначенному $fT:=D_{P}(T).$ Таким образом, мы определили умножение распределения на гладкую функцию.

Теперь мы дадим альтернативное представление умножения распределения $T$ на $U$ с помощью гладкой функции $m:U\to \mathbb {R} .$ Продукт $mT$ определяется $$\langle mT,\phi \rangle =\langle T,m\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).$$

Это определение совпадает с определением транспонирования, поскольку если $M:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ – оператор умножения на функцию $m$ (то есть, $(M\phi )(x)=m(x)\phi (x)$), затем $$\int _{U}(M\phi )(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}m(x)\phi (x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)m(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)(M\psi )(x)\,dx,$$так что ${}^{t}M=M.$

При умножении на гладкие функции ${\mathcal {D}}'(U)$ является модулем над кольцом $C^{\infty }(U).$ При таком определении умножения на гладкую функцию обычное произведения правило исчисления остается в силе. Однако возникают и некоторые необычные личности. Например, если $\delta$ это дельта-распределение Дирака на $\mathbb {R} ,$ затем $m\delta =m(0)\delta ,$ и если $\delta ^{'}$ является производной дельта-распределения, тогда $$m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta =m(0)\delta '-m'(0)\delta .$$

Карта билинейного умножения $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ предоставлено $(f,T)\mapsto fT$ является не непрерывным; однако оно гипонепрерывно .

Пример. Продукт любого дистрибутива $T$ с функцией, которая тождественно равна 1 на $U$ равно $T.$

Пример. Предполагать $(f_{i})_{i=1}^{\infty }$ представляет собой последовательность тестовых функций на $U$ сходящуюся к постоянной функции $1\in C^{\infty }(U).$ Для любого дистрибутива $T$ на $U,$ последовательность $(f_{i}T)_{i=1}^{\infty }$ сходится к $T\in {\mathcal {D}}'(U).$

Если $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$ сходится к $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ и $(f_{i})_{i=1}^{\infty }$ сходится к $f\in C^{\infty }(U)$ затем $(f_{i}T_{i})_{i=1}^{\infty }$ сходится к $fT\in {\mathcal {D}}'(U).$

Проблема умножения распределений

Легко определить произведение распределения на гладкую функцию или, в более общем смысле, произведение двух распределений, сингулярные носители которых не пересекаются. Приложив больше усилий, можно определить правильное произведение нескольких распределений при условии, что их наборы волновых фронтов в каждой точке совместимы. Ограничением теории распределений (и гиперфункций) является то, что не существует ассоциативного произведения двух распределений, расширяющего произведение распределения на гладкую функцию, как было доказано Лораном Шварцем в 1950-х годах. Например, если $\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}$ — распределение, полученное с помощью главного значения Коши $$\left(\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)(\phi )=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|\geq \varepsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).$$

Если $\delta$ тогда это дельта-распределение Дирака $$(\delta \times x)\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}=0$$но, $$\delta \times \left(x\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)=\delta$$поэтому произведение распределения на гладкую функцию (которая всегда четко определена) не может быть расширено до ассоциативного произведения в пространстве распределений.

Таким образом, нелинейные задачи не могут быть поставлены вообще и, следовательно, не могут быть решены только в рамках теории распределения. Однако в контексте квантовой теории поля решения можно найти. чем двух измерениях пространства-времени проблема связана с регуляризацией расходимостей В более . Здесь Анри Эпштейн и Владимир Глейзер разработали математически строгую (но чрезвычайно техническую) теорию причинных возмущений . В других ситуациях это не решает проблему. Многие другие интересные теории являются нелинейными, как, например, Навье – Стокса уравнения динамики жидкости .

Несколько не совсем удовлетворительных теории алгебр обобщенных функций были разработаны , среди которых (упрощенная) алгебра Коломбо, возможно, является наиболее популярной в использовании сегодня.

Лайонса Вдохновленный теорией грубого пути , Мартин Хайрер предложил последовательный способ умножения распределений с определенными структурами ( структурами регулярности). ), доступный во многих примерах из стохастического анализа, особенно в стохастических уравнениях в частных производных. См. также Губинелли-Имкеллер-Перковски (2015) о соответствующей разработке, основанной на из парапродукте Бони анализа Фурье.

Композиция с плавной функцией

Позволять $T$ быть распределением по $U.$ Позволять $V$ быть открытым набором в $\mathbb {R} ^{n}$ и $F:V\to U.$ Если $F$ является погружением , то можно определить $$T\circ F\in {\mathcal {D}}'(V).$$

Это состав ​ дистрибутива $T$ с $F$ называется откатом , а также $T$ вдоль $F$, иногда пишут $$F^{\sharp }:T\mapsto F^{\sharp }T=T\circ F.$$

Откат часто обозначается $F^{*},$ хотя это обозначение не следует путать с использованием '*' для обозначения сопряженного линейного отображения.

Условие, которое $F$ быть субмерсией эквивалентно требованию, чтобы Якобиана производная $dF(x)$ из $F$ является сюръективным линейным отображением для каждого $x\in V.$ Необходимое (но недостаточное) условие расширения $F^{\#}$ к дистрибутивам заключается в том, что $F$ быть открытым отображением . Теорема об обратной функции гарантирует, что погружение удовлетворяет этому условию.

Если $F$ это погружение, то $F^{\#}$ определяется в распределениях путем нахождения транспонированной карты. Уникальность этого расширения гарантирована, поскольку $F^{\#}$ является непрерывным линейным оператором на ${\mathcal {D}}(U).$ Однако существование требует использования формулы замены переменных , теоремы об обратной функции (локально) и разделения аргумента единицы .

