Sobolev inequality

В математике существует в математическом анализе класс неравенств Соболева , связывающих нормы, в том числе и в пространствах Соболева . Они используются для доказательства теоремы вложения Соболева , дающей включения между некоторыми пространствами Соболева , и теоремы Реллиха-Кондрахова, показывающей, что при немного более сильных условиях некоторые пространства Соболева компактно вложены в другие. Они названы в честь Сергея Львовича Соболева .

Sobolev embedding theorem [ edit ]

Пусть $W к,п (Р н)$ обозначают пространство Соболева, состоящее из всех вещественных функций на $R н$ чьи слабые производные до порядка $k$ являются функциями из $L п$ . Здесь $k$ — целое неотрицательное число и $1 \leq p < \infty$ . Первая часть теоремы вложения Соболева гласит, что если $k > ℓ$ , $p < n$ и $1 \leq p < q < \infty,$ это два действительных числа такие, что

{\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}={\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}},

затем

W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq W^{\ell ,q}(\mathbf {R} ^{n})

и вложение непрерывно. В частном случае $k = 1$ и $ℓ = 0$ вложение Соболева дает

W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})

где $р *$ является Соболеву сопряженным по $p$ , заданным формулой

{\frac {1}{p^{*}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}.

Этот частный случай вложения Соболева является прямым следствием неравенства Гальярдо–Ниренберга–Соболева . Результат следует интерпретировать как утверждение, что если функция $f$ в $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ имеет одну производную $L^{p}$ , затем $f$ само по себе улучшило локальное поведение, а это означает, что оно принадлежит пространству $L^{p^{*}}$ где $p^{*}>p$ . (Обратите внимание, что $1/p^{*}<1/p$ , так что $p^{*}>p$ .) Таким образом, любые локальные особенности в $f$ должна быть более мягкой, чем для типичной функции в $L^{p}$ .

Вторая часть теоремы вложения Соболева применима к вложениям в пространства Гёльдера $C р, а (Р н)$ . Если $n < pk$ и

{\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}=-{\frac {r+\alpha }{n}},{\mbox{ or, equivalently, }}r+\alpha =k-{\frac {n}{p}}

с $α \in (0, 1),$ то имеет место вложение

W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).

Эта часть вложения Соболева является прямым следствием неравенства Морри . Интуитивно это включение выражает тот факт, что существование достаточного числа слабых производных влечет за собой некоторую непрерывность классических производных. Если $\alpha =1$ затем $W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})$ для каждого $\gamma \in (0,1)$ .

В частности, до тех пор, пока $pk>n$ , критерий вложения будет выполняться при $r=0$ и некоторое положительное значение $\alpha$ . То есть для функции $f$ на $\mathbb {R} ^{n}$ , если $f$ имеет $k$ деривативы в $L^{p}$ и $pk>n$ , затем $f$ будет непрерывным (и фактически непрерывным по Гёльдеру с некоторым положительным показателем $\alpha$ ).

Обобщения [ править ]

Теорема вложения Соболева справедлива для пространств Соболева $W к,п (M)$ на других подходящих областях $M$ . В частности ( Обен 1982 , глава 2; Обен 1976 ), обе части вложения Соболева справедливы, когда

$M$ — ограниченное открытое множество в $R н$ с липшицевой границей (или граница которой удовлетворяет условию конуса ; Адамс 1975 , теорема 5.4)
$M$ — компактное риманово многообразие.
$M$ — компактное риманово многообразие с краем , граница которого является липшицевой (это означает, что граница может быть локально представлена как график липшицевой непрерывной функции).
$M$ — полное риманово многообразие с радиусом инъективности $δ > 0$ и ограниченной секционной кривизной .

Если $M$ — ограниченное открытое множество в $R н$ со сплошной границей, то $W 1,2 (M)$ компактно вложено в $L 2 (M)$ ( Нечас 2012 , раздел 1.1.5, теорема 1.4).

Kondrachov embedding theorem [ edit ]

На компактном многообразии $M$ с $C 1$ границе теорема вложения Кондрахова утверждает, что если $k > ℓ$ и

{\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}<{\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}}

тогда вложение Соболева

W^{k,p}(M)\subset W^{\ell ,q}(M)

вполне непрерывен (компакт). ^[1] Обратите внимание, что условие такое же, как и в первой части теоремы вложения Соболева, с заменой равенства неравенством, что требует более регулярного пространства $W к,п (М)$ .

Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality [ edit ]

Предположим, что $u$ — непрерывно дифференцируемая вещественная функция на $R н$ с компактной поддержкой . Тогда при $1 ⩽ p < n$ существует константа $C,$ зависящая только от $n$ и $p,$ такая, что

\|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}.

с $1/p^{*}=1/p-1/n$ .Дело $1<p<n$ is due to Sobolev ^[2] и дело $p=1$ независимо от Гальярдо и Ниренберга. ^[3]^[4] Из неравенства Гальярдо–Ниренберга–Соболева непосредственно следует вложение Соболева

W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n}).

Вложения в другие порядки на $R н$ затем получаются путем подходящей итерации.

Hardy–Littlewood–Sobolev lemma [ edit ]

Первоначальное доказательство Соболева теоремы вложения Соболева основывалось на следующем, иногда известном как теорема Харди – Литтлвуда – Соболева о дробном интегрировании . Эквивалентное утверждение известно как лемма Соболева в ( Обен 1982 , глава 2). Доказательство находится в ( Stein 1970 , Глава V, §1.3).

Пусть $0 < α < n$ и $1 < p < q < \infty$ . Пусть $I α = (-Δ) - α /2$ — потенциал Рисса на $R н$ . Тогда для $q,$ определенного формулой

{\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {\alpha }{n}}

существует константа $C,$ зависящая только от $p$ такая, что

\left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.

Если $p = 1$ , то есть две возможные оценки замены. Первая — это более классическая оценка слабого типа:

m\left\{x:\left|I_{\alpha }f(x)\right|>\lambda \right\}\leq C\left({\frac {\|f\|_{1}}{\lambda }}\right)^{q},

где $1/ q знак равно 1 - α / п$ . В качестве альтернативы можно иметь оценку

\left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|Rf\|_{1},

где

Rf

— векторное преобразование Рисса , см. ( Schikorra, Spector & Van Schaftingen 2017 ). Ограниченность преобразований Рисса означает, что последнее неравенство дает единый способ записи семейства неравенств для потенциала Рисса.

Лемма Харди-Литтлвуда-Соболева подразумевает вложение Соболева, по существу, из связи между преобразованиями Рисса и потенциалами Рисса.

Неравенство Морри [ править ]

Предположим, $что n < p \leq \infty$ . Тогда существует константа $C$ , зависящая только от $p$ и $n$ , такая, что

\|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}

для всех $u \in C 1 (Р н) \cap L п (Р н)$ , где

\gamma =1-{\frac {n}{p}}.

Таким образом, если $u \in W 1, с (Р н)$ , то $u$ на самом деле является гельдеровским по показателю $γ$ после возможного переопределения на множестве меры 0.

Аналогичный результат верен и в ограниченной области $U$ с липшицевой границей. В этом случае,

\|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}

константа $C$ теперь зависит от $n, p$ и $U.$ где Этот вариант неравенства следует из предыдущего путем применения сохраняющего норму расширения $W 1, с (U)$ к $W 1, с (Р н)$ . Неравенство названо в честь Чарльза Б. Морри-младшего.

General Sobolev inequalities [ edit ]

Пусть $U$ — ограниченное открытое подмножество в $R н$ , с $буквой С 1$ граница. ( $U$ также может быть неограниченным, но в этом случае его граница, если она существует, должна вести себя достаточно хорошо.)

Предположим, что $u \in W к,п (У)$ . Тогда рассмотрим два случая:

$k < n / p$ или $k = n$ , $p = 1$ [ править ]

В этом случае мы заключаем, что $u \in L д (U)$ , где

{\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}.

Имеем дополнительно оценку

\|u\|_{L^{q}(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)}

,

константа $C$ зависит только $k, p, n$ и $U.$ от

$к > н / п$ [ править ]

Здесь мы заключаем, что $u$ принадлежит пространству Гёльдера , точнее:

u\in C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U),

где

\gamma ={\begin{cases}\left[{\frac {n}{p}}\right]+1-{\frac {n}{p}}&{\frac {n}{p}}\notin \mathbf {Z} \\{\text{any element in }}(0,1)&{\frac {n}{p}}\in \mathbf {Z} \end{cases}}

Имеем дополнительно оценку

\|u\|_{C^{k-\left[{\frac {n}{p}}\right]-1,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{k,p}(U)},

константа $C$ зависит только $k, p, n, γ$ и $U.$ от В частности, условие $k>n/p$ гарантирует, что $u$ непрерывен (и фактически непрерывен по Гёльдеру с некоторым положительным показателем).

