Однородное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение может быть однородным в двух отношениях.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно записать

f(x,y)\,dy=g(x,y)\,dx,

где $f$ и $g$ — однородные функции одной и той же степени от $x$ и $y$ . ^[1] В этом случае замена переменной $y = ux$ приводит к уравнению вида

{\frac {dx}{x}}=h(u)\,du,

которую легко решить путем интегрирования двух членов.

В противном случае дифференциальное уравнение является однородным, если оно является однородной функцией неизвестной функции и ее производных. В случае линейных дифференциальных уравнений это означает отсутствие постоянных членов. Решения любого линейного обыкновенного дифференциального уравнения любого порядка можно получить интегрированием из решения однородного уравнения, полученного удалением постоянного члена.

История [ править ]

Термин «однородный» впервые был применен к дифференциальным уравнениям Иоганном Бернулли в разделе 9 его статьи 1726 года De integraionibus aequationum Differentium (Об интегрировании дифференциальных уравнений). ^[2]

порядка первого дифференциальные уравнения Однородные

первого порядка Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0

является однородным типом, если обе функции $M (x, y)$ и $N (x, y)$ являются однородными функциями одной и той же степени $n$ . ^[3] То есть, умножив каждую переменную на параметр $λ$ , находим

M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\quad {\text{and}}\quad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,.

Таким образом,

{\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,.

Метод решения [ править ]

В частном ${\textstyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}}$ , мы можем положить $t = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 / x$ , чтобы упростить это частное до функции $f$ одной переменной $г / х$ :

{\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,.

То есть

{\frac {dy}{dx}}=-f(y/x).

Введем замену переменных $y = ux$ ; дифференцировать, используя правило произведения :

{\frac {dy}{dx}}={\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u.

Это преобразует исходное дифференциальное уравнение к разделимой форме

x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u,

или

{\frac {1}{x}}{\frac {dx}{du}}={\frac {-1}{f(u)+u}},

которое теперь можно интегрировать напрямую: $ln x$ равно первообразной правой части (см. обыкновенное дифференциальное уравнение ).

Особый случай [ править ]

Дифференциальное уравнение первого порядка вида ( $a$ , $b$ , $c$ , $e$ , $f$ , $g$ — все константы)

\left(ax+by+c\right)dx+\left(ex+fy+g\right)dy=0

где $аф \neq быть$ можно преобразовать к однородному типу линейным преобразованием обеих переменных ( $α$ и $β$ — константы):

t=x+\alpha ;\;\;z=y+\beta \,.

линейные уравнения Однородные дифференциальные

Линейное дифференциальное уравнение является однородным, если оно является однородным линейным уравнением относительно неизвестной функции и ее производных. Отсюда следует, что если $φ (x)$ является решением, то же самое можно сказать и $о cφ (x)$ для любой (ненулевой) константы $c$ . Чтобы это условие выполнялось, каждый ненулевой член линейного дифференциального уравнения должен зависеть от неизвестной функции или любой ее производной. Линейное дифференциальное уравнение, не удовлетворяющее этому условию, называется неоднородным.

Линейное дифференциальное уравнение можно представить как линейный оператор , действующий на $y (x)$ , где $x$ обычно является независимой переменной, а $y$ — зависимой переменной. Следовательно, общий вид линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид

L(y)=0

где $L$ — дифференциальный оператор , сумма производных (определяющих «0-ю производную» как исходную недифференцированную функцию), каждая из которых умножается на $fi от$ x $функцию$ :

L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,,

где $f i$ могут быть константами, но не все $f i$ могут быть равны нулю.

Например, следующее линейное дифференциальное уравнение является однородным:

\sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,,

тогда как следующие два являются неоднородными:

2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,;

2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,.

Существование постоянного члена является достаточным условием для того, чтобы уравнение было неоднородным, как в приведенном выше примере.

См. также [ править ]

Разделение переменных

Примечания [ править ]

^ Деннис Г. Зилл (15 марта 2012 г.). Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями для моделирования . Cengage Обучение. ISBN 978-1-285-40110-2 .
^ «Об интегрировании дифференциальных уравнений» . Комментарии Императорской Петрополитанской академии наук 1 : 167–184. июнь 1726 г.
^ Инс 1956 , с. 18

Ссылки [ править ]

Бойс, Уильям Э.; ДиПрима, Ричард К. (2012), Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (10-е изд.), Wiley, ISBN 978-0470458310 . (Это хороший вводный справочник по дифференциальным уравнениям.)
Инс, Э.Л. (1956), Обыкновенные дифференциальные уравнения , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0486603490 . (Это классический справочник по ОДУ, впервые опубликованный в 1926 году.)
Андрей Дмитриевич Полянин; Зайцев Валентин Федорович (15 ноября 2017 г.). Справочник обыкновенных дифференциальных уравнений: точные решения, методы и проблемы . ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4665-6940-9 .
Мэтью Р. Болкинс; Джек Л. Голдберг; Мерл С. Поттер (5 ноября 2009 г.). Дифференциальные уравнения линейной алгебры . Издательство Оксфордского университета. стр. 274–. ISBN 978-0-19-973666-9 .

Внешние ссылки [ править ]

[Zill2012-1] Деннис Г. Зилл (15 марта 2012 г.). Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями для моделирования . Cengage Обучение. ISBN 978-1-285-40110-2 .

[2] «Об интегрировании дифференциальных уравнений» . Комментарии Императорской Петрополитанской академии наук 1 : 167–184. июнь 1726 г.

[3] Инс 1956 , с. 18

[1]

[2]

[3]