Кокомпактное встраивание

В математике кокомпактные вложения — это вложения нормированных векторных пространств, обладающие определенным свойством, аналогичным компактности , но более слабым . Кокомпактность используется в математическом анализе с 1980-х годов, но не упоминается никаким именем. ^[1](Лемма 6), ^[2](Лемма 2.5), ^[3](Теорема 1), или с помощью специальных названий, таких как лемма об исчезновении или обратное вложение . ^[4]

Свойство кокомпактности позволяет проверять сходимость последовательностей на основе трансляционной или масштабирующей инвариантности задачи и обычно рассматривается в контексте пространств Соболева . Термин кокомпактное вложение вдохновлен понятием кокомпактного топологического пространства .

Определения

Позволять $G$ быть группой изометрий в нормированном векторном пространстве. $X$ . Говорят, что последовательность $(x_{k})\subset X$ сходится к $x\in X$ $G$ -слабо, если для каждой последовательности $(g_{k})\subset G$ , последовательность $g_{k}(x_{k}-x)$ слабо сходится к нулю.

Непрерывное вложение двух нормированных векторных пространств, $X\hookrightarrow Y$ называется кокомпактным относительно группы изометрий $G$ на $X$ если каждый $G$ -слабо сходящаяся последовательность $(x_{k})\subset X$ сходится в $Y$ . ^[5]

Элементарный пример: кокомпактность для $\ell ^{\infty }\hookrightarrow \ell ^{\infty }$

Встраивание пространства $\ell ^{\infty }(\mathbb {Z} )$ в себя кокомпактно относительно группы $G$ смен $(x_{n})\mapsto (x_{n-j}),j\in \mathbb {Z}$ . Действительно, если $(x_{n})^{(k)}$ , $k=1,2,\dots$ , представляет собой последовательность $G$ -слабо сходится к нулю, то $x_{n_{k}}^{(k)}\to 0$ на любой выбор $n_{k}$ . В частности, можно выбрать $n_{k}$ такой, что $2|x_{n_{k}}^{(k)}|\geq \sup _{n}|x_{n}^{(k)}|=\|(x_{n})^{(k)}\|_{\infty }$ , что означает, что $(x_{n})^{(k)}\to 0$ в $\ell ^{\infty }$ .

Некоторые известные кокомпактные, но некомпактные вложения.

$\ell ^{p}(\mathbb {Z} )\hookrightarrow \ell ^{q}(\mathbb {Z} )$ , $q<p$ , относительно действия переводов на $\mathbb {Z}$ : ^[6] $(x_{n})\mapsto (x_{n-j}),j\in \mathbb {Z}$ .
$H^{1,p}(\mathbb {R} ^{N})\hookrightarrow L^{q}(\mathbb {R} ^{N})$ , $p<q<{\frac {pN}{N-p}}$ , $N>p$ , относительно действий переводов на $\mathbb {R} ^{N}$ . ^[1]
${\dot {H}}^{1,p}(\mathbb {R} ^{N})\hookrightarrow L^{\frac {pN}{N-p}}(\mathbb {R} ^{N})$ , $N>p$ , относительно группы произведений действий расширений и трансляций на $\mathbb {R} ^{N}$ . ^[2]^[3]^[6]
Вложения пространства Соболева в случае Мозера–Трудингера в соответствующее пространство Орлича . ^[7]
Embeddings of Besov and Triebel–Lizorkin spaces. ^[8]
Вложения пространств Стрихарца . ^[4]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Э. Либ, О наименьшем собственном значении лапласиана пересечения двух областей. Изобретать. Математика. 74 (1983), 441–448.
^ Jump up to: ^а ^б В. Бенчи, Г. Черами, Существование положительных решений уравнения −Δu+a(x)u=u( ^N+2)/(N−2) в Р ^Н, Дж. Функц. Анальный. 88 (1990), вып. 1, 90–117.
^ Jump up to: ^а ^б С. Солимини. Замечание о свойствах типа компактности относительно лоренцевых норм ограниченных подмножеств пространства Соболева. Энн. Инст. Х. Пуанкаре Анал. Non Lineaire 12 (1995), 319–337.
^ Jump up to: ^а ^б Теренс Тао, Псевдоконформная компактификация нелинейного уравнения Шредингера и его приложения, New York J. Math. 15 (2009), 265–282.
^ К. Тинтарев, Анализ концентрации и компактность, в: Адимури, К. Сандип, И. Шиндлер, К. Тинтарев, редакторы, Семинар «Анализ концентрации и приложения к PDE ICTS Workshop», Бангалор, январь 2012 г., ISBN 978-3-0348-0372-4 , Биркхойзер, Тенденции в математике (2013), 117–141.
^ Jump up to: ^а ^б С. Джаффард, Анализ некомпактности критических вложений Соболева. Дж. Функц. Анальный. 161 (1999).
^ Адимурти, К. Тинтарев, О компактности в неравенстве Трудингера – Мозера, Annali SNS Pisa Cl. наук. (5) Том. XIII (2014), 1–18.
^ Х. Бахури, А. Коэн, Г. Кох, Общий принцип, основанный на вейвлетах.профильная декомпозиция при критическом вложении функциональных пространств,Confluentes Matematicae 3 (2011), 387–411.

[Lieb-1] Jump up to: ^а ^б Э. Либ, О наименьшем собственном значении лапласиана пересечения двух областей. Изобретать. Математика. 74 (1983), 441–448.

[BC-2] Jump up to: ^а ^б В. Бенчи, Г. Черами, Существование положительных решений уравнения −Δu+a(x)u=u( ^N+2)/(N−2) в Р ^Н, Дж. Функц. Анальный. 88 (1990), вып. 1, 90–117.

[Solimini-3] Jump up to: ^а ^б С. Солимини. Замечание о свойствах типа компактности относительно лоренцевых норм ограниченных подмножеств пространства Соболева. Энн. Инст. Х. Пуанкаре Анал. Non Lineaire 12 (1995), 319–337.

[Tao-4] Jump up to: ^а ^б Теренс Тао, Псевдоконформная компактификация нелинейного уравнения Шредингера и его приложения, New York J. Math. 15 (2009), 265–282.

[5] К. Тинтарев, Анализ концентрации и компактность, в: Адимури, К. Сандип, И. Шиндлер, К. Тинтарев, редакторы, Семинар «Анализ концентрации и приложения к PDE ICTS Workshop», Бангалор, январь 2012 г., ISBN 978-3-0348-0372-4 , Биркхойзер, Тенденции в математике (2013), 117–141.

[Jaffard-6] Jump up to: ^а ^б С. Джаффард, Анализ некомпактности критических вложений Соболева. Дж. Функц. Анальный. 161 (1999).

[AT-7] Адимурти, К. Тинтарев, О компактности в неравенстве Трудингера – Мозера, Annali SNS Pisa Cl. наук. (5) Том. XIII (2014), 1–18.

[BCC-8] Х. Бахури, А. Коэн, Г. Кох, Общий принцип, основанный на вейвлетах.профильная декомпозиция при критическом вложении функциональных пространств,Confluentes Matematicae 3 (2011), 387–411.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Определения

Элементарный пример: кокомпактность для ℓ∞↪ℓ∞{\displaystyle \ell ^{\infty }\hookrightarrow \ell ^{\infty }}

Некоторые известные кокомпактные, но некомпактные вложения.

Ссылки

Элементарный пример: кокомпактность для $\ell ^{\infty }\hookrightarrow \ell ^{\infty }$