алгебра Коломбо

В математике называется алгеброй Коломбо алгебра определенного вида, содержащая пространство распределений Шварца . Хотя в классической теории распределения общее умножение распределений невозможно, алгебры Коломбо обеспечивают для этого строгую основу.

Такое умножение распределений долгое время считалось невозможным из-за результата Л. Шварца о невозможности, который, по сути, утверждает, что не может быть дифференциальной алгебры, содержащей пространство распределений и сохраняющей произведение непрерывных функций. Однако, если вместо этого кто-то хочет сохранить только произведение гладких функций, такая конструкция становится возможной, как впервые продемонстрировал Коломбо.

Можно сказать, что как математический инструмент алгебры Коломбо сочетают в себе рассмотрение особенностей, дифференцирования и нелинейных операций в одной структуре, снимая ограничения теории распределения. Эти алгебры до сих пор нашли многочисленные применения в области уравнений в частных производных, геофизики, микролокального анализа и общей теории относительности.

Алгебры Коломбо названы в честь французского математика Жана Франсуа Коломбо .

Результат невозможности Шварца

Попытка встроить пространство ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )$ раздач на $\mathbb {R}$ в ассоциативную алгебру $(A(\mathbb {R} ),\circ ,+)$ , то естественными кажутся следующие требования:

${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )$ линейно вложено в $A(\mathbb {R} )$ такая, что постоянная функция $1$ становится единством в $A(\mathbb {R} )$ ,
Существует оператор частной производной $\partial$ на $A(\mathbb {R} )$ который линеен и удовлетворяет правилу Лейбница,
ограничение $\partial$ к ${\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )$ совпадает с обычной частной производной,
ограничение $\circ$ к $C(\mathbb {R} )\times C(\mathbb {R} )$ совпадает с поточечным произведением.

Однако результат Л. Шварца ^[1] подразумевает, что эти требования не могут выполняться одновременно. То же самое верно, даже если в 4. заменить $C(\mathbb {R} )$ к $C^{k}(\mathbb {R} )$ , пространство $k$ раз непрерывно дифференцируемые функции. Хотя этот результат часто интерпретируется как утверждение о том, что общее умножение распределений невозможно, на самом деле он лишь утверждает, что нельзя неограниченно сочетать дифференцирование, умножение непрерывных функций и наличие сингулярных объектов, таких как дельта Дирака.

Алгебры Коломбо строятся так, чтобы удовлетворять условиям 1.–3. и условие типа 4., но с $C(\mathbb {R} )\times C(\mathbb {R} )$ заменен на $C^{\infty }(\mathbb {R} )\times C^{\infty }(\mathbb {R} )$ , т. е. сохраняют произведение только гладких (бесконечно дифференцируемых) функций.

Основная идея

Алгебра Коломбо ^[2] определяется как факторалгебра

C_{M}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})/C_{N}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).

Здесь алгебра умеренных функций $C_{M}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ на $\mathbb {R} ^{n}$ — алгебра семейств гладких регуляризаций ( f _ε )

{f:}\mathbb {R} _{+}\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})

гладких функций на $\mathbb {R} ^{n}$ (где R ₊ = (0,∞) — параметр « регуляризации » ε), такой, что для всех компактных подмножеств K из $\mathbb {R} ^{n}$ и всех мультииндексов α, существует N > 0 такое, что

\sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{|\alpha |}}{(\partial x_{1})^{\alpha _{1}}\cdots (\partial x_{n})^{\alpha _{n}}}}f_{\varepsilon }(x)\right|=O(\varepsilon ^{-N})\qquad (\varepsilon \to 0).

Идеал $C_{N}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ пренебрежимо малых функций определяется таким же образом, но вместо этого частные производные ограничены O( ε ^+Н) для всех N > 0.

Встраивание дистрибутивов

Пространство(а) распределений Шварца можно встроить в упрощенную алгебру путем (покомпонентной) свертки с любым элементом алгебры, имеющим в качестве представителя δ-сеть , т.е. семейство гладких функций. $\varphi _{\varepsilon }$ такой, что $\varphi _{\varepsilon }\to \delta$ в D' при ε → 0.

Это вложение неканонично, поскольку зависит от выбора δ-сети. Однако существуют версии алгебр Коломбо (так называемые полные алгебры), которые допускают канонические вложения распределений. Хорошо известная полная версия получается добавлением смягчающих факторов в качестве второго набора индексов.

См. также

Обобщенная функция

Примечания

^ Л. Шварц, 1954, «О невозможности умножения распределений», Comptes Rendus de L'Académie des Sciences 239, стр. 847–848 [1]
^ Гратус, Дж. (2013). «Алгебра Коломбо: педагогическое введение». arXiv : 1308.0257 [ math.FA ].

Ссылки

Коломбо, Ж. Ф., Новые обобщенные функции и умножение распределений . Северная Голландия, Амстердам, 1984 год.
Коломбо, Ж. Ф., Элементарное введение в новые обобщенные функции . Северная Голландия, Амстердам, 1985 год.
Недельков М., Пилипович С. , Скарпалесос Д., Линейная теория обобщенных функций Коломбо , Аддисон Уэсли, Лонгман, 1998.
Гроссер М., Кунцингер М., Обергуггенбергер М., Штайнбауэр Р.; Геометрическая теория обобщенных функций с приложениями к общей теории относительности , Математика рядов Спрингера и ее приложения, Vol. 537, 2002; ISBN 978-1-4020-0145-1 .

[1] Л. Шварц, 1954, «О невозможности умножения распределений», Comptes Rendus de L'Académie des Sciences 239, стр. 847–848 [1]

[2] Гратус, Дж. (2013). «Алгебра Коломбо: педагогическое введение». arXiv : 1308.0257 [ math.FA ].

[1]

[2]