В частном случае, когда $F$ является диффеоморфизмом открытого подмножества $V$ из $\mathbb {R} ^{n}$ на открытое подмножество $U$ из $\mathbb {R} ^{n}$ замена переменных под интегралом дает: $$\int _{V}\phi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)\psi \left(F^{-1}(x)\right)\left|\det dF^{-1}(x)\right|\,dx.$$

Тогда в данном конкретном случае $F^{\#}$ определяется формулой транспонирования: $$\left\langle F^{\sharp }T,\phi \right\rangle =\left\langle T,\left|\det d(F^{-1})\right|\phi \circ F^{-1}\right\rangle .$$

Свертка

При некоторых обстоятельствах можно определить свертку функции с распределением или даже свертку двух распределений.Напомним, что если $f$ и $g$ являются функциями на $\mathbb {R} ^{n}$ то мы обозначим через $f\ast g$ свертка ​ ​ $f$ и $g,$ определено в $x\in \mathbb {R} ^{n}$ быть интегралом $$(f\ast g)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)g(x-y)\,dy$$при условии, что интеграл существует. Если $1\leq p,q,r\leq \infty$ таковы, что ${\textstyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}-1}$ тогда для любых функций $f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ и $g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})$ у нас есть $f\ast g\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})$ и $\|f\ast g\|_{L^{r}}\leq \|f\|_{L^{p}}\|g\|_{L^{q}}.$ Если $f$ и $g$ являются непрерывными функциями на $\mathbb {R} ^{n},$ хотя бы один из которых имеет компактный носитель, то $\operatorname {supp} (f\ast g)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (g)$ и если $A\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ тогда значение $f\ast g$ на $A$ не зависят от значений $f$ вне суммы Минковского $A-\operatorname {supp} (g)=\{a-s:a\in A,s\in \operatorname {supp} (g)\}.$

Важно, если $g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ имеет компактную поддержку тогда для любого $0\leq k\leq \infty ,$ карта свертки $f\mapsto f\ast g$ непрерывно, если рассматривать его как отображение $C^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{k}(\mathbb {R} ^{n})$ или как карта $C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{k}(\mathbb {R} ^{n}).$

Перевод и симметрия

Данный $a\in \mathbb {R} ^{n},$ оператор перевода $\tau _{a}$ отправляет $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ к $\tau _{a}f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,$ определяется $\tau _{a}f(y)=f(y-a).$ Это можно расширить путем транспонирования к распределениям следующим образом: учитывая распределение $T,$ перевод ​ ​ $T$ к $a$ это распределение $\tau _{a}T:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C}$ определяется $\tau _{a}T(\phi ):=\left\langle T,\tau _{-a}\phi \right\rangle .$

Данный $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,$ определить функцию ${\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ к ${\tilde {f}}(x):=f(-x).$ Учитывая распределение $T,$ позволять ${\tilde {T}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C}$ быть распределением, определяемым ${\tilde {T}}(\phi ):=T\left({\tilde {\phi }}\right).$ Оператор $T\mapsto {\tilde {T}}$ называется симметрией относительно начала координат .

Свертка тестовой функции с распределением

Свертка с $f\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ определяет линейную карту: $${\begin{alignedat}{4}C_{f}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&g&&\mapsto \,&&f\ast g\\\end{alignedat}}$$который непрерывен относительно топологии канонического пространства LF на ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).$

Свертка $f$ с распределением $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ можно определить, транспонировав $C_{f}$ относительно пары дуальности ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ с пространством ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ дистрибутивов. Если $f,g,\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}),$ тогда по теореме Фубини $$\langle C_{f}g,\phi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy\,dx=\left\langle g,C_{\tilde {f}}\phi \right\rangle .$$

Продолжая по непрерывности, свертка $f$ с распределением $T$ определяется $$\langle f\ast T,\phi \rangle =\left\langle T,{\tilde {f}}\ast \phi \right\rangle ,\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).$$

Альтернативный способ определения свертки тестовой функции $f$ и распределение $T$ заключается в использовании оператора перевода $\tau _{a}.$ Свертка компактной функции $f$ и распределение $T$ тогда функция, определенная для каждого $x\in \mathbb {R} ^{n}$ к $$(f\ast T)(x)=\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle .$$

Можно показать, что свертка гладкой функции с компактным носителем и распределения является гладкой функцией. Если распределение $T$ имеет компактный носитель, и если $f$ является полиномом (соответственно показательной функцией, аналитической функцией, ограничением целой аналитической функции на $\mathbb {C} ^{n}$ к $\mathbb {R} ^{n},$ ограничение целой функции экспоненциального типа в $\mathbb {C} ^{n}$ к $\mathbb {R} ^{n}$), то то же самое верно и для $T\ast f.$ Если распределение $T$ также имеет компактную поддержку, то $f\ast T$ является функцией с компактным носителем, и из теоремы Титчмарша о свертке Хёрмандера (1983 , теорема 4.3.3) следует, что: $$\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f\ast T))=\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f))+\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (T))$$где $\operatorname {ch}$ обозначает выпуклую оболочку и $\operatorname {supp}$ обозначает поддержку.

