Спектральный радиус

В математике спектральный радиус — квадратной матрицы это максимальное из абсолютных значений ее собственных значений . ^[1] В более общем смысле, спектральный радиус ограниченного линейного оператора — это верхняя грань абсолютных значений элементов его спектра . Спектральный радиус часто обозначается $ρ(\cdot)$ .

Определение

Матрицы

Пусть $λ 1, ..., λ n$ — собственные значения матрицы $A \in C n \times n$ . Спектральный радиус $A$ определяется как

\rho (A)=\max \left\{|\lambda _{1}|,\dotsc ,|\lambda _{n}|\right\}.

Спектральный радиус можно рассматривать как нижнюю границу всех норм матрицы. Действительно, с одной стороны, $\rho (A)\leqslant \|A\|$ для каждой натуральной матричной нормы $\|\cdot \|$ ; а с другой стороны, формула Гельфанда утверждает, что $\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{1/k}$ . Оба этих результата показаны ниже.

Однако спектральный радиус не обязательно удовлетворяет $\|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|$ для произвольных векторов $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ . Чтобы понять, почему, позвольте $r>1$ быть произвольным и рассмотрим матрицу

C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}

.

Характеристический полином $C_{r}$ является $\lambda ^{2}-1$ , поэтому его собственные значения равны $\{-1,1\}$ и таким образом $\rho (C_{r})=1$ . Однако, $C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}$ . Как результат,

\|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|.

В качестве иллюстрации формулы Гельфанда отметим, что $\|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1$ как $k\to \infty$ , с $C_{r}^{k}=I$ если $k$ четный и $C_{r}^{k}=C_{r}$ если $k$ странно.

Особый случай, в котором $\|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|\mathbf {v} \|$ для всех $\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}$ это когда $A$ является эрмитовой матрицей и $\|\cdot \|$ является евклидовой нормой . Это связано с тем, что любая эрмитова матрица диагонализуется унитарной матрицей , а унитарные матрицы сохраняют длину вектора. Как результат,

\|A\mathbf {v} \|=\|U^{*}DU\mathbf {v} \|=\|DU\mathbf {v} \|\leqslant \rho (A)\|U\mathbf {v} \|=\rho (A)\|\mathbf {v} \|.

Ограниченные линейные операторы

В контексте ограниченного линейного оператора $A$ в банаховом пространстве собственные значения необходимо заменить элементами спектра оператора , т.е. значениями $\lambda$ для чего $A-\lambda I$ не является биективным. Обозначим спектр через

\sigma (A)=\left\{\lambda \in \mathbb {C} :A-\lambda I\;{\text{is not bijective}}\right\}

Спектральный радиус тогда определяется как верхняя граница величин элементов спектра:

\rho (A)=\sup _{\lambda \in \sigma (A)}|\lambda |

Формула Гельфанда, также известная как формула спектрального радиуса, справедлива и для ограниченных линейных операторов: полагая $\|\cdot \|$ обозначим операторную норму , имеем

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}=\inf _{k\in \mathbb {N} ^{*}}\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.

Ограниченный оператор (в комплексном гильбертовом пространстве) называется спектроидным оператором, если его спектральный радиус совпадает с его числовым радиусом . Примером такого оператора является обычный оператор .

Графики

Спектральный радиус конечного графа определяется как спектральный радиус его матрицы смежности .

Это определение распространяется на случай бесконечных графов с ограниченными степенями вершин (т.е. существует некоторое действительное число $C$ такое, что степень каждой вершины графа меньше $C$ ). В этом случае для графа $G$ определим:

\ell ^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf {R} \ :\ \sum \nolimits _{v\in V(G)}\left\|f(v)^{2}\right\|<\infty \right\}.

Пусть $γ$ — оператор смежности группы $G$ :

{\begin{cases}\gamma :\ell ^{2}(G)\to \ell ^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u,v)\in E(G)}f(u)\end{cases}}

Спектральный радиус $G$ определяется как спектральный радиус ограниченного линейного оператора $γ$ .

Верхние границы

Верхние оценки спектрального радиуса матрицы

Следующее предложение дает простые, но полезные верхние оценки спектрального радиуса матрицы.