Случай $p = n, k =1$ [ править ]

Если $u\in W^{1,n}(\mathbf {R} ^{n})$ , то $u$ является функцией ограниченного среднего колебания и

\|u\|_{BMO}\leq C\|Du\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})},

для некоторой константы $C,$ зависящей только от $n$ . ^[5]^: §I.2 Эта оценка является следствием неравенства Пуанкаре .

Неравенство Нэша [ править ]

Неравенство Нэша, введенное Джоном Нэшем ( 1958 ), утверждает, что существует константа $C > 0$ такая, что для всех $u \in L 1 (Р н) \cap W 1,2 (Р н)$ ,

\|u\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbf {R} ^{n})}^{2/n}\|Du\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}.

Неравенство следует из основных свойств преобразования Фурье . Действительно, интегрируя по дополнению к шару радиуса $ρ$ ,

\int _{|x|\geq \rho }\left|{\hat {u}}(x)\right|^{2}\,dx\leq \int _{|x|\geq \rho }{\frac {|x|^{2}}{\rho ^{2}}}\left|{\hat {u}}(x)\right|^{2}\,dx\leq \rho ^{-2}\int _{\mathbf {R} ^{n}}|Du|^{2}\,dx

( 1 )

потому что $1\leq |x|^{2}/\rho ^{2}$ . С другой стороны, у человека есть

|{\hat {u}}|\leq \|u\|_{L^{1}}

что при интегрировании по шару радиуса $ρ$ дает

\int _{|x|\leq \rho }|{\hat {u}}(x)|^{2}\,dx\leq \rho ^{n}\omega _{n}\|u\|_{L^{1}}^{2}

( 2 )

где $ω n$ — объем $n$ -шара . Выбор $ρ$ для минимизации суммы ( 1 ) и ( 2 ) и применение теоремы Парсеваля:

\|{\hat {u}}\|_{L^{2}}=\|u\|_{L^{2}}

дает неравенство.

В частном случае $n = 1$ неравенство Нэша можно распространить на $L п$ случае, и в этом случае это обобщение неравенства Гальярдо-Ниренберга-Соболева ( Брезис 2011 , Комментарии к главе 8). В самом деле, если $I$ — ограниченный интервал, то для всех $1 ⩽ r < \infty$ и всех $1 ⩽ q ⩽ p < \infty$ справедливо следующее неравенство

\|u\|_{L^{p}(I)}\leq C\|u\|_{L^{q}(I)}^{1-a}\|u\|_{W^{1,r}(I)}^{a},

где:

a\left({\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}+1\right)={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}.

Logarithmic Sobolev inequality [ edit ]

Простейшая из описанных выше теорем вложения Соболева утверждает, что если функция $f$ в $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ имеет одну производную $L^{p}$ , затем $f$ сам находится в $L^{p^{*}}$ , где

1/p^{*}=1/p-1/n.

Мы можем видеть это как $n$ стремится к бесконечности, $p^{*}$ подходы $p$ . Таким образом, если размерность $n$ пространства, на котором $f$ определяется большим, улучшение локального поведения $f$ от наличия производной в $L^{p}$ маленький( $p^{*}$ лишь немного больше, чем $p$ ). В частности, для функций в бесконечномерном пространстве нельзя ожидать прямого аналога классических теорем вложения Соболева.

Однако существует тип неравенства Соболева, установленный Леонардом Гроссом ( Gross 1975 ) и известный как логарифмическое неравенство Соболева , которое имеет константы, независимые от размерности, и поэтому продолжает выполняться в бесконечномерной ситуации. Логарифмическое неравенство Соболева, грубо говоря, говорит, что если функция находится в $L^{p}$ относительно гауссовой меры и имеет одну производную, которая также находится в $L^{p}$ , затем $f$ находится в " $L^{p}$ -log», что означает, что интеграл от $|f|^{p}\log |f|$ конечно. Неравенство, выражающее этот факт, имеет константы, не включающие размерность пространства, и, таким образом, неравенство справедливо в случае гауссовой меры в бесконечномерном пространстве. Теперь известно, что логарифмические неравенства Соболева справедливы для многих различных типов мер, а не только для гауссовских мер.

Хотя может показаться, что $L^{p}$ -log состояние — это очень небольшое улучшение по сравнению с состоянием в $L^{p}$ , этого улучшения достаточно, чтобы получить важный результат, а именно гиперсжимаемость для соответствующего оператора формы Дирихле . Этот результат означает, что если функция находится в диапазоне экспоненты оператора формы Дирихле, а это означает, что функция имеет в некотором смысле бесконечное число производных в $L^{p}$ — тогда функция принадлежит $L^{p^{*}}$ для некоторых $p^{*}>p$ ( Теорема 6 Гросса, 1975 г. ).

