Операторная алгебра

В функциональном анализе разделе математики , операторная алгебра — это алгебра непрерывных , линейных операторов в топологическом векторном пространстве с умножением, заданным композицией отображений .

Результаты, полученные при изучении операторных алгебр, часто формулируются в алгебраических терминах, а используемые методы часто носят высокоаналитический характер . ^[1] Хотя изучение операторных алгебр обычно классифицируется как раздел функционального анализа, оно имеет прямые приложения к теории представлений , дифференциальной геометрии , квантовой статистической механике , квантовой информации и квантовой теории поля .

Обзор [ править ]

Операторные алгебры можно использовать для одновременного изучения произвольных наборов операторов с небольшими алгебраическими связями . С этой точки зрения операторные алгебры можно рассматривать как обобщение спектральной теории одного оператора. В общем случае операторные алгебры являются некоммутативными кольцами .

Обычно требуется, чтобы операторная алгебра была замкнута в заданной операторной топологии внутри всей алгебры непрерывных линейных операторов. В частности, это набор операторов, обладающих как алгебраическими, так и топологическими свойствами замыкания. В некоторых дисциплинах такие свойства аксиомизируются и предметом исследования становятся алгебры с определенной топологической структурой.

Хотя алгебры операторов изучаются в различных контекстах (например, алгебры псевдодифференциальных операторов, действующих в пространствах распределений ), термин «операторная алгебра» обычно используется по отношению к алгебрам ограниченных операторов в банаховом пространстве или, что еще более конкретно, в ссылка на алгебры операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве , наделенные топологией операторной нормы .

В случае операторов в гильбертовом пространстве эрмитово сопряженное отображение операторов дает естественную инволюцию , которая обеспечивает дополнительную алгебраическую структуру, которая может быть наложена на алгебру. В этом контексте наиболее изученными примерами являются самосопряженные операторные алгебры, то есть они замкнуты относительно сопряженных. К ним относятся C*-алгебры , алгебры фон Неймана и AW*-алгебры . С*-алгебры легко абстрактно охарактеризовать условием, связывающим норму, инволюцию и умножение. Такие абстрактно определенные С*-алгебры можно отождествить с некоторой замкнутой подалгеброй алгебры непрерывных линейных операторов на подходящем гильбертовом пространстве. Аналогичный результат справедлив и для алгебр фон Неймана.

Коммутативные самосопряженные операторные алгебры можно рассматривать как алгебру комплекснозначных непрерывных функций на локально компактном пространстве или алгебру измеримых функций на стандартном измеримом пространстве . Таким образом, общие операторные алгебры часто рассматриваются как некоммутативные обобщения этих алгебр или структуры базового пространства , на котором определены функции. Эта точка зрения разрабатывается как философия некоммутативной геометрии , которая пытается изучать различные неклассические и/или патологические объекты с помощью некоммутативных операторных алгебр.

Примеры операторных алгебр, которые не являются самосопряженными, включают:

гнездовые алгебры ,
многие коммутативные решетчатые алгебры подпространств ,
многие предельные алгебры .

См. также [ править ]

Банахова алгебра - особый вид алгебраической структуры.
Матричная механика - Формулировка квантовой механики.
Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
Алгебра вершинных операторов - алгебра, используемая в двумерных конформных теориях поля и теории струн.

Ссылки [ править ]

^ Теория операторных алгебр I Масамичи Такесаки , Springer 2012, стр. vi

Дальнейшее чтение [ править ]

Блэкадар, Брюс (2005). Операторные алгебры: теория C*-алгебр и алгебр фон Неймана . Энциклопедия математических наук. Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-28486-9 .
М. Такесаки, Теория операторных алгебр I , Springer, 2001.

[1] Теория операторных алгебр I Масамичи Такесаки , Springer 2012, стр. vi

[1]

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Основные понятия	Инволюция/-алгебра Банахова алгебра B-алгебра C-алгебра Некоммутативная топология Проекционная мера Спектр Спектр C-алгебры Спектральный радиус Место оператора
Основные результаты	Теорема Гельфанда–Мазура. Теорема Гельфанда–Наймарка. Представительство Гельфанда Полярное разложение Разложение по сингулярным значениям Спектральная теорема Спектральная теория нормальных C*-алгебр
Специальные элементы/операторы	изоспектральный Обычный оператор Эрмитов/самосопряженный оператор Унитарный оператор Единица
Спектр	Теорема Крейна–Рутмана Нормальное собственное значение Спектр C*-алгебры Спектральный радиус Спектральная асимметрия Спектральный разрыв
Разложение	Разложение спектра Непрерывный Точка Остаточный Приблизительная точка Сжатие Прямой интеграл Дискретный Спектральная абсцисса
Спектральная теорема	Борелевское функциональное исчисление Теорема Мин-Макса Положительная операторная мера Проекционная мера Рисс-проектор Оснащенное гильбертово пространство Спектральная теорема Спектральная теория компактных операторов Спектральная теория нормальных C*-алгебр
Специальные алгебры	Аменабельная банахова алгебра С примерной личностью Банахова функциональная алгебра Дисковая алгебра Ядерная C*-алгебра Равномерная алгебра Алгебра фон Неймана Теория Томиты-Такесаки
Конечномерный	Граница Алона – Боппаны Теорема Бауэра – Фике Числовой диапазон Теорема Шура – Хорна
Обобщения	Спектр Дирака Основной спектр Псевдоспектр Структурное пространство ( граница Шилова )
Разнообразный	Абстрактная индексная группа Когомологии банаховой алгебры Теорема факторизации Коэна – Хьюитта Расширения симметричных операторов Теория Фредгольма Принцип предельного поглощения Теоремы Шредера–Бернштейна для операторных алгебр Теорема Шермана – Такеды Неограниченный оператор
Примеры	Венская алгебра
Приложения	Почти оператор Матье Теорема о короне Слышать форму барабана ( собственное значение Дирихле ) Тепловое ядро Формула следа Кузнецова Слабая пара Функция протозначения Граф Рамануджана Неравенство Рэлея – Фабера – Крана. Спектральная геометрия Спектральный метод Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений Теория Штурма – Лиувилля Сверхсильное приближение Оператор трансфера Теория преобразования Закон Вейля Теорема Винера – Хинчина