Предложение. Пусть $A \in C n \times n$ со спектральным радиусом $ρ (A)$ и согласованной матричной нормой $||\cdot||$ . Тогда для каждого целого числа $k\geqslant 1$ :

\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.

Доказательство

Пусть $(v, λ) —$ собственный вектор - собственное значение матрицы A. пара Учитывая субмультипликативность матричной нормы, получаем:

|\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda ^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \|\leq \|A^{k}\|\cdot \|\mathbf {v} \|.

Поскольку $v \neq 0$ , мы имеем

|\lambda |^{k}\leq \|A^{k}\|

и поэтому

\rho (A)\leq \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.

завершая доказательство.

Верхние оценки спектрального радиуса графа

Существует множество верхних оценок спектрального радиуса графа, выраженного количеством вершин n и количеством m ребер . Например, если

{\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq m-n\leq {\frac {k(k-3)}{2}}

где $3\leq k\leq n$ является целым числом, то ^[2]

\rho (G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}}}

Последовательность мощности

Спектральный радиус тесно связан с поведением сходимости степенной последовательности матрицы; а именно, как показывает следующая теорема.

Теорема. Пусть $A \in C n \times n$ со спектральным радиусом $ρ (A)$ . Тогда $ρ (A) < 1$ тогда и только тогда, когда

\lim _{k\to \infty }A^{k}=0.

С другой стороны, если $ρ (A) > 1$ , $\lim _{k\to \infty }\|A^{k}\|=\infty$ . Утверждение справедливо для любого выбора матричной нормы на $C n \times n$ .

Доказательство

Предположим, что $A^{k}$ стремится к нулю, так как $k$ уходит в бесконечность. Мы покажем, что $ρ (A) < 1$ . Пусть $(v, λ) —$ собственный вектор - собственное значение для A. пара Поскольку $А к v = λ к в$ ., у нас есть

{\begin{aligned}0&=\left(\lim _{k\to \infty }A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim _{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v} \lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}\end{aligned}}

Поскольку $v \neq 0$ по условию, мы должны иметь

\lim _{k\to \infty }\lambda ^{k}=0,

что подразумевает $|\lambda |<1$ . Поскольку это должно быть верно для любого собственного значения $\lambda$ , мы можем заключить, что $ρ (A) < 1$ .

Теперь предположим, что радиус $A$ меньше $1$ . Из теоремы Жордана о нормальной форме мы знаем, что для всех $A \in C n \times n$ , существуют $V, J \in C n \times n$ с $V$ неособым $и блочной диагональю J$ , такими что:

A=VJV^{-1}

с

J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}

где

J_{m_{i}}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda _{i}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf {C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.

Это легко увидеть

A^{k}=VJ^{k}V^{-1}

и, поскольку $J$ блочно-диагональный,

J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda _{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k}(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda _{s})\end{bmatrix}}

Теперь стандартный результат о $k$ -степени $m_{i}\times m_{i}$ Блок Джордана утверждает, что для $k\geq m_{i}-1$ :

J_{m_{i}}^{k}(\lambda _{i})={\begin{bmatrix}\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda _{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda _{i}^{k-m_{i}+1}\\0&\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_{i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda _{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda _{i}^{k}\end{bmatrix}}

Таким образом, если $\rho (A)<1$ тогда для всех $я$ $|\lambda _{i}|<1$ . Следовательно, для всех $i$ мы имеем:

\lim _{k\to \infty }J_{m_{i}}^{k}=0

что подразумевает

\lim _{k\to \infty }J^{k}=0.

Поэтому,

\lim _{k\to \infty }A^{k}=\lim _{k\to \infty }VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim _{k\to \infty }J^{k}\right)V^{-1}=0

С другой стороны, если $\rho (A)>1$ , существует хотя бы один элемент в $J$ , который не остается ограниченным при $увеличении k$ , тем самым доказывая вторую часть утверждения.

Формула Гельфанда

Формула Гельфанда, названная в честь Израиля Гельфанда , дает спектральный радиус как предел матричных норм.