Ссылки [ править ]

^ Тейлор, Майкл Э. (1997). Уравнения в частных производных I - Основная теория (2-е изд.). п. 286. ИСБН 0-387-94653-5 .
^ Соболев, Сергей Львович (1938). «Об одной теореме функционального анализа». Доклады (Доклады) Академии наук СССР, Новая серия . 20 :5–9.
^ Гальярдо, Эмилио (1958). «Свойства некоторых классов функций многих переменных». Математические исследования . 7 : 102–137.
^ Ниренберг, Луи (1959). «Об эллиптических уравнениях в частных производных». Анналы Высшей нормальной школы Пизы. Научный класс. Серия III . 13 : 115–162.
^ Брезис, Х.; Ниренберг, Л. (сентябрь 1995 г.). «Теория степеней и BMO; часть I: Компактные многообразия без границ». Селекта Математика . 1 (2): 197–263. дои : 10.1007/BF01671566 . S2CID 195270732 .

Адамс, Роберт А. (1975), Пространства Соболева , Чистая и прикладная математика, том. 65, Академическое издательство, ISBN 978-0-12-044150-1 , МР 0450957 .
Обен, Тьерри (1976), «Пространства Соболева на римановых многообразиях», Bulletin des Sciences Mathématiques , 2e Série, 100 (2): 149–173, MR 0488125
Обен, Тьерри (1982), Нелинейный анализ многообразий. Уравнения Монжа-Ампера , Основы математических наук, т. 1, с. 252, Springer-Verlag , номер домена : 10.1007/978-1-4612-5734-9 , ISBN. 978-0-387-90704-8 , МР 0681859 .
Брезис, Хаим (1983), Функциональный анализ: теория и приложения , Париж: Массон , ISBN 0-8218-0772-2
Брезис, Хаим (2011), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных , Springer Science & Business Media , ISBN 978-0-387-70913-0
Эванс, Лоуренс (1998), Уравнения в частных производных , Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0772-2
Гросс, Леонард (1975), «Логарифмические неравенства Соболева», American Journal of Mathematics , 97 (4): 1061–1083, doi : 10.2307/2373688 , JSTOR 2373688
Леони, Джованни (2009), Первый курс по пространствам Соболева , аспирантура по математике, Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4768-8 МИСТЕР 2527916 , Збл 1180.46001 , обзор МАА
Мазья, Владимир Георгиевич (1985), Пространства Соболева , Ряды Спрингера в советской математике, Springer-Verlag , Перевод с русского Т.О. Шапошниковой.
Нэш, Дж. (1958), «Непрерывность решений параболических и эллиптических уравнений», Американский журнал математики , 80 (4): 931–954, Бибкод : 1958AmJM...80..931N , doi : 10.2307/2372841 , hdl : 10338.dmlcz/101876 , JSTOR 2372841 .
Нечас, Дж. (2012), Прямые методы в теории эллиптических уравнений , Монографии Спрингера по математике .
Никольский, С.М. (2001) [1994], «Теоремы вложения» , Энциклопедия математики , EMS Press
Шикорра, Армин; Спектор, Дэниел; Ван Шафтинген, Жан (2017), «Ан $L^{1}$ -оценка типа для потенциалов Рисса», Revista Matemática Iberoamericana , 33 (1): 291–304, arXiv : 1411.2318 , doi : 10.4171/rmi/937 , S2CID 55497245
Стейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-08079-8

[Taylor-1] Тейлор, Майкл Э. (1997). Уравнения в частных производных I - Основная теория (2-е изд.). п. 286. ИСБН 0-387-94653-5 .

[2] Соболев, Сергей Львович (1938). «Об одной теореме функционального анализа». Доклады (Доклады) Академии наук СССР, Новая серия . 20 :5–9.

[3] Гальярдо, Эмилио (1958). «Свойства некоторых классов функций многих переменных». Математические исследования . 7 : 102–137.

[4] Ниренберг, Луи (1959). «Об эллиптических уравнениях в частных производных». Анналы Высшей нормальной школы Пизы. Научный класс. Серия III . 13 : 115–162.

[5] Брезис, Х.; Ниренберг, Л. (сентябрь 1995 г.). «Теория степеней и BMO; часть I: Компактные многообразия без границ». Селекта Математика . 1 (2): 197–263. дои : 10.1007/BF01671566 . S2CID 195270732 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]