Компактное встраивание

В математике понятие компактности выражает идею о том, что одно множество или пространство «хорошо содержится» внутри другого. Существуют версии этой концепции, соответствующие общей топологии и функциональному анализу .

Определение (топологические пространства)

( X , T ) — топологическое пространство , и V и W — подмножества X. пусть Пусть Будем говорить, что V в компактно вложено W , и писать V ⊂⊂ W , если

• V Cl( V ) ⊆ Int( W ), где Cl( ) обозначает замыкание V ⊆ , а Int( W ) обозначает внутренность W V ; и
• Cl( V ) компактен .

Определение (нормированные пространства)

Пусть X и Y — два нормированных векторных пространства с нормами ||•|| _X и ||•|| _Y соответственно, и предположим, что X ⊆ Y . Будем говорить, что X в компактно вложено Y , и писать X ⊂⊂ Y , если

• X вложен непрерывно в Y ; т. е. существует константа C такая, что || х || _Y ≤ С || х || _X для всех x в X ; и
• Вложение X в Y является компактным оператором любое ограниченное множество в X в вполне ограничено Y , т.е. каждая последовательность в таком ограниченном множестве имеет подпоследовательность Коши : в норме ||•|| _Ю. ​

Если Y — банахово пространство , эквивалентное определение состоит в том, что оператор вложения (тождество) i : X → Y является компактным оператором .

Применительно к функциональному анализу эта версия компактного вложения обычно используется с банаховыми пространствами функций. Некоторые из теорем вложения Соболева являются компактными теоремами вложения. Когда вложение некомпактно, оно может обладать родственным, но более слабым свойством кокомпактности .

Ссылки

• Адамс, Роберт А. (1975). Соболевские пространства . Бостон, Массачусетс: Академическая пресса . ISBN  978-0-12-044150-1 . .
• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения в частных производных . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-0772-2 . .
• Ренарди, М. и Роджерс, Р.К. (1992). Введение в уравнения в частных производных . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  3-540-97952-2 . .