Свертка гладкой функции с распределением

Позволять $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ и $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ и предположим, что хотя бы один из $f$ и $T$ имеет компактную поддержку. Свертка ​ ​ $f$ и $T,$ обозначается $f\ast T$ или через $T\ast f,$ — гладкая функция: $${\begin{alignedat}{4}f\ast T:\,&\mathbb {R} ^{n}&&\to \,&&\mathbb {C} \\&x&&\mapsto \,&&\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\end{alignedat}}$$удовлетворительно для всех $p\in \mathbb {N} ^{n}$: $${\begin{aligned}&\operatorname {supp} (f\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (T)\\[6pt]&{\text{ for all }}p\in \mathbb {N} ^{n}:\quad {\begin{cases}\partial ^{p}\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle =\left\langle T,\partial ^{p}\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\partial ^{p}(T\ast f)=(\partial ^{p}T)\ast f=T\ast (\partial ^{p}f).\end{cases}}\end{aligned}}$$

Позволять $M$ быть картой $f\mapsto T\ast f$. Если $T$ является распределением, то $M$ непрерывно как карта ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$. Если $T$ также имеет компактную поддержку, то $M$ также непрерывно, как и отображение $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ и непрерывен, как карта ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).$

Если $L:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ — непрерывное линейное отображение такое, что $L\partial ^{\alpha }\phi =\partial ^{\alpha }L\phi$ для всех $\alpha$ и все $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ тогда существует распределение $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ такой, что $L\phi =T\circ \phi$ для всех $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).$

Пример. Позволять $H$ быть функцией Хевисайда на $\mathbb {R} .$ Для любого $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ),$$$(H\ast \phi )(x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\,dt.$$

Позволять $\delta$ — мера Дирака в точке 0 и пусть $\delta '$ быть его производной как распределение. Затем $\delta '\ast H=\delta$ и $1\ast \delta '=0.$ Важно отметить, что ассоциативный закон не соблюдается: $$1=1\ast \delta =1\ast (\delta '\ast H)\neq (1\ast \delta ')\ast H=0\ast H=0.$$

Свертка распределений

Также можно определить свертку двух распределений $S$ и $T$ на $\mathbb {R} ^{n},$ при условии, что один из них имеет компактную опору. Неформально, чтобы определить $S\ast T$ где $T$ имеет компактную поддержку, идея состоит в том, чтобы расширить определение свертки $\,\ast \,$ к линейной операции над распределениями, так что формула ассоциативности $$S\ast (T\ast \phi )=(S\ast T)\ast \phi$$продолжает сохраняться для всех тестовых функций $\phi .$

Также возможно дать более явную характеристику свертки распределений. Предположим, что $S$ и $T$ являются распределениями и что $S$ имеет компактную поддержку. Тогда линейные отображения $${\begin{alignedat}{9}\bullet \ast {\tilde {S}}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\quad {\text{ and }}\quad &&\bullet \ast {\tilde {T}}:\,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {S}}&&&&&&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {T}}\\\end{alignedat}}$$являются непрерывными. Транспонирование этих карт: $${}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right):{\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\qquad {}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right):{\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$$следовательно, непрерывны, и можно также показать, что $${}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right)(T)={}^{t}\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right)(S).$$

называется сверткой значение Это общее $S$ и $T$ и это распределение, которое обозначается $S\ast T$ или $T\ast S.$ Это удовлетворяет $\operatorname {supp} (S\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (S)+\operatorname {supp} (T).$ Если $S$ и $T$ — два распределения, хотя бы одно из которых имеет компактную поддержку, то для любого $a\in \mathbb {R} ^{n},$ $\tau _{a}(S\ast T)=\left(\tau _{a}S\right)\ast T=S\ast \left(\tau _{a}T\right).$ Если $T$ это распределение в $\mathbb {R} ^{n}$ и если $\delta$ является мерой Дирака , то $T\ast \delta =T=\delta \ast T$; таким образом $\delta$ является идентификационным элементом операции свертки. Более того, если $f$ это функция, тогда $f\ast \delta ^{\prime }=f^{\prime }=\delta ^{\prime }\ast f$ где теперь ассоциативность свертки подразумевает, что $f^{\prime }\ast g=g^{\prime }\ast f$ для всех функций $f$ и $g.$

Предположим, что это $T$ который имеет компактную поддержку. Для $\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ рассмотрим функцию $$\psi (x)=\langle T,\tau _{-x}\phi \rangle .$$

Легко показать, что это определяет гладкую функцию от $x,$ который, кроме того, имеет компактную поддержку. Свертка $S$ и $T$ определяется $$\langle S\ast T,\phi \rangle =\langle S,\psi \rangle .$$

Это обобщает классическое понятие свертки функций и совместимо с дифференцированием в следующем смысле: для каждого мультииндекса $\alpha .$$$\partial ^{\alpha }(S\ast T)=(\partial ^{\alpha }S)\ast T=S\ast (\partial ^{\alpha }T).$$

Свертка конечного числа распределений, все из которых (кроме, возможно, одного) имеют компактный носитель, является ассоциативной .

Это определение свертки остается действительным при менее ограничительных предположениях о $S$ и $T.$

Свертка распределений с компактным носителем порождает непрерывное билинейное отображение. ${\mathcal {E}}'\times {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}'$ определяется $(S,T)\mapsto S*T,$ где ${\mathcal {E}}'$ обозначает пространство распределений с компактным носителем. Однако карта свертки как функция ${\mathcal {E}}'\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'$ является не непрерывным хотя он отдельно непрерывен. Карты свертки ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'$ и ${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ предоставлено $(f,T)\mapsto f*T$ оба не могут быть непрерывными. Однако каждое из этих несплошных отображений по отдельности является непрерывным и гипонепрерывным .

