Теорема существования Каратеодори

Чтобы узнать о других значениях, см. Теорему Каратеодори (значения) .

В математике обыкновенное теорема существования Каратеодори гласит, что дифференциальное уравнение имеет решение в относительно мягких условиях. Это обобщение теоремы существования Пеано . Теорема Пеано требует, чтобы правая часть дифференциального уравнения была непрерывной, а теорема Каратеодори показывает существование решений (в более общем смысле) для некоторых разрывных уравнений. Теорема названа в честь Константина Каратеодори .

Введение

Рассмотрим дифференциальное уравнение

$y'(t)=f(t,y(t))$

с начальным состоянием

$y(t_{0})=y_{0},$

где функция ƒ определена в прямоугольной области вида

$R=\{(t,y)\in \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n}\,:\,|t-t_{0}|\leq a,|y-y_{0}|\leq b\}.$

Теорема существования Пеано утверждает, что если ƒ непрерывно , то дифференциальное уравнение имеет хотя бы одно решение в окрестности начального условия.

Однако можно рассматривать и дифференциальные уравнения с разрывной правой частью, например уравнение

$y'(t)=H(t),\quad y(0)=0,$

где H обозначает функцию Хевисайда , определяемую формулой

$H(t)={\begin{cases}0,&{\text{if }}t\leq 0;\\1,&{\text{if }}t>0.\end{cases}}$

Имеет смысл рассмотреть функцию линейного изменения

$y(t)=\int _{0}^{t}H(s)\,\mathrm {d} s={\begin{cases}0,&{\text{if }}t\leq 0;\\t,&{\text{if }}t>0\end{cases}}$

как решение дифференциального уравнения. Однако, строго говоря, оно не удовлетворяет дифференциальному уравнению при $t=0$, поскольку функция там не дифференцируема. Это предполагает расширение идеи решения, чтобы учесть решения, которые не всюду дифференцируемы, что мотивирует следующее определение.

Функция y называется решением в расширенном смысле дифференциального уравнения $y'=f(t,y)$ с начальным состоянием $y(t_{0})=y_{0}$ если y , абсолютно непрерывен y удовлетворяет дифференциальному уравнению почти всюду и y удовлетворяет начальному условию. Абсолютная непрерывность y означает, что ее производная существует почти всюду.

Формулировка теоремы

Рассмотрим дифференциальное уравнение

$y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},$

с $f$ определенный в прямоугольной области $R=\{(t,y)\,|\,|t-t_{0}|\leq a,|y-y_{0}|\leq b\}$. Если функция $f$ удовлетворяет следующим трем условиям:

• $f(t,y)$ является непрерывным в $y$ за каждое фиксированное $t$,
• $f(t,y)$ измеримо ​ в $t$ за каждое фиксированное $y$,
• существует интегрируемая по Лебегу функция $m:[t_{0}-a,t_{0}+a]\to [0,\infty )$ такой, что $|f(t,y)|\leq m(t)$ для всех $(t,y)\in R$,

тогда дифференциальное уравнение имеет решение в расширенном смысле в окрестности начального условия.

Отображение $f\colon R\to \mathbf {R} ^{n}$ Говорят, что он удовлетворяет условиям Каратеодори на $R$ если оно удовлетворяет условию теоремы.

Уникальность решения

Предположим, что отображение $f$ удовлетворяет условиям Каратеодори на $R$ и существует интегрируемая по Лебегу функция $k:[t_{0}-a,t_{0}+a]\to [0,\infty )$, такой, что

$|f(t,y_{1})-f(t,y_{2})|\leq k(t)|y_{1}-y_{2}|,$

для всех $(t,y_{1})\in R,(t,y_{2})\in R.$ Тогда существует единственное решение $y(t)=y(t,t_{0},y_{0})$ к задаче начального значения

$y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.$

Более того, если отображение $f$ определяется на всем пространстве $\mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n}$ и если для любого начального условия $(t_{0},y_{0})\in \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n}$, существует компактная прямоугольная область $R_{(t_{0},y_{0})}\subset \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n}$ такое, что отображение $f$ удовлетворяет всем условиям сверху на $R_{(t_{0},y_{0})}$. Тогда домен $E\subset \mathbf {R} ^{2+n}$ определения функции $y(t,t_{0},y_{0})$ открыт и $y(t,t_{0},y_{0})$ постоянно включен $E$.

Пример

Рассмотрим линейную начальную задачу вида

$y'(t)=A(t)y(t)+b(t),\quad y(t_{0})=y_{0}.$

Здесь компоненты матричного отображения $A\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{n\times n}$ и неоднородности $b\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{n}$ предполагаются интегрируемыми на любом конечном интервале. Тогда правая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условиям Каратеодори и существует единственное решение начальной задачи.

См. также

• Теорема Пикара – Линделёфа
• Теорема Коши – Ковалевского.

Ссылки

• Коддингтон, граф А.; Левинсон, Норман (1955), Теория обыкновенных дифференциальных уравнений , Нью-Йорк: McGraw-Hill .
• Хейл, Джек К. (1980), Обыкновенные дифференциальные уравнения (2-е изд.), Малабар: Издательство Роберта Э. Кригера , ISBN  0-89874-011-8 .
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN  978-0-07-054234-1 , МР   0924157 .