v т и банахового пространства Темы
Типы банаховых пространств	Асплунд Банах список Банахова решетка Гротендик Гильберт Внутреннее пространство продукта Поляризационная идентичность ( Полиномиально ) Рефлексивный Рисс L-полувнутренний продукт ( Б Строго Равномерно ) выпуклый Равномерно гладкий ( Инъективный Проективное ) Тензорное произведение ( гильбертовых пространств )
Банаховы пространства – это:	ствольный Полный F-пространство Фреше приручить Локально выпуклый Полунормы / функционалы Минковского Макки метризуемый Нормированный норма Квазинормед Стереотип
Топологии функционального пространства	Компакт Банаха – Мазура Двойной Двойное пространство Двойная норма Оператор Ультраслабый Слабый полярный оператор Сильный полярный оператор Ультрасильный Равномерная сходимость
Линейные операторы	заместитель Билинейный форма оператор полуторалинейный ( Un ) Ограниченный Закрыто Компактный на гильбертовых пространствах ( Dis ) Непрерывный Плотно определены Фредхольм ядро оператор Гильберт-Шмидт Функционалы позитивный Псевдомонотонный Нормальный Ядерный Самосопряженный Строго единственное число Класс трассировки Транспонировать Унитарный
Теория операторов	Банаховы алгебры C-алгебры Место оператора Спектр C-алгебра радиус Спектральная теория ОДУ Спектральная теорема Полярное разложение Разложение по сингулярным значениям
Теоремы	Андерсон-Кадек Банач-Алаоглу Банах-Мазуры Банах-Сакс Банаха – Шаудера (открытое картирование) Банаха – Штейнгауза (равномерная ограниченность) Неравенство Бесселя Неравенство Коши – Шварца Закрытый график Закрытый диапазон Эберлейн-Шмулян Фрейденталь спектральный Гельфанд-Мазур Гельфанд–Наймарк Голдстайн Хан-Банах разделение гиперплоскости Какутани с фиксированной точкой Крейн-Мильман Инвариантное подпространство Ломоносова Макки-Аренс Лемма Мазура Расширение М. Рисса Личность Парсеваля Лемма Рисса Представительство Рисса Робинсон-Урсеску Вздрагивание фиксированной точки
Анализ	Абстрактное Винеровское пространство Банахово многообразие пучок пространство Бохнера Выпуклая серия Дифференцирование в пространствах Фреше Производные Фреше Торты функциональный голоморфный Почти Интегралы Бохнер Данфорд Гельфанд–Петтис регулируемый Пейли – Винер слабый Функциональное исчисление Борель непрерывный голоморфный Меры Лебег Прогнозируемая стоимость Вектор Слабо / сильно измеримая функция
Виды наборов	Абсолютно выпуклый поглощающий Аффинный Сбалансированный/Круглый Ограниченный Выпуклый Выпуклый конус (подмножество) Выпуклые ряды, связанные ((cs, lcs)-замкнутые, (cs, bcs)-полные, (нижние) идеально выпуклые, (H x ) и (Hw x )) Линейный конус (подмножество) Радиальный Радиально-выпуклый/звездообразный Симметричный Зонотоп
Подмножества/операции над множествами	Аффинная оболочка ( Относительный ) Алгебраическая внутренняя часть (ядро) Граничные точки Выпуклая оболочка Крайняя точка Интерьер Линейный пролет дополнение Минковского Полярный ( Как будто ) Относительно интерьера
Примеры	Абсолютная непрерывность переменного тока $ba(\Sigma )$ c космос Банахова координата BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Бирнбаум-Орлич Ограниченная вариация BV Пространство Bs Непрерывный C(K) с K компактом Хаусдорфа Харди Х ^п Гильберт Х Морри-Кампанато $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ ^п $\ell ^{\infty }$ л ^п $L^{\infty }$ взвешенный Шварц $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Сигал–Баргманн Ф Пространство последовательности Sobolev W ^к,п Sobolev inequality Трибель-Лизоркин Венская амальгама $W(X,L^{p})$
Приложения	Дифференциальный оператор Метод конечных элементов Математическая формулировка квантовой механики Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) Проверенные цифры