Свертка против умножения

В общем, для продуктов умножения требуется регулярность , а локальность для продуктов свертки — . Это выражается в следующем расширении теоремы о свертке , которое гарантирует существование продуктов как свертки, так и умножения. Позволять $F(\alpha )=f\in {\mathcal {O}}'_{C}$ быть быстро убывающим умеренным распределением или, что то же самое, $F(f)=\alpha \in {\mathcal {O}}_{M}$ — обычная (медленно растущая, гладкая) функция в пространстве умеренных распределений и пусть $F$ быть нормализованным (унитарным, обычной частотой) преобразованием Фурье . Тогда, согласно Шварцу (1951) , $$F(f*g)=F(f)\cdot F(g)\qquad {\text{ and }}\qquad F(\alpha \cdot g)=F(\alpha )*F(g)$$удерживаться в пространстве умеренных распределений. В частности, эти уравнения становятся формулой суммирования Пуассона , если $g\equiv \operatorname {\text{Ш}}$ это гребешок Дирака . Пространство всех быстроубывающих умеренных распределений также называют пространством операторов свертки. ${\mathcal {O}}'_{C}$ а пространство всех обычных функций в пространстве умеренных распределений также называется пространством операторов умножения. ${\mathcal {O}}_{M}.$ В более общем смысле, $F({\mathcal {O}}'_{C})={\mathcal {O}}_{M}$ и $F({\mathcal {O}}_{M})={\mathcal {O}}'_{C}.$ Частным случаем является теорема Пэли-Винера-Шварца, которая утверждает, что $F({\mathcal {E}}')=\operatorname {PW}$ и $F(\operatorname {PW} )={\mathcal {E}}'.$ Это потому, что ${\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}$ и $\operatorname {PW} \subseteq {\mathcal {O}}_{M}.$ Другими словами, компактно поддерживаемые умеренные распределения ${\mathcal {E}}'$ принадлежат пространству операторов свертки ${\mathcal {O}}'_{C}$ иФункции Пэли-Винера $\operatorname {PW} ,$ более известные как функции с ограниченной полосой пропускания , принадлежат пространству операторов умножения ${\mathcal {O}}_{M}.$

Например, пусть $g\equiv \operatorname {\text{Ш}} \in {\mathcal {S}}'$ быть гребенкой Дирака и $f\equiv \delta \in {\mathcal {E}}'$ быть дельтой Дирака ; тогда $\alpha \equiv 1\in \operatorname {PW}$ — функция, которая постоянно равна единице, и оба уравнения приводят к тождеству гребенки Дирака . Другой пример — позволить $g$ быть гребенкой Дирака и $f\equiv \operatorname {rect} \in {\mathcal {E}}'$ быть прямоугольной функцией ; затем $\alpha \equiv \operatorname {sinc} \in \operatorname {PW}$ — функция sinc , и оба уравнения приводят к классической теореме выборки для подходящих $\operatorname {rect}$ функции. В более общем смысле, если $g$ это гребешок Дирака и $f\in {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}\cap {\mathcal {O}}_{M}$ — гладкая оконная функция ( функция Шварца ), например, Гауссиана , тогда $\alpha \in {\mathcal {S}}$ — еще одна гладкая оконная функция (функция Шварца). Они известны как смягчающие факторы , особенно в теории уравнений в частных производных , или как регуляризаторы в физике, поскольку позволяют превращать обобщенные функции в регулярные функции .

Тензорные произведения распределений

Позволять $U\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ и $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ быть открытыми множествами. Предположим, что все векторные пространства находятся над полем. $\mathbb {F} ,$ где $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ или $\mathbb {C} .$ Для $f\in {\mathcal {D}}(U\times V)$ определить для каждого $u\in U$ и каждый $v\in V$ следующие функции: $${\begin{alignedat}{9}f_{u}:\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&f^{v}:\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&y&&\mapsto \,&&f(u,y)&&&&&&x&&\mapsto \,&&f(x,v)\\\end{alignedat}}$$

Данный $S\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ и $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(V),$ определить следующие функции: $${\begin{alignedat}{9}\langle S,f^{\bullet }\rangle :\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&\langle T,f_{\bullet }\rangle :\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&v&&\mapsto \,&&\langle S,f^{v}\rangle &&&&&&u&&\mapsto \,&&\langle T,f_{u}\rangle \\\end{alignedat}}$$где $\langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)$ и $\langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).$ Эти определения связывают каждое $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ и $T\in {\mathcal {D}}'(V)$ с (соответствующей) непрерывной линейной картой: $${\begin{alignedat}{9}\,&&{\mathcal {D}}(U\times V)&\to \,&&{\mathcal {D}}(V)&&\quad {\text{ and }}\quad &&\,&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(U)\\&&f\ &\mapsto \,&&\langle S,f^{\bullet }\rangle &&&&&f\ &&\mapsto \,&&\langle T,f_{\bullet }\rangle \\\end{alignedat}}$$

Более того, если либо $S$ (соответственно $T$) имеет компактный носитель, то он также индуцирует непрерывное линейное отображение $C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(V)$ (соответственно $C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(U)$).

Теорема Фубини для распределений - Позволять $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ и $T\in {\mathcal {D}}'(V).$ Если $f\in {\mathcal {D}}(U\times V)$ затем $$\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .$$

The тензорное произведение $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ и $T\in {\mathcal {D}}'(V),$ обозначается $S\otimes T$ или $T\otimes S,$ это распределение в $U\times V$ определяется: $$(S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .$$

Пространства распределений

См. Также: Пространства тестовых функций и распределений.

