Пример Леви

В математическом исследовании производных уравнений в частных пример Леви , благодаря Гансу Леви в является знаменитым примером линейного уравнения частных производных , не имеющего решений . Это показывает, что аналог теоремы Коши–Ковалевской не выполняется в гладкой категории.

Исходный пример не является явным, поскольку он использует теорему Хана-Банаха , но с тех пор были различные явные примеры того же характера, найденные Говардом Якобовицем . ^{[ 1 ]}

Теорема Мальгранжа-Эренпрейса утверждает (примерно), что линейные уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами всегда имеют хотя бы одно решение; Пример Леви показывает, что этот результат нельзя распространить на линейные уравнения в частных производных с полиномиальными коэффициентами.

Пример

Заявление следующее

На

\mathbb {R} \times \mathbb {C}

, существует гладкая (т. е.

C^{\infty }

) комплексная функция

F(t,z)

такая, что дифференциальное уравнение

{\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}-iz{\frac {\partial u}{\partial t}}=F(t,z)

не допускает решения ни на одном открытом множестве . Обратите внимание, что если $F$ аналитична , то из теоремы Коши–Ковалевской следует, что решение существует.

Леви конструирует это $F$ используя следующий результат:

На

\mathbb {R} \times \mathbb {C}

, предположим, что

u(t,z)

функция, удовлетворяющая в окрестности начала координат —

{\frac {\partial u}{\partial {\bar {z}}}}-iz{\frac {\partial u}{\partial t}}=\varphi ^{\prime }(t)

для некоторого C ¹ функция φ . Тогда φ должна быть вещественно-аналитической в (возможно, меньшей) окрестности начала координат.

Это можно истолковать как теорему о несуществовании, если считать φ просто гладкой функцией. Пример Леви берет это последнее уравнение и в каком-то смысле переносит его неразрешимость на каждую точку уравнения. $\mathbb {R} \times \mathbb {C}$ . Метод доказательства использует аргумент категории Бэра , поэтому в определенном точном смысле почти все уравнения этого вида неразрешимы.

Мизохата (1962) позже обнаружил, что еще более простое уравнение

{\frac {\partial u}{\partial x}}+ix{\frac {\partial u}{\partial y}}=F(x,y)

в зависимости от двух действительных переменных x и y иногда не имеет решений. Это почти простейший возможный оператор в частных производных с непостоянными коэффициентами.

Значение для коллекторов CR

CR - многообразие оснащено цепным комплексом дифференциальных операторов, формально похожим на комплекс Дольбо на комплексном многообразии , называемом $\scriptstyle {\bar {\partial }}_{b}$ -сложный. Комплекс Дольбо допускает вариант леммы Пуанкаре . На языке пучков это означает, что комплекс Дольбо точен. Однако пример Леви показывает, что $\scriptstyle {\bar {\partial }}_{b}$ -комплексное почти никогда не бывает точным.

Примечания

^ Якобовиц, Ховард (1988), Кардосо, Фернандо; де Фигейредо, Джайро Г.; Иорио, Рафаэль; Лопес, Орландо (ред.), «Системы однородных уравнений в частных производных с небольшим количеством решений» , Уравнения в частных производных , том. 1324, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 127–136, doi : 10.1007/bfb0100788 , ISBN 978-3-540-50111-4

Ссылки

Леви, Ганс (1957), «Пример гладкого линейного уравнения в частных производных без решения», Annals of Mathematics , 66 (1): 155–158, doi : 10.2307/1970121 , JSTOR 1970121 , MR 0088629 , Zbl 0078.08104 .
Мизохата, Сигеру (1962), «Нулевые решения и неаналитические решения» , Журнал математики Киотского университета (на французском языке), 1 (2): 271–302, MR 0142873 , Zbl 0106.29601 .
Розай, Жан-Пьер (2001) [1994], «Оператор Леви и оператор Мизохаты» , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Якобовиц, Ховард (1988), Кардосо, Фернандо; де Фигейредо, Джайро Г.; Иорио, Рафаэль; Лопес, Орландо (ред.), «Системы однородных уравнений в частных производных с небольшим количеством решений» , Уравнения в частных производных , том. 1324, Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 127–136, doi : 10.1007/bfb0100788 , ISBN 978-3-540-50111-4

[ 1 ]