Автономная система (математика)

Диаграмма устойчивости, классифицирующая карты Пуанкаре линейной автономной системы $x'=Ax,$ как стабильные или нестабильные в зависимости от их особенностей. Стабильность обычно увеличивается слева от диаграммы. Некоторые сток, источник или узел являются точками равновесия .

Двумерный случай относится к фазовой плоскости .

В математике автономная система или автономное дифференциальное уравнение — это система обыкновенных дифференциальных уравнений , которая явно не зависит от независимой переменной . Когда переменной является время, их также называют стационарными системами .

Многие законы физики , где независимой переменной обычно считается время , выражаются как автономные системы, поскольку предполагается, что законы природы , действующие сейчас, идентичны законам для любого момента в прошлом или будущем.

Определение

Автономная система — это система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

$${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))$$

где x принимает значения в n -мерном евклидовом пространстве ; t часто интерпретируется как время.

Его отличают от систем дифференциальных уравнений вида

$${\frac {d}{dt}}x(t)=g(x(t),t)$$

в котором закон, управляющий эволюцией системы, зависит не только от текущего состояния системы, но и от параметра t , который опять же часто интерпретируется как время; такие системы по определению не являются автономными.

Свойства

Решения инвариантны относительно горизонтальных сдвигов:

Позволять $x_{1}(t)$ быть единственным решением начальной задачи для автономной системы

$${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(0)=x_{0}.$$

Затем $x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})$ решает

$${\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\,,\quad x(t_{0})=x_{0}.$$

Обозначая $s=t-t_{0}$ получает $x_{1}(s)=x_{2}(t)$ и $ds=dt$, таким образом

$${\frac {d}{dt}}x_{2}(t)={\frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={\frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t)).$$

Для начального условия проверка тривиальна:

$$x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}.$$

Пример

Уравнение $y'=\left(2-y\right)y$ является автономным, поскольку независимая переменная ( $x$) не появляется в уравнении явно. Чтобы построить поле наклона и изоклину для этого уравнения, можно использовать следующий код в GNU Octave / MATLAB.

Ffun = @(X, Y)(2 - Y) .* Y; % function f(x,y)=(2-y)y
[X, Y] = meshgrid(0:.2:6, -1:.2:3); % choose the plot sizes
DY = Ffun(X, Y); DX = ones(size(DY)); % generate the plot values
quiver(X, Y, DX, DY, 'k'); % plot the direction field in black
hold on;
contour(X, Y, DY, [0 1 2], 'g'); % add the isoclines(0 1 2) in green
title('Slope field and isoclines for f(x,y)=(2-y)y')

Из графика видно, что функция $\left(2-y\right)y$ является $x$-инвариант, как и форма решения, т.е. $y(x)=y(x-x_{0})$ на любую смену $x_{0}$.

Символическое решение уравнения в MATLAB , запустив

syms y(x);
equation = (diff(y) == (2 - y) * y);
% solve the equation for a general solution symbolically
y_general = dsolve(equation);

получает два равновесных решения, $y=0$ и $y=2$и третье решение, включающее неизвестную константу $C_{3}$, -2 / (exp(C3 - 2 * x) - 1).

Подобрав для начального условия какие-то конкретные значения , можно сложить графики нескольких решений.

Поле уклонов с изоклинами и решениями

% solve the initial value problem symbolically
% for different initial conditions
y1 = dsolve(equation, y(1) == 1); y2 = dsolve(equation, y(2) == 1);
y3 = dsolve(equation, y(3) == 1); y4 = dsolve(equation, y(1) == 3);
y5 = dsolve(equation, y(2) == 3); y6 = dsolve(equation, y(3) == 3);
% plot the solutions
ezplot(y1, [0 6]); ezplot(y2, [0 6]); ezplot(y3, [0 6]);
ezplot(y4, [0 6]); ezplot(y5, [0 6]); ezplot(y6, [0 6]);
title('Slope field, isoclines and solutions for f(x,y)=(2-y)y')
legend('Slope field', 'Isoclines', 'Solutions y_{1..6}');
text([1 2 3], [1 1 1], strcat('\leftarrow', {'y_1', 'y_2', 'y_3'}));
text([1 2 3], [3 3 3], strcat('\leftarrow', {'y_4', 'y_5', 'y_6'}));
grid on;

анализ

Автономные системы можно качественно анализировать с использованием фазового пространства ; в случае с одной переменной это фазовая линия .

Методы решения

Следующие методы применимы к одномерным автономным дифференциальным уравнениям. Любое одномерное уравнение порядка $n$ эквивалентно $n$-мерная система первого порядка (как описано при приведении к системе первого порядка ), но не обязательно наоборот.

Первый заказ

Автономное уравнение первого порядка

$${\frac {dx}{dt}}=f(x)$$

разделима , поэтому ее можно решить , приведя ее к целочисленному виду

$$t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}$$

Второй заказ

Автономное уравнение второго порядка

$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')$$

сложнее, но решаемо путем введения новой переменной

$$v={\frac {dx}{dt}}$$

и выражая вторую производную от $x$ через правило цепочки как

$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}$$

так что исходное уравнение принимает вид

$$v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)$$

которое представляет собой уравнение первого порядка, не содержащее ссылки на независимую переменную $t$. Решение обеспечивает $v$ как функция $x$. Тогда, вспомнив определение $v$:

$${\frac {dx}{dt}}=v(x)\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}$$

что является неявным решением.