Для всех $0<k<\infty$ и все $1<p<\infty ,$ каждая из следующих канонических инъекций непрерывна и имеет образ (также называемый диапазоном) , который является плотным подмножеством своей кодомена: $${\begin{matrix}C_{c}^{\infty }(U)&\to &C_{c}^{k}(U)&\to &C_{c}^{0}(U)&\to &L_{c}^{\infty }(U)&\to &L_{c}^{p}(U)&\to &L_{c}^{1}(U)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\C^{\infty }(U)&\to &C^{k}(U)&\to &C^{0}(U)\\{}\end{matrix}}$$где топологии на $L_{c}^{q}(U)$ ( $1\leq q\leq \infty$) определяются как прямые пределы пространств $L_{c}^{q}(K)$ аналогично тому, как топологии на $C_{c}^{k}(U)$ были определены (в частности, они не являются обычными топологиями норм). Диапазон каждой из карт выше (и любой композиции карт выше) плотен в своей кодомене.

Предположим, что $X$ это одно из пространств $C_{c}^{k}(U)$ (для $k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}$) или $L_{c}^{p}(U)$ (для $1\leq p\leq \infty$) или $L^{p}(U)$ (для $1\leq p<\infty$). Поскольку каноническая инъекция $\operatorname {In} _{X}:C_{c}^{\infty }(U)\to X$ — непрерывная инъекция, образ которой плотен в кодомене, транспонирование этой карты ${}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}$ представляет собой непрерывную инъекцию. Таким образом, это инъективное транспонированное отображение допускает непрерывное двойственное пространство. $X'$ из $X$ отождествляться с некоторым векторным подпространством пространства ${\mathcal {D}}'(U)$ всех распределений (в частности, оно идентифицируется с изображением этой транспонированной карты). является Это транспонированное отображение является непрерывным, но не обязательно топологическим вложением .Линейное подпространство ${\mathcal {D}}'(U)$ несущий локально выпуклую топологию, более тонкую, чем топология подпространства, индуцированная на нем ${\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}$ называется пространством распределений . Почти все упомянутые в статье пространства распределений возникают именно таким образом (например, умеренное распределение, ограничения, распределения порядка). $\leq$ некоторое целое число, распределения, индуцированные положительной мерой Радона, распределения, индуцированные $L^{p}$-функция и т. д.) и любая теорема о представлении непрерывного двойственного пространства $X$ может, через транспонирование ${}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),$ переноситься непосредственно на элементы пространства $\operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right).$

Радоновые меры

Карта включения $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{0}(U)$ представляет собой непрерывную инъекцию, изображение которой плотно в своей кодомене, поэтому транспонирование ${}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$ также является непрерывной инъекцией.

Заметим, что непрерывное дуальное пространство $(C_{c}^{0}(U))'_{b}$ можно идентифицировать как пространство мер Радона , где имеется взаимно однозначное соответствие между непрерывными линейными функционалами $T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}$ и интегральный по мере Радона; то есть,

• если $T\in (C_{c}^{0}(U))'_{b}$ тогда существует мера Радона $\mu$ на U такой, что для всех ${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U),T(f)=\int _{U}f\,d\mu ,}$ и
• если $\mu$ является мерой Радона на U , то линейный функционал на $C_{c}^{0}(U)$ определяется отправкой ${\textstyle f\in C_{c}^{0}(U)}$ к ${\textstyle \int _{U}f\,d\mu }$ является непрерывным.

Через инъекцию ${}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),$ каждая мера Радона становится распределением на U . Если $f$ является локально интегрируемой функцией на U , то распределение ${\textstyle \phi \mapsto \int _{U}f(x)\phi (x)\,dx}$ – мера Радона; поэтому меры Радона образуют большое и важное пространство распределений.

Ниже приводится теорема о структуре распределений мер Радона , которая показывает, что каждую меру Радона можно записать как сумму производных локальных мер Радона. $L^{\infty }$ функции на U :

Теорема. - Предполагать $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ – мера Радона, где $U\subseteq \mathbb {R} ^{n},$ позволять $V\subseteq U$ быть районом поддержки $T,$ и пусть $I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq n\}.$ Существует семья $f=(f_{p})_{p\in I}$ локально $L^{\infty }$ функции на U такие, что $\operatorname {supp} f_{p}\subseteq V$ для каждого $p\in I,$ и $$T=\sum _{p\in I}\partial ^{p}f_{p}.$$Более того, $T$ также равна конечной сумме производных непрерывных функций на $U,$ где каждая производная имеет порядок $\leq 2n.$

Положительные меры радона

Линейная функция $T$ в пространстве функций называется положительным, если всякий раз, когда функция $f$ который принадлежит области $T$ неотрицательно (т. $f$ имеет реальную ценность и $f\geq 0$) затем $T(f)\geq 0.$ Можно показать, что каждый положительный линейный функционал на $C_{c}^{0}(U)$ обязательно непрерывна (т. е. обязательно является мерой Радона). Мера Лебега является примером положительной меры Радона.

Локально интегрируемые функции как распределения

Одним особенно важным классом мер Радона являются те, которые являются индуцированными локально интегрируемыми функциями. Функция $f:U\to \mathbb {R}$ называется локально интегрируемым , если оно интегрируемо по Лебегу по любому компактному подмножеству K в U . Это большой класс функций, включающий все непрерывные функции и все пространство Lp. $L^{p}$ функции. Топология на ${\mathcal {D}}(U)$ определяется таким образом, что любая локально интегрируемая функция $f$ дает непрерывный линейный функционал на ${\mathcal {D}}(U)$ – то есть элемент ${\mathcal {D}}'(U)$ – обозначено здесь $T_{f},$ значение которого в тестовой функции $\phi$ задается интегралом Лебега: $$\langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.$$

Традиционно злоупотребляют обозначениями , идентифицируя $T_{f}$ с $f,$ при условии, что не может возникнуть путаница, и, таким образом, соединение между $T_{f}$ и $\phi$ часто пишут $$\langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .$$

Если $f$ и $g$ две локально интегрируемые функции, то соответствующие распределения $T_{f}$ и $T_{g}$ равны одному и тому же элементу ${\mathcal {D}}'(U)$ тогда и только тогда, когда $f$ и $g$ равны почти всюду (см., например, Хёрмандер (1983 , теорема 1.2.5)). Аналогично, каждая мера Радона $\mu$ на $U$ определяет элемент ${\mathcal {D}}'(U)$ значение которого в тестовой функции $\phi$ является ${\textstyle \int \phi \,d\mu .}$ Как и выше, принято злоупотреблять обозначениями и записывать пару между мерой Радона $\mu$ и тестовая функция $\phi$ как $\langle \mu ,\phi \rangle .$ И наоборот, как показано в теореме Шварца (аналогично теореме о представлении Рисса ), каждое распределение, которое неотрицательно для неотрицательных функций, имеет этот вид для некоторой (положительной) меры Радона.

