Обычный элемент

В математике элемент если называется *-алгебры нормальным , он коммутирует со своим сопряженным.

Определение

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть *-алгеброй. Элемент $a\in {\mathcal {A}}$ называется нормальным, если он коммутирует с $a^{*}$, т. е. удовлетворяет уравнению $aa^{*}=a^{*}a$.

Множество нормальных элементов обозначается ${\mathcal {A}}_{N}$ или $N({\mathcal {A}})$.

Особым случаем, имеющим особое значение, является случай, когда ${\mathcal {A}}$ — полная нормированная *-алгебра , удовлетворяющая C*-тождеству ( $\left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}$), которая называется C*-алгеброй .

Примеры

• Каждый самосопряженный элемент *-алгебры является нормальным.
• Каждый унитарный элемент *-алгебры нормален.
• Если ${\mathcal {A}}$ является C*-алгеброй и $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ нормальный элемент, то для каждой непрерывной функции $f$ по спектру ​ $a$ непрерывное функциональное исчисление определяет еще один нормальный элемент $f(a)$.

Критерии

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть *-алгеброй. Затем:

• Элемент $a\in {\mathcal {A}}$ нормальна тогда и только тогда, когда *-подалгебра , порожденная $a$, что означает наименьшую *-алгебру, содержащую $a$, является коммутативным.
• Каждый элемент $a\in {\mathcal {A}}$ однозначно разлагается на действительную и мнимую часть , а это значит, что существуют самосопряженные элементы $a_{1},a_{2}\in {\mathcal {A}}_{sa}$, такой, что $a=a_{1}+\mathrm {i} a_{2}$, где $\mathrm {i}$ обозначает мнимую единицу . Именно тогда $a$ это нормально, если $a_{1}a_{2}=a_{2}a_{1}$, т.е. действительная и мнимая части коммутируют.

Характеристики

В *-алгебрах

Позволять $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ быть нормальным элементом *-алгебры ${\mathcal {A}}$. Затем:

• Сопряженный элемент $a^{*}$ это тоже нормально, так как $a=(a^{*})^{*}$ справедливо для инволюции *.

В C*-алгебрах

Позволять $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ быть нормальным элементом C*-алгебры ${\mathcal {A}}$. Затем:

• Это $\left\|a^{2}\right\|=\left\|a\right\|^{2}$, поскольку для обычных элементов, использующих C*-тождество $\left\|a^{2}\right\|^{2}=\left\|(a^{2})(a^{2})^{*}\right\|=\left\|(a^{*}a)^{*}(a^{*}a)\right\|=\left\|a^{*}a\right\|^{2}=\left(\left\|a\right\|^{2}\right)^{2}$ держит.
• Каждый нормальный элемент является нормалоидным элементом, т.е. спектральным радиусом $r(a)$ соответствует норме $a$, то есть $r(a)=\left\|a\right\|$. Это следует из формулы спектрального радиуса при многократном применении предыдущего свойства.
• Можно разработать непрерывное функциональное исчисление, которое, проще говоря, позволяет применять непрерывные функции в спектре $a$ к $a$.

См. также

• Нормальная матрица
• Обычный оператор

Ссылки

• Диксмье, Жак (1977). С*-алгебры . Перевод Джеллетта, Фрэнсиса. Амстердам/Нью-Йорк/Оксфорд: Северная Голландия. ISBN  0-7204-0762-1 . английский перевод C*-алгебры и их представления (на французском языке). Готье-Виллар. 1969.
• Хойзер, Харро (1982). Функциональный анализ . Перевод Хорвата, Джона. John Wiley & Sons Ltd. ISBN компании  0-471-10069-2 .
• Вернер, Дирк (2018). Функциональный анализ (на немецком языке) (8-е изд.). Спрингер. ISBN  978-3-662-55407-4 .