Особый случай: x ″ = f ( x )

Особый случай, когда $f$ не зависит от $x'$

$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x)$$

выгоды от отдельного лечения. Уравнения такого типа очень распространены в классической механике , поскольку они всегда являются гамильтоновыми системами .

Идея состоит в том, чтобы использовать идентичность

$${\frac {dx}{dt}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}$$

что следует из правила цепочки , исключающего любые проблемы, связанные с делением на ноль .

Инвертируя обе стороны автономной системы первого порядка, можно сразу интегрировать по отношению к $x$:

$${\frac {dx}{dt}}=f(x)\quad \Rightarrow \quad {\frac {dt}{dx}}={\frac {1}{f(x)}}\quad \Rightarrow \quad t+C=\int {\frac {dx}{f(x)}}$$

это еще один способ рассмотреть технику разделения переменных. Вторая производная должна быть выражена как производная по $x$ вместо $t$:

$${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dt}}\right){\frac {dx}{dt}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left(\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\right)\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}\\[4pt]&=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}=-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}\\[4pt]&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)\end{aligned}}$$

Еще раз подчеркну: удалось добиться того, что вторая производная по $t$ было выражено как производное от $x$. Исходное уравнение второго порядка теперь можно проинтегрировать:

$${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=f(x)\\{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}\right)&=f(x)\\\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-2}&=2\int f(x)dx+C_{1}\\{\frac {dt}{dx}}&=\pm {\frac {1}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\\t+C_{2}&=\pm \int {\frac {dx}{\sqrt {2\int f(x)dx+C_{1}}}}\end{aligned}}$$

Это неявное решение. Самая большая потенциальная проблема — это неспособность упростить интегралы, что подразумевает сложность или невозможность вычисления констант интегрирования.

Особый случай: x ″ = x ′ ^н ж ( х )

Используя описанный выше подход, эту технику можно распространить на более общее уравнение

$${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{n}f(x)$$

где $n$ какой-то параметр, не равный двум. Это сработает, поскольку вторую производную можно записать в форме, включающей степень $x'$. Переписав вторую производную, переставив ее и выразив левую часть как производную:

$${\begin{aligned}&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-n}f(x)\\[4pt]&-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-3}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}=f(x)\\[4pt]&{\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{2-n}}\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}\right)=f(x)\\[4pt]&\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{n-2}=(2-n)\int f(x)dx+C_{1}\\[2pt]&t+C_{2}=\int \left((2-n)\int f(x)dx+C_{1}\right)^{\frac {1}{n-2}}dx\end{aligned}}$$

Правая будет нести +/-, если $n$ четный. Лечение должно быть другим, если $n=2$:

$${\begin{aligned}-\left({\frac {dt}{dx}}\right)^{-1}{\frac {d^{2}t}{dx^{2}}}&=f(x)\\-{\frac {d}{dx}}\left(\ln \left({\frac {dt}{dx}}\right)\right)&=f(x)\\{\frac {dt}{dx}}&=C_{1}e^{-\int f(x)dx}\\t+C_{2}&=C_{1}\int e^{-\int f(x)dx}dx\end{aligned}}$$

Высшие чины

Аналогичного метода решения автономных уравнений третьего и более высокого порядка не существует. Такие уравнения можно решить точно только в том случае, если они обладают каким-либо другим упрощающим свойством, например линейностью или зависимостью правой части уравнения только от зависимой переменной. (т.е. не его производные). Это не должно вызывать удивления, учитывая, что нелинейные автономные системы в трех измерениях могут производить действительно хаотическое поведение, такое как аттрактор Лоренца и аттрактор Ресслера .

Аналогично, общие неавтономные уравнения второго порядка неразрешимы в явном виде, поскольку они также могут быть хаотическими, как в периодически вынужденном маятнике.

Многомерный случай

Основная статья: Матричное дифференциальное уравнение

В $\mathbf {x} '(t)=A\mathbf {x} (t)$, где $\mathbf {x} (t)$ это $n$-мерный вектор-столбец, зависящий от $t$.

Решение $\mathbf {x} (t)=e^{At}\mathbf {c}$ где $\mathbf {c}$ это $n\times 1$ постоянный вектор.

Конечная продолжительность

Для нелинейных автономных ОДУ при некоторых условиях возможно разработать решения конечной длительности: Здесь имеется в виду, что в силу своей собственной динамики система достигнет нулевого значения в конечный момент времени и после этого останется в этом нулевом значении навсегда. Эти решения конечной длительности не могут быть аналитическими функциями на всей действительной прямой, и поскольку в конечный момент времени они будут нелипшицевыми функциями, они не сохраняют уникальность решений липшицевых дифференциальных уравнений.

Например, уравнение:

$y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1$

Допускает решение конечной длительности:

$y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}$

См. также

• Неавтономная система (математика)