Тестовые функции как распределения

Тестовые функции сами по себе локально интегрируемы и поэтому определяют распределения. Пространство тестовых функций $C_{c}^{\infty }(U)$ последовательно плотен в ${\mathcal {D}}'(U)$ относительно сильной топологии на ${\mathcal {D}}'(U).$ Это означает, что для любого $T\in {\mathcal {D}}'(U),$ существует последовательность тестовых функций, $(\phi _{i})_{i=1}^{\infty },$ который сходится к $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ (в сильной двойственной топологии), если рассматривать его как последовательность распределений. Или, что то же самое, $$\langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ for all }}\psi \in {\mathcal {D}}(U).$$

Дистрибутивы с компактной поддержкой

Карта включения $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)$ представляет собой непрерывную инъекцию, образ которой плотен в своей кодомене, поэтому транспонированное отображение ${}^{t}\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$ также является непрерывной инъекцией. Таким образом, образ транспонирования, обозначаемый ${\mathcal {E}}'(U),$ образует пространство распределений.

Элементы ${\mathcal {E}}'(U)=(C^{\infty }(U))'_{b}$ можно определить как пространство распределений с компактным носителем. Явно, если $T$ является распределением на U , то следующие условия эквивалентны:

• $T\in {\mathcal {E}}'(U).$
• Поддержка $T$ компактен.
• Ограничение $T$ к $C_{c}^{\infty }(U),$ когда это пространство оснащено топологией подпространства, унаследованной от $C^{\infty }(U)$ (более грубая топология, чем каноническая топология LF), непрерывна.
• Существует компактное подмножество K в U такое, что для любой пробной функции $\phi$ носитель которого полностью вне K , мы имеем $T(\phi )=0.$

Компактные распределения определяют непрерывные линейные функционалы в пространстве. $C^{\infty }(U)$; Напомним, что топология на $C^{\infty }(U)$ определяется так, что последовательность тестовых функций $\phi _{k}$ сходится к 0 тогда и только тогда, когда все производные $\phi _{k}$ сходятся равномерно к 0 на каждом компактном подмножестве U . Обратно, можно показать, что каждый непрерывный линейный функционал в этом пространстве определяет распределение с компактным носителем. Таким образом, компактно поддерживаемые дистрибутивы можно отождествить с теми дистрибутивами, которые можно расширить из $C_{c}^{\infty }(U)$ к $C^{\infty }(U).$

Распределения конечного порядка

Позволять $k\in \mathbb {N} .$ Карта включения $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{k}(U)$ представляет собой непрерывную инъекцию, изображение которой плотно в своей кодомене, поэтому транспонирование ${}^{t}\operatorname {In} :(C_{c}^{k}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{c}^{\infty }(U))'_{b}$ также является непрерывной инъекцией. Следовательно, образ ${}^{t}\operatorname {In} ,$ обозначается ${\mathcal {D}}'^{k}(U),$ образует пространство распределений. Элементы ${\mathcal {D}}'^{k}(U)$ являются распределениями порядка $\,\leq k.$ Распределения порядка $\,\leq 0,$ которые также называются распределениями порядка 0 , это в точности те распределения, которые являются мерами Радона (описанными выше).

Для $0\neq k\in \mathbb {N} ,$ распределение порядка k — это распределение порядка $\,\leq k$ это не распределение порядка $\,\leq k-1$.

Распределение называется конечным порядком, если существует некоторое целое число. $k$ такое, что это распределение порядка $\,\leq k,$ а множество распределений конечного порядка обозначим через ${\mathcal {D}}'^{F}(U).$ Обратите внимание, что если $k\leq l$ затем ${\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)$ так что ${\mathcal {D}}'^{F}(U):=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\mathcal {D}}'^{n}(U)$ является векторным подпространством ${\mathcal {D}}'(U)$, и, кроме того, тогда и только тогда, когда ${\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}'(U).$

Структура распределений конечного порядка

Каждое распределение с компактным носителем в U является распределением конечного порядка. Действительно, каждое распределение в U является локально распределением конечного порядка в следующем смысле: Если V — открытое и относительно компактное подмножество U и если $\rho _{VU}$ — отображение ограничения из U в V , тогда образ ${\mathcal {D}}'(U)$ под $\rho _{VU}$ содержится в ${\mathcal {D}}'^{F}(V).$

Ниже приводится теорема о структуре распределений конечного порядка, которая показывает, что каждое распределение конечного порядка можно записать как сумму производных мер Радона :

Теорема - Предполагать $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ имеет конечный порядок и $I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.$ Учитывая любое открытое подмножество V из U, содержащее носитель $T,$ существует семейство мер Радона в U , $(\mu _{p})_{p\in I},$ такой, что очень $p\in I,\operatorname {supp} (\mu _{p})\subseteq V$ и $$T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}.$$

Пример. (Распределения бесконечного порядка) Пусть $U:=(0,\infty )$ и для каждой тестовой функции $f,$ позволять $$Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).$$

Затем $S$ является распределением бесконечного порядка на U . Более того, $S$ не может быть распространено на распространение на $\mathbb {R}$; то есть не существует распределения $T$ на $\mathbb {R}$ такое, что ограничение $T$ к U равно $S.$

Умеренные распределения и преобразование Фурье

«Умеренное распространение» перенаправляется сюда. Для умеренных распределений в полупростых группах см. Умеренное представление .

