Фазовая плоскость

В прикладной математике , в частности в контексте анализа нелинейных систем , фазовая плоскость представляет собой визуальное отображение определенных характеристик определенных видов дифференциальных уравнений ; координатная плоскость, оси которой являются значениями двух переменных состояния, скажем ( x , y ) или ( q , p ) и т. д. (любая пара переменных). Это двумерный случай общего n -мерного фазового пространства .

Метод фазовой плоскости подразумевает графическое определение существования предельных циклов в решениях дифференциального уравнения.

Решения дифференциального уравнения представляют собой семейство функций . Графически это можно изобразить на фазовой плоскости как двумерное векторное поле . векторы, представляющие производные точек по параметру (скажем, времени t ), то есть ( dx / dt , dy / dt Рисуются ), в репрезентативных точках. При наличии достаточного количества этих стрелок можно визуализировать поведение системы в анализируемых областях плоскости и предельные циклы легко идентифицировать .

Все поле представляет собой фазовый портрет , конкретный путь, пройденный вдоль линии потока (т.е. путь, всегда касающийся векторов), является фазовым путем . Потоки в векторном поле указывают на эволюцию во времени системы, которую описывает дифференциальное уравнение.

Таким образом, фазовые плоскости полезны для визуализации поведения физических систем ; в частности, колебательных систем, таких как модели хищник-жертва (см. уравнения Лотки – Вольтерра ). В этих моделях фазовые пути могут «закручиваться» к нулю, «выходить» по спирали к бесконечности или достигать нейтрально устойчивых ситуаций, называемых центрами, где прослеживаемый путь может быть круговым, эллиптическим, яйцевидным или каким-либо их вариантом. Это полезно для определения того, стабильна ли динамика или нет. ^[1]

Другими примерами колебательных систем являются определенные химические реакции с несколькими стадиями, некоторые из которых включают в себя динамическое равновесие, а не реакции, доходящие до завершения. В таких случаях можно смоделировать рост и падение концентрации реагента и продукта (или массы, или количества вещества) с помощью правильных дифференциальных уравнений и хорошего понимания химической кинетики . ^[2]

Пример линейной системы

Двумерную систему линейных дифференциальных уравнений можно записать в виде: ^[1]

{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=Ax+By\\{\frac {dy}{dt}}&=Cx+Dy\end{aligned}}

которое можно представить в виде матричного уравнения:

{\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {A} \mathbf {v} .\end{aligned}}

где A 2 × 2, — матрица коэффициентов указанная выше, а v = ( x , y ) — координатный вектор двух независимых переменных .

Такие системы можно решить аналитически, в данном случае путем интегрирования: ^[3]

${\frac {dy}{dx}}={\frac {Cx+Dy}{Ax+By}}$

хотя решения являются неявными функциями от x и y и их трудно интерпретировать. ^[1]

Решение с использованием собственных значений

Чаще всего они решаются с помощью коэффициентов правой части, записанных в матричной форме с использованием собственных значений λ , заданных определителем :

\det \left({\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}-\lambda \mathbf {I} \right)=0

и собственные векторы :

{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}

Собственные значения представляют собой степени экспоненциальных составляющих, а собственные векторы являются коэффициентами. Если решения записаны в алгебраической форме, они выражают фундаментальный мультипликативный множитель экспоненциального члена. Из-за неединственности собственных векторов каждое полученное таким образом решение имеет неопределенные константы c ₁ , c ₂ , …, c _n .

Общее решение:

x={\begin{bmatrix}k_{1}\\k_{2}\end{bmatrix}}c_{1}e^{\lambda _{1}t}+{\begin{bmatrix}k_{3}\\k_{4}\end{bmatrix}}c_{2}e^{\lambda _{2}t}.

где λ ₁ и λ ₂ — собственные значения, а ( k ₁ , k ₂ ), ( k ₃ , k ₄ ) — основные собственные векторы. Константы c ₁ и c ₂ объясняют неединственность собственных векторов и не разрешимы, если для системы не задано начальное условие.

Приведенный выше определитель приводит к характеристическому многочлену :

\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +(AD-BC)=0

что представляет собой просто квадратное уравнение вида:

\lambda ^{2}-p\lambda +q=0

где $p=A+D=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\,,$ («tr» обозначает трассировку ) и $q=AD-BC=\det(\mathbf {A} )\,.$

Явное решение собственных значений тогда дается квадратичной формулой :

\lambda ={\frac {1}{2}}(p\pm {\sqrt {\Delta }})\,

где $\Delta =p^{2}-4q\,.$

Собственные векторы и узлы

Собственные векторы и узлы определяют профиль фазовых путей, обеспечивая наглядную интерпретацию решения динамической системы, как показано ниже.

Затем сначала настраивается фазовая плоскость путем рисования прямых линий, представляющих два собственных вектора (которые представляют собой устойчивые ситуации, когда система либо сходится к этим линиям, либо расходится от них). Затем фазовая плоскость строится с использованием сплошных линий вместо штрихов поля направлений. Знаки собственных значений указывают на поведение фазовой плоскости:

Если знаки противоположны, то пересечение собственных векторов является седловой точкой .
Если оба знака положительны, собственные векторы представляют собой устойчивые ситуации, от которых система расходится, а пересечение представляет собой нестабильный узел .
Если оба знака отрицательны, собственные векторы представляют собой устойчивые ситуации, к которым сходится система, а пересечение представляет собой устойчивый узел .

Вышеупомянутое можно визуализировать, вспомнив поведение экспоненциальных членов в решениях дифференциальных уравнений.

Повторяющиеся собственные значения

Этот пример охватывает только случай реальных отдельных собственных значений. Реальные, повторяющиеся собственные значения требуют решения матрицы коэффициентов с неизвестным вектором и первым собственным вектором, чтобы сгенерировать второе решение системы два на два. Однако, если матрица симметрична, можно использовать ортогональный собственный вектор для генерации второго решения.

Комплексные собственные значения

Комплексные собственные значения и собственные векторы генерируют решения в форме синусов и косинусов , а также экспонент. Одна из простот в этой ситуации заключается в том, что для генерации полного набора решений системы требуется только одно из собственных значений и один из собственных векторов.

См. также

Фазовая линия , одномерный случай
Фазовое пространство , n -мерный случай
Фазовый портрет

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Д.В. Джордан; П. Смит (2007). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения: Введение для ученых и инженеров (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-920825-8 .
^ КТ Аллигуд; ТД Зауэр; Дж. А. Йорк (1996). Хаос: введение в динамические системы . Спрингер. ISBN 978-0-38794-677-1 .
^ МЫ Бойс; РЦ Диприма (1986). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (4-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-83824-1 .

Внешние ссылки

[Jordan,_Smith-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Д.В. Джордан; П. Смит (2007). Нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения: Введение для ученых и инженеров (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-920825-8 .

[2] КТ Аллигуд; ТД Зауэр; Дж. А. Йорк (1996). Хаос: введение в динамические системы . Спрингер. ISBN 978-0-38794-677-1 .

[3] МЫ Бойс; РЦ Диприма (1986). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (4-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-83824-1 .

[1]

[2]

[3]