Теорема Мальгранжа – Эренпрайса

В математике теорема Мальгранжа-Эренпрейса утверждает, что каждый ненулевой линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет функцию Грина . Впервые это было независимо доказано Леоном Эренпрейсом ( 1954 , 1955 ) и Бернар Мальгранж ( 1955–1956 ).

Это означает, что дифференциальное уравнение

$P\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{\ell }}}\right)u(\mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} ),$

где $P$ является многочленом от нескольких переменных и $\delta$ — дельта-функция Дирака , имеет распределительное решение $u$. Его можно использовать, чтобы показать, что

$P\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{\ell }}}\right)u(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )$

имеет решение для любого компактно поддерживаемого дистрибутива $f$. Решение в целом не единственное.

Аналог для дифференциальных операторов, коэффициенты которых являются полиномами (а не константами), неверен: см. пример Леви .

Доказательства

Оригинальные доказательства Мальгранжа и Эренпрейса были неконструктивными, поскольку они использовали теорему Хана-Банаха . С тех пор было найдено несколько конструктивных доказательств.

Существует очень короткое доказательство с использованием преобразования Фурье и полинома Бернштейна – Сато следующим образом. Используя преобразования Фурье, теорема Мальгранжа–Эренпрейса эквивалентна тому факту, что каждый ненулевой полином $P$ имеет обратное распределение. Заменив $P$ произведением на его комплексно-сопряженное, можно также предположить, что $P$ является неотрицательным. Для неотрицательных полиномов $P$ существование обратного распределения следует из существования полинома Бернштейна – Сато, из которого следует, что $P^{s}$ может быть аналитически продолжена как мероморфная функция распределения комплексной переменной $s$; постоянный член лорановского разложения $P^{s}$ в $s=-1$ тогда является распределением, обратным к $P$.

Другие доказательства, часто дающие лучшие оценки роста решения, приведены в ( Hörmander 1983a , теорема 7.3.10), ( Reed & Simon 1975 , теорема IX.23, стр. 48) и ( Rosay 1991 ). ( Хёрмандер 1983b , глава 10) подробно обсуждает свойства регулярности фундаментальных решений.

Краткое конструктивное доказательство было представлено в ( Wagner 2009 , Proposition 1, p. 458):

$E={\frac {1}{\overline {P_{m}(2\eta )}}}\sum _{j=0}^{m}a_{j}e^{\lambda _{j}\eta x}{\mathcal {F}}_{\xi }^{-1}\left({\frac {\overline {P(i\xi +\lambda _{j}\eta )}}{P(i\xi +\lambda _{j}\eta )}}\right)$

является фундаментальным решением $P(\partial )$, то есть, $P(\partial )E=\delta$, если $P_{m}$ является основной частью $P$, $\eta \in \mathbb {R} ^{n}$ с $P_{m}(\eta )\neq 0$, реальные цифры $\lambda _{0},\ldots ,\lambda _{m}$ попарно различны, и

$a_{j}=\prod _{k=0,k\neq j}^{m}(\lambda _{j}-\lambda _{k})^{-1}.$

Ссылки

• Эренпрейс, Леон (1954), «Решение некоторых проблем деления. I. Деление полиномом вывода»., Amer. Дж. Математика. , 76 (4): 883–903, doi : 10.2307/2372662 , JSTOR   2372662 , MR   0068123
• Эренпрейс, Леон (1955), «Решение некоторых проблем деления. II. Деление точечным распределением», Amer. Дж. Математика. , 77 (2): 286–292, номер документа : 10.2307/2372532 , JSTOR   2372532 , MR   0070048.
• Хёрмандер, Л. (1983a), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Матем. наука., вып. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN.  978-3-540-12104-6 , МР   0717035
• Хёрмандер, Л. (1983b), Анализ линейных операторов в частных производных II , Grundl. Матем. наука., вып. 257, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN.  978-3-540-12139-8 , МР   0705278
• Мальгранж, Бернар (1955–1956), «Существование и приближение решений уравнений в частных производных и уравнений свертки» , Annales de l'Institut Fourier , 6 : 271–355, doi : 10.5802/aif.65 , MR   0086990
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1975), Методы современной математической физики. II. Анализ Фурье, самосопряженность , Нью-Йорк-Лондон: Academic Press Харкорт Брейс Йованович, Издательство, стр. xv+361, ISBN  978-0-12-585002-5 , МР   0493420
• Розай, Жан-Пьер (1991), «Очень элементарное доказательство теоремы Мальгранжа-Эренпрейса», Amer. Математика. Ежемесячно , 98 (6): 518–523, doi : 10.2307/2324871 , JSTOR   2324871 , MR   1109574.
• Розай, Жан-Пьер (2001) [1994], «Теорема Мальгранжа – Эренпрейса» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Вагнер, Питер (2009), «Новое конструктивное доказательство теоремы Мальгранжа-Эренпрайса», Amer. Математика. Ежемесячно , 116 (5): 457–462, CiteSeerX   10.1.1.488.6651 , doi : 10.4169/193009709X470362 , MR   2510844