Теорема

Для любой матричной нормы $||\cdot||$ имеем ^[3]

\rho (A)=\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}

.

Более того, в случае согласованной матричной нормы $\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}$ подходы $\rho (A)$ сверху (действительно, в таком случае $\rho (A)\leq \left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}$ для всех $k$ ).

Доказательство

Для любого $ε > 0$ определим две следующие матрицы:

A_{\pm }={\frac {1}{\rho (A)\pm \varepsilon }}A.

Таким образом,

\rho \left(A_{\pm }\right)={\frac {\rho (A)}{\rho (A)\pm \varepsilon }},\qquad \rho (A_{+})<1<\rho (A_{-}).

Начнем с применения предыдущей теоремы о пределах степенных последовательностей к $A +$ :

\lim _{k\to \infty }A_{+}^{k}=0.

Это показывает существование $N + \in N$ такого, что для $k \geq N +$ всех

\left\|A_{+}^{k}\right\|<1.

Поэтому,

\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .

Аналогично, из теоремы о степенных последовательностях следует, что $\|A_{-}^{k}\|$ не ограничен и что существует $N - \in N$ такое, что для всех k ≥ N ₋ ,

\left\|A_{-}^{k}\right\|>1.

Поэтому,

\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho (A)-\varepsilon .

Пусть $N = max{N +, N -$ }. Затем,

\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbf {N} \quad \forall k\geq N\quad \rho (A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon ,

то есть,

\lim _{k\to \infty }\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).

На этом доказательство завершается.

Следствие

Формула Гельфанда дает оценку спектрального радиуса произведения коммутирующих матриц: если $A_{1},\ldots ,A_{n}$ являются матрицами, которые все коммутируют, тогда

\rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).

Численный пример

Рассмотрим матрицу

A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}

чьи собственные значения равны $5, 10, 10$ ; по определению $ρ (A) = 10$ . В следующей таблице значения $\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}$ для четырех наиболее часто используемых норм приведены сравнения с несколькими возрастающими значениями k (заметим, что из-за особого вида этой матрицы $\|.\|_{1}=\|.\|_{\infty }$ ):

к	$\\|\cdot \\|_{1}=\\|\cdot \\|_{\infty }$	$\\|\cdot \\|_{F}$	$\\|\cdot \\|_{2}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

Примечания и ссылки

^ Градштейн, И.С. (1980). Таблица интегралов, рядов и произведений . И.М. Рыжик, Алан Джеффри (корр. и англ. ред.). Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 0-12-294760-6 . OCLC 5892996 .
^ Го, Цзи-Мин; Ван, Чжи-Вэнь; Ли, Синь (2019). «Точные верхние границы спектрального радиуса графа» . Дискретная математика . 342 (9): 2559–2563. дои : 10.1016/j.disc.2019.05.017 . S2CID 198169497 .
^ Формула справедлива для любой банаховой алгебры ; см. лемму IX.1.8 в Dunford & Schwartz 1963 и Lax 2002 , стр. 195–197.

Библиография

Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб (1963), Линейные операторы II. Спектральная теория: самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве , Interscience Publishers, Inc.
Лакс, Питер Д. (2002), Функциональный анализ , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1

См. также

Спектральный разрыв
Совместный спектральный радиус представляет собой обобщение спектрального радиуса на наборы матриц.
Спектр матрицы
Спектральная абсцисса

[1] Градштейн, И.С. (1980). Таблица интегралов, рядов и произведений . И.М. Рыжик, Алан Джеффри (корр. и англ. ред.). Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 0-12-294760-6 . OCLC 5892996 .

[2] Го, Цзи-Мин; Ван, Чжи-Вэнь; Ли, Синь (2019). «Точные верхние границы спектрального радиуса графа» . Дискретная математика . 342 (9): 2559–2563. дои : 10.1016/j.disc.2019.05.017 . S2CID 198169497 .

[3] Формула справедлива для любой банаховой алгебры ; см. лемму IX.1.8 в Dunford & Schwartz 1963 и Lax 2002 , стр. 195–197.

[1]

[2]

[3]

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem