Теорема Коши – Ковалевской.

В математике теорема Коши-Ковалевской (также называемая теоремой Коши-Ковалевской ) является основной локальной теоремой существования и единственности для аналитических уравнений в частных производных, связанных с задачами Коши начального значения . Частный случай доказал Огюстен Коши ( 1842 ), а полный результат — Софья Ковалевская ( 1874 ).

Теорема Коши – Ковалевской первого порядка.

Эта теорема касается существования решений системы m дифференциальных уравнений в n измерениях, когда коэффициенты являются аналитическими функциями . Теорема и ее доказательство справедливы для аналитических функций как действительных, так и комплексных переменных.

Пусть K обозначает поля действительных или комплексных чисел и пусть V = K ^м и W = К ^н . Пусть A ₁ , ..., An _{−1 —} определенные аналитические функции, в некоторой окрестности (0, 0) в W × V и принимающие значения в матрицах m × m , и пусть b — аналитическая функция со значениями в V определены в одном и том же районе. существует окрестность 0 Тогда в W , на которой решается квазилинейная задача Коши

$\partial _{x_{n}}f=A_{1}(x,f)\partial _{x_{1}}f+\cdots +A_{n-1}(x,f)\partial _{x_{n-1}}f+b(x,f)$

с начальным состоянием

$f(x)=0$

на гиперповерхности

$x_{n}=0$

имеет единственное аналитическое решение ƒ : W → V вблизи 0.

Пример Леви показывает, что эта теорема в целом справедлива не для всех гладких функций.

Теорему можно также сформулировать в абстрактных (действительных или комплексных) векторных пространствах. Пусть V и W — конечномерные действительные или комплексные векторные пространства, где = dim W. n Пусть A ₁ , ..., An _{−1 —} со аналитические функции значениями в End( V ) , а b — функция со значениями в V , определенная в некоторой окрестности (0, 0) в W × V. аналитическая В этом случае имеет место тот же результат.

Доказательство аналитическим мажорированием.

Обе части уравнения в частных производных можно разложить как формальный степенной ряд и дать рекуррентные соотношения для коэффициентов формального степенного ряда для f , которые однозначно определяют коэффициенты. Коэффициенты ряда Тейлора для A _i и b мажорируются по матричной и векторной норме простой скалярной рациональной аналитической функцией. Соответствующая скалярная задача Коши, включающая эту функцию вместо A _i и b, имеет явное локальное аналитическое решение. Абсолютные значения ее коэффициентов мажорируют нормы исходной задачи; поэтому формальное решение степенного ряда должно сходиться где скалярное решение сходится.

Теорема Коши – Ковалевской высшего порядка.

Если F и f _j — аналитические функции вблизи 0, то нелинейная задача Коши

$\partial _{t}^{k}h=F\left(x,t,\partial _{t}^{j}\,\partial _{x}^{\alpha }h\right),{\text{ where }}j<k{\text{ and }}|\alpha |+j\leq k,$

с начальными условиями

$\partial _{t}^{j}h(x,0)=f_{j}(x),\qquad 0\leq j<k,$

имеет единственное аналитическое решение вблизи 0.

Это следует из задачи первого порядка, если рассматривать производные h , стоящие в правой части, как компоненты вектор-функции.

Пример

Уравнение теплопроводности

$\partial _{t}h=\partial _{x}^{2}h$

с условием

$h(0,x)={1 \over 1+x^{2}}{\text{ for }}t=0$

имеет единственное формальное решение степенного ряда (расширенное вокруг (0, 0)). Однако этот формальный степенной ряд не сходится ни при каких ненулевых значениях t , поэтому в окрестности начала координат аналитических решений нет. Это показывает, что условие | α | + j ≤ k, указанный выше, нельзя отбросить. (Этот пример принадлежит Ковалевскому.)

Теорема Коши–Ковалевской–Кашивары.

Существует широкое обобщение теоремы Коши–Ковалевской для систем линейных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами, теорема Коши–Ковалевской–Кашивары , вследствие Масаки Касивара ( 1983 ). Эта теорема включает когомологическую формулировку, представленную на языке D-модулей . Условие существования включает в себя условие совместимости неоднородных частей каждого уравнения и исчезновение производного функтора. $Ext^{1}$.

Пример

Позволять $n\leq m$. Набор $Y=\{x_{1}=\cdots =x_{n}\}$. Система $\partial _{x_{i}}f=g_{i},i=1,\ldots ,n,$ есть решение $f\in \mathbb {C} \{x_{1},\ldots ,x_{m}\}$ тогда и только тогда, когда выполняются условия совместимости $\partial _{x_{i}}g_{j}=\partial _{x_{j}}g_{i}$ проверены. Чтобы иметь единственное решение, мы должны включить начальное условие $f|_{Y}=h$, где $h\in \mathbb {C} \{x_{n+1},\ldots ,x_{m}\}$.

Ссылки

• Коши, Огюстен (1842 г.), «Мемуары об использовании расчета пределов при интегрировании уравнений в частных производных» , Отчеты , 15 Перепечатано в «Oeuvres Completes», 1 серия, Том VII, страницы 17–58.
• Фолланд, Джеральд Б. (1995), Введение в уравнения в частных производных , Princeton University Press, ISBN  0-691-04361-2
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Матем. наука., вып. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN.  3-540-12104-8 , МР   0717035 (линейный корпус)
• Кашивара, М. (1983), Системы микродифференциальных уравнений , Прогресс в математике, том. 34, Биркхойзер, ISBN  0817631380
• фон Ковалевский, Софи (1875), «К теории уравнений в частных производных» , Журнал чистой и прикладной математики , 80 : 1–32 (в то время использовалось немецкое написание ее фамилии.)
• Нахушев, А.М. (2001) [1994], «Теорема Коши–Ковалевской» , Энциклопедия математики , EMS Press

Внешние ссылки

• ПланетаМатематика