Экспоненциальная стабильность

В теории управления непрерывная линейная нестационарная система (LTI) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда система имеет собственные значения (т. е. полюсы систем ввода-вывода) со строго отрицательными вещественными частями (т. е. в левой половине комплексной плоскости ). Система LTI с дискретным временем ввода-вывода экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда полюса ее передаточной функции лежат строго внутри единичного круга с центром в начале комплексной плоскости. Системы, которые не являются LTI, являются экспоненциально устойчивыми, если их сходимость ограничена экспоненциальным затуханием .Экспоненциальная устойчивость — это форма асимптотической устойчивости , справедливая для более общих динамических систем .

последствия

Экспоненциально стабильная система LTI — это система, которая не «взорвется» (т. е. не даст неограниченный выходной сигнал) при наличии конечных входных данных или ненулевых начальных условий. Более того, если системе задан фиксированный конечный входной сигнал (т. е. шаг ), то любые результирующие колебания выходного сигнала будут затухать с экспоненциальной скоростью , а выходной сигнал будет асимптотически стремиться к новому окончательному, установившемуся значению. Если вместо этого в систему подается дельта-импульс Дирака в качестве входных данных, то индуцированные колебания затухнут, и система вернется к своему предыдущему значению. Если колебания не затухают или система не возвращается к исходному выходному сигналу при подаче импульса, система, напротив, является минимально стабильной .

стабильной системы

Импульсные характеристики двух экспоненциально устойчивых систем

На графике справа показан импульсный отклик двух похожих систем. Зеленая кривая — реакция системы с импульсной характеристикой. $y(t)=e^{-{\frac {t}{5}}}$, а синий цвет представляет систему $y(t)=e^{-{\frac {t}{5}}}\sin(t)$. Хотя один ответ является колебательным, оба со временем возвращаются к исходному значению 0.

Реальный пример

Представьте себе, что вы кладете шарик в ковш. Он осядет в самой нижней точке ковша и останется там, если его не потревожить. Теперь представьте, что вы толкаете мяч, что является приближением к дельта-импульсу Дирака . Мрамор будет кататься взад и вперед, но в конечном итоге осядет на дно ковша. Если нарисовать горизонтальное положение мрамора с течением времени, получится постепенно уменьшающаяся синусоида, похожая на синюю кривую на изображении выше.

Ступенчатый ввод в этом случае требует поддержки мрамора от дна ковша, чтобы он не мог скатиться назад. Он останется в том же положении и не будет, как это было бы в случае, если бы система была лишь незначительно устойчивой или полностью нестабильной, продолжать удаляться от дна ковша под действием этой постоянной силы, равной ее весу.

Важно отметить, что в этом примере система не стабильна для всех входов. Дайте мрамору достаточно сильный толчок, и он выпадет из ковша и упадет, остановившись только тогда, когда достигнет пола. Поэтому для некоторых систем уместно утверждать, что система экспоненциально устойчива в определенном диапазоне входных данных .

См. также

• Предельная стабильность
• Теория управления
• Пространство состояний (управление)

Внешние ссылки

• Оценка параметров и асимптотическая устойчивость стохастической фильтрации , Анастасия Папавасилиу∗28 сентября 2004 г.