Теоремы Шредера–Бернштейна для операторных алгебр

Теорема Шредера -Бернштейна из теории множеств имеет аналоги в контекстных операторных алгебрах . В данной статье обсуждаются такие операторно-алгебраические результаты.

Для алгебр фон Неймана

Предположим, M — алгебра фон Неймана , а E , F — проекции в M. что Обозначим через ~ отношение эквивалентности Мюррея-фон Неймана на M . Определим частичный порядок « на семействе проекторов посредством E « F, если E ~ F' ≤ F . Другими словами, E « F , если существует частичная изометрия U ∈ M такая, что U*U = E и UU* ≤ F .

Для замкнутых подпространств M и N где проекции PM _, и PN _N на M и N соответственно являются M , M « , если PM _{элементами} « P _N .

Теорема Шредера –Бернштейна утверждает, что если M « N и N « M , то M ~ N .

Доказательство, аналогичное теоретико-множественному рассуждению, можно представить следующим образом. В разговорной речи N « M означает, что может быть изометрически вложено в M. N Так

$M=M_{0}\supset N_{0}$

где N ₀ — изометрическая копия N в M . По предположению также верно, что N , а следовательно, и 0 _, содержит изометрическую копию M ₁ M . N Поэтому можно написать

$M=M_{0}\supset N_{0}\supset M_{1}.$

По индукции

$M=M_{0}\supset N_{0}\supset M_{1}\supset N_{1}\supset M_{2}\supset N_{2}\supset \cdots .$

Ясно, что

$R=\cap _{i\geq 0}M_{i}=\cap _{i\geq 0}N_{i}.$

Позволять

$M\ominus N{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}M\cap (N)^{\perp }.$

Так

$M=\oplus _{i\geq 0}(M_{i}\ominus N_{i})\quad \oplus \quad \oplus _{j\geq 0}(N_{j}\ominus M_{j+1})\quad \oplus R$

и

$N_{0}=\oplus _{i\geq 1}(M_{i}\ominus N_{i})\quad \oplus \quad \oplus _{j\geq 0}(N_{j}\ominus M_{j+1})\quad \oplus R.$

Уведомление

$M_{i}\ominus N_{i}\sim M\ominus N\quad {\mbox{for all}}\quad i.$

Теперь теорема следует из счетной аддитивности функции ~.

Представления C*-алгебр.

Существует также аналог Шредера–Бернштейна для представлений C*-алгебр . Если A — C*-алгебра, представление A пространстве это *-гомоморфизм φ из A в L ( H ), ограниченные операторы в некотором гильбертовом H. —

Если существует проекция P в L ( H где Pφ ( ( a ) = φ ( a ) P каждого a в A , то подпредставление σ φ ) , может быть определено естественным образом: σ ( a ) есть φ для а ограничен диапазоном P. ) Таким образом, φ тогда можно выразить как прямую сумму двух подпредставлений φ = φ' ⊕ σ .

Два представления φ ₁ и φ ₂ на H ₁ и H ₂ соответственно называются унитарно эквивалентными , если существует унитарный оператор U : H ₂ → H ₁ такой, что φ ₁ ( a ) U = Uφ ₂ ( a ), для каждого а .

В этом случае теорема Шредера-Бернштейна гласит:

Если два представления ρ и σ в гильбертовых пространствах H и G соответственно каждое унитарно эквивалентно подпредставлению другого, то они унитарно эквивалентны.

Можно привести доказательство, напоминающее предыдущий аргумент. Из этого предположения следует, что существуют сюръективные частичные изометрии от H к G и от G к H . Зафиксируйте две такие частичные изометрии аргумента. У одного есть

$\rho =\rho _{1}\simeq \rho _{1}'\oplus \sigma _{1}\quad {\mbox{where}}\quad \sigma _{1}\simeq \sigma .$

По очереди,

$\rho _{1}\simeq \rho _{1}'\oplus (\sigma _{1}'\oplus \rho _{2})\quad {\mbox{where}}\quad \rho _{2}\simeq \rho .$

По индукции

$\rho _{1}\simeq \rho _{1}'\oplus \sigma _{1}'\oplus \rho _{2}'\oplus \sigma _{2}'\cdots \simeq (\oplus _{i\geq 1}\rho _{i}')\oplus (\oplus _{i\geq 1}\sigma _{i}'),$

и

$\sigma _{1}\simeq \sigma _{1}'\oplus \rho _{2}'\oplus \sigma _{2}'\cdots \simeq (\oplus _{i\geq 2}\rho _{i}')\oplus (\oplus _{i\geq 1}\sigma _{i}').$

Теперь каждое дополнительное слагаемое в выражении прямой суммы получается с использованием одной из двух фиксированных частичных изометрий, поэтому

$\rho _{i}'\simeq \rho _{j}'\quad {\mbox{and}}\quad \sigma _{i}'\simeq \sigma _{j}'\quad {\mbox{for all}}\quad i,j\;.$

Это доказывает теорему.

См. также

• Теорема Шредера–Бернштейна для измеримых пространств
• Свойство Шредера-Бернштейна

Ссылки

• Б. Блэкадар, Операторные алгебры , Springer, 2006.