Ниже определены умеренные распределения , которые образуют подпространство ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ пространство распределений на $\mathbb {R} ^{n}.$ Это правильное подпространство: хотя каждое умеренное распределение является распределением и элементом ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ обратное неверно. Умеренные распределения полезны при изучении преобразования Фурье , поскольку все умеренные распределения имеют преобразование Фурье, что неверно для произвольного распределения в ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}).$

Пространство Шварца

Пространство Шварца ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ — это пространство всех гладких функций, быстро убывающих на бесконечности, а также всех частных производных. Таким образом $\phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ находится в пространстве Шварца при условии, что любая производная от $\phi ,$ умноженное на любую степень $|x|,$ сходится к 0 как $|x|\to \infty .$ Эти функции образуют полную ТВС с подходящим образом определенным семейством полунорм . Точнее, для любых мультииндексов $\alpha$ и $\beta$ определять $$p_{\alpha ,\beta }(\phi )=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.$$

Затем $\phi$ находится в пространстве Шварца, если все значения удовлетворяют $$p_{\alpha ,\beta }(\phi )<\infty .$$

Семейство полунорм $p_{\alpha ,\beta }$ определяет локально выпуклую топологию в пространстве Шварца. Для $n=1,$ полунормы фактически являются нормами в пространстве Шварца. Для определения топологии можно также использовать следующее семейство полунорм: $$|f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1+|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N} .$$

В противном случае можно определить норму на ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ с помощью $$\|\phi \|_{k}=\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.$$

Пространство Шварца является пространством Фреше (т. е. полным метризуемым локально выпуклым пространством). Поскольку преобразование Фурье меняется $\partial ^{\alpha }$ в умножение на $x^{\alpha }$ и наоборот, эта симметрия означает, что преобразование Фурье функции Шварца также является функцией Шварца.

Последовательность $\{f_{i}\}$ в ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ сходится к 0 в ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ тогда и только тогда, когда функции $(1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)$ сходятся к 0 равномерно по всему $\mathbb {R} ^{n},$ откуда следует, что такая последовательность должна сходиться к нулю в $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$

${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ плотный в ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).$ Подмножество всех аналитических функций Шварца плотно в ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ также.

Пространство Шварца является ядерным , и тензорное произведение двух отображений индуцирует канонические сюръективные TVS-изоморфизмы. $${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m+n}),$$где ${\widehat {\otimes }}$ представляет собой пополнение инъективного тензорного произведения (которое в данном случае идентично пополнению проективного тензорного произведения ).

Умеренные дистрибутивы

Карта включения $\operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ представляет собой непрерывную инъекцию, изображение которой плотно в своей кодомене, поэтому транспонирование ${}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})$ также является непрерывной инъекцией. Таким образом, образ транспонированной карты, обозначаемый ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ образует пространство распределений.

Пространство ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ называется пространством умеренных распределений . Это непрерывное двойственное пространство к пространству Шварца. Эквивалентно, распределение $T$ является умеренным распределением тогда и только тогда, когда $$\left({\text{ for all }}\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}:\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi _{m})=0\right)\Longrightarrow \lim _{m\to \infty }T(\phi _{m})=0.$$

Производная умеренного распределения снова является умеренным распределением. Умеренные распределения обобщают ограниченные (или медленно растущие) локально интегрируемые функции; все распределения с компактным носителем и все функции, интегрируемые с квадратом, являются умеренными распределениями. В более общем смысле, все функции, являющиеся произведениями полиномов с элементами пространства Lp. $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ для $p\geq 1$ являются умеренными распределениями.

Умеренные распределения также можно охарактеризовать как медленно растущие , что означает, что каждая производная $T$ растет не более чем с некоторой скоростью полинома . Эта характеристика двойственна быстрому падению производных функции в пространстве Шварца, где каждая производная функции $\phi$ затухает быстрее, чем любая обратная степень $|x|.$ Пример быстро падающей функции: $|x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })$ за любой позитив $n,\lambda ,\beta .$

Преобразование Фурье

Для изучения преобразования Фурье лучше всего рассматривать комплексные пробные функции и комплексно-линейные распределения. Обычное непрерывное преобразование Фурье $F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ является TVS- автоморфизмом пространства Шварца, а преобразование Фурье определяется как его транспонирование ${}^{t}F:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ который (злоупотребление обозначениями) снова будет обозначаться через $F.$ Таким образом, преобразование Фурье умеренного распределения $T$ определяется $(FT)(\psi )=T(F\psi )$ для каждой функции Шварца $\psi .$ $FT$ таким образом, это снова умеренное распределение. Преобразование Фурье представляет собой TVS-изоморфизм пространства умеренных распределений на себя. Эта операция совместима с дифференцированием в том смысле, что $$F{\dfrac {dT}{dx}}=ixFT$$а также со сверткой: если $T$ представляет собой умеренное распределение и $\psi$ — медленно возрастающая гладкая функция на $\mathbb {R} ^{n},$ $\psi T$ снова является умеренным распределением и $$F(\psi T)=F\psi *FT$$это свертка $FT$ и $F\psi .$ В частности, преобразование Фурье постоянной функции, равной 1, есть $\delta$ распределение.

