Предельная стабильность

В теории динамических систем и теории управления линейная , стационарная система называется маргинально устойчивой, если она не является ни асимптотически устойчивой ни неустойчивой . Грубо говоря, система стабильна, если она всегда возвращается в определенное состояние (называемое устойчивым состоянием ) и остается вблизи него, и нестабильна, если она уходит все дальше и дальше от любого состояния, не будучи ограниченной. Маргинальная система, иногда называемая нейтральной стабильностью, находится между этими двумя типами: при смещении он не возвращается почти к обычному устойчивому состоянию и не уходит от того места, где начал, без ограничений.

Предельная устойчивость, как и нестабильность, — это особенность, которую теория контроля стремится избежать; мы хотим, чтобы при воздействии какой-либо внешней силы система вернулась в желаемое состояние. Это обуславливает необходимость использования соответствующим образом разработанных алгоритмов управления.

В эконометрике наличие единичного корня в наблюдаемых временных рядах , что делает их незначительно стабильными, может привести к неверным результатам регрессии относительно влияния независимых переменных на зависимую переменную , если только не используются соответствующие методы для преобразования системы в стабильную систему.

Непрерывное время

Однородная непрерывная тогда и линейная нестационарная система является маргинально устойчивой только тогда, когда действительная часть каждого полюса ( собственное значение системы передаточной функции неположительна ) в , один или несколько полюсов имеют нулевую действительную часть, и все полюсы с нулевой действительной частью часть являются простыми корнями (т.е. все полюса мнимой оси отличны друг от друга). Напротив, если все полюса имеют строго отрицательные действительные части, система становится асимптотически устойчивой. Если система не является ни стабильной, ни маргинально стабильной, она неустойчива.

Если система находится в представлении в пространстве состояний , предельную устойчивость можно проанализировать, выведя жордановую нормальную форму : тогда и только тогда, когда жордановые блоки, соответствующие полюсам с нулевой вещественной частью, являются скалярными, система является маргинально устойчивой.

Дискретное время

Однородная линейная во времени инвариантная система с дискретным временем является маргинально устойчивой тогда и только тогда, когда наибольшая величина любого из полюсов (собственных значений) передаточной функции равна 1, а все полюса с величиной, равной 1, различны. передаточной функции То есть спектральный радиус равен 1. Если спектральный радиус меньше 1, система асимптотически устойчива.

Простой пример включает в себя одно линейное разностное уравнение первого порядка : предположим, что переменная состояния x развивается согласно

$x_{t}=ax_{t-1}$

с параметром a > 0. Если система возмущена до значения $x_{0},$ его последующая последовательность значений равна $ax_{0},\,a^{2}x_{0},\,a^{3}x_{0},\,\dots .$ Если a < 1, эти числа становятся все ближе и ближе к 0 независимо от начального значения. $x_{0},$ а если a > 1, числа становятся все больше и больше без ограничений. Но если a = 1, числа не делают ни того, ни другого: вместо этого все будущие значения x равны значению $x_{0}.$ Таким образом, случай a = 1 демонстрирует предельную устойчивость.

Ответ системы

Маргинально стабильная система — это система, которая, если на входе дать импульс конечной величины, не «взорвется» и не даст неограниченного выхода, но и выход не вернется к нулю. Ограниченное смещение или колебания выходного сигнала будут сохраняться неопределенно долго, поэтому, как правило, окончательного установившегося выходного сигнала не будет. Если в непрерывную систему подается входной сигнал с частотой, равной частоте полюса с нулевой реальной частью, выходная мощность системы будет увеличиваться бесконечно (это называется чистым резонансом). ). Это объясняет, почему для того, чтобы система была BIBO-стабильной , действительные части полюсов должны быть строго отрицательными (а не просто неположительными).

Непрерывная система, имеющая мнимые полюса, т.е. имеющая нулевую действительную часть в полюсе(ах), будет производить устойчивые колебания выходного сигнала. Например, недемпфированная система второго порядка, такая как система подвески в автомобиле ( система масса-пружина-амортизатор ), из которой демпфер удален и пружина идеальна, т. е. отсутствует трение, теоретически будет колебаться вечно. однажды потревожил. Другой пример — маятник без трения . Система с полюсом в начале координат также является минимально устойчивой, но в этом случае колебаний отклика не будет, поскольку мнимая часть также равна нулю ( jw = 0 означает w = 0 рад/сек). Примером такой системы является масса на поверхности с трением. При приложении бокового импульса масса будет двигаться и никогда не вернется к нулю. Однако масса остановится из-за трения, и боковое движение останется ограниченным.

Поскольку для того, чтобы система была предельно устойчивой, положения крайних полюсов должны находиться точно на воображаемой оси или единичном круге (соответственно для систем с непрерывным и дискретным временем), такая ситуация вряд ли возникнет на практике, если только предельная устойчивость не является неотъемлемой теоретической предпосылкой. особенность системы.

Стохастическая динамика

Предельная устойчивость также является важной концепцией в контексте стохастической динамики . Например, некоторые процессы могут следовать случайному блужданию , заданному в дискретном времени как

$x_{t}=x_{t-1}+e_{t},$

где $e_{t}$ это IID термин ошибки . Это уравнение имеет единичный корень (значение 1 для собственного значения его характеристического уравнения ) и, следовательно, демонстрирует предельную устойчивость, поэтому временных рядов при эмпирическом моделировании системы, содержащей такое уравнение, необходимо использовать специальные методы .

Маргинально устойчивые марковские процессы — это те, которые обладают нулевыми рекуррентными классами.

См. также

• Ляпуновская устойчивость
• Экспоненциальная стабильность