Выражение умеренных распределений как суммы производных

Если $T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ является умеренным распределением, то существует константа $C>0,$ и положительные целые числа $M$ и $N$ такая, что для всех функций Шварца $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$$$\langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\phi ).$$

Эту оценку, наряду с некоторыми методами функционального анализа , можно использовать, чтобы показать, что существует непрерывная медленно возрастающая функция. $F$ и мультииндекс $\alpha$ такой, что $$T=\partial ^{\alpha }F.$$

Ограничение распределений компактами.

Если $T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),$ тогда для любого компакта $K\subseteq \mathbb {R} ^{n},$ существует непрерывная функция $F$компактно поддерживается в $\mathbb {R} ^{n}$ (возможно, на большем наборе, чем сам K ) и мультииндексный $\alpha$ такой, что $T=\partial ^{\alpha }F$ на $C_{c}^{\infty }(K).$

Использование голоморфных функций в качестве тестовых функций

Успех теории привел к исследованию идеи гиперфункции , в которой пространства голоморфных функций в качестве пробных функций используются . Была разработана усовершенствованная теория, в частности Микио Сато , алгебраический анализ с использованием теории пучков и нескольких комплексных переменных . Это расширяет диапазон символьных методов, которые можно воплотить в строгую математику, например, интегралы Фейнмана .

См. также

• Главное значение Коши - метод присвоения значений некоторым неправильным интегралам, которые в противном случае были бы неопределенными.
• Тройка Гельфанда - конструкция, связывающая изучение «связанных» и непрерывных собственных значений в функциональном анализе. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Gelfand–Shilov space
• Обобщенная функция - объекты, расширяющие понятие функций.
• Преобразование Гильберта – интегральное преобразование и линейный оператор
• Однородное распределение
• Лапласиан индикатора – Предел последовательности гладких функций
• Лимит раздач
• Mollifier — ядра интеграции для сглаживания резких особенностей.
• Неясная топология

Дифференциальные уравнения, связанные

• Фундаментальное решение – концепция решения линейных уравнений в частных производных
• Псевдодифференциальный оператор - Тип дифференциального оператора
• Слабое решение – Математическое решение

Обобщения распределений

• Алгебра Коломбо - коммутативная ассоциативная дифференциальная алгебра обобщенных функций, в которую гладкие функции (но не произвольные непрерывные) встраиваются как подалгебра, а распределения встраиваются как подпространство. Страницы, отображающие описания из Викиданных в качестве запасного варианта.
• Текущее (математика) – Распределения в пространствах дифференциальных форм.
• Распределение (теория чисел) - функция на конечных множествах, аналогичная целочисленным страницам, отображающим описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Распределение на линейной алгебраической группе - линейная функция, удовлетворяющая условию носителя.
• Функция Грина – Импульсный отклик неоднородного линейного дифференциального оператора
• Гиперфункция - тип обобщенной функции.
• Теорема Мальгранжа – Эренпрайса

Библиография

• Баррос-Нето, Хосе (1973). Введение в теорию распределений . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Деккер.
• Бенедетто, Дж. Дж. (1997), Гармонический анализ и его приложения , CRC Press .
• Фолланд, Великобритания (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
• Фридлендер, ФГ; Джоши, MS (1998). Введение в теорию распределений . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. .
• Гординг, Л. (1997), Некоторые моменты анализа и их история , Американское математическое общество .
• Гельфанд, И.М. ; Шилов Г.Е. (1966–1968), Обобщенные функции , вып. 1–5, Академик Пресс .
• Грабб, Г. (2009), Распределения и операторы , Springer .
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Матем. наука., вып. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN.  3-540-12104-8 , МР   0717035 .
• Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряды Аддисона-Уэсли по математике. Том. 1. Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. ISBN  978-0201029857 .
• Колмогоров Андрей ; Фомин, Сергей Васильевич (1957). Элементы теории функций и функционального анализа . Дуврские книги по математике. Нью-Йорк: Дуврские книги. ISBN  978-1-61427-304-2 . OCLC   912495626 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Петерсен, Бент Э. (1983). Введение в преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы . Бостон, Массачусетс: Издательство Pitman Publishing. .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шварц, Лоран (1954), «О невозможности умножения распределений», CR Acad. наук. Париж , 239 : 847–848 .
• Шварц, Лоран (1951), Теория распределений , вып. 1–2, Германн .
• Соболев С. Л. (1936), "Новый метод решения задачи Коши для линейных нормальных гиперболических уравнений" , Матем. Сборник , 1 :39–72 .
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN  0-691-08078-Х .
• Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN  0-8493-8273-4 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вудворд, премьер-министр (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радиолокации . Оксфорд, Великобритания: Pergamon Press.

Дальнейшее чтение

• Эм Джей Лайтхилл (1959). Введение в анализ Фурье и обобщенные функции . Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-09128-4 (требует очень небольших знаний в области анализа; определяет распределения как пределы последовательностей функций под интегралами)
• В.С. Владимиров (2002). Методы теории обобщенных функций . Тейлор и Фрэнсис. ISBN   0-415-27356-0
• Владимиров В.С. (2001) [1994], «Обобщенная функция» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
• Владимиров В.С. (2001) [1994], «Обобщенные функции, пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
• Владимиров В.С. (2001) [1994], «Обобщенная функция, производная a» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Владимиров В.С. (2001) [1994], «Обобщенные функции, произведение» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
• Обергуггенбергер, Майкл (2001) [1994], «Обобщенные функциональные алгебры» , Энциклопедия математики , EMS Press .