Пространство Орлича

В математическом анализе , и особенно в реальном , гармоническом анализе и функциональном анализе , пространство Орлича представляет собой тип функционального пространства, которое обобщает L ^п пространства . как Л ^п пространства, они являются банаховыми пространствами . Пространства названы в честь Владислава Орлича , который первым дал им определение в 1932 году.

Помимо Л ^п пространства, разновидность функциональных пространств, естественным образом возникающих в анализе, являются пространствами Орлича. Одно такое пространство L log ⁺  L , возникающая при изучении максимальных функций Харди–Литтлвуда , состоит из измеримых функций f таких, что

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|\log ^{+}|f(x)|\,dx<\infty .$

Здесь журнал ⁺ – положительная часть логарифма. В класс пространств Орлича также включены многие из наиболее важных пространств Соболева . Кроме того, пространства последовательностей Орлича являются примерами пространств Орлича.

Терминология

Подавляющее большинство математиков и все монографии, изучающие их, называют эти пространства пространствами Орлича, поскольку Владислав Орлич в 1932 году. первым их ввел Некоторые математики, в том числе Войбор Войчинский, Эдвин Хьюитт и Владимир Мазя включают имя Зигмунта Бирнбаума , также , ссылаясь на его более раннюю совместную работу с Владиславом Орличем . Однако в статье Бирнбаума-Орлича пространство Орлича не вводится ни явно, ни неявно, поэтому предпочтение отдается названию «пространство Орлича». По тем же причинам это соглашение подверглось открытой критике со стороны другого математика (и эксперта по истории пространств Орлича) Леха Малигранды. Орлич был подтвержден как человек, представивший пространства Орлича, еще Стефаном Банахом в его монографии 1932 года.

Определение

Настройка

µ — σ-конечная мера на множестве X ,

$\Phi :[0,\infty )\to [0,\infty ]$, является функцией Юнга , т.е. выпуклой , полунепрерывной снизу и нетривиальной в том смысле, что она не является нулевой функцией $x\mapsto 0$ , и это не выпуклая двойственная нулевая функция $x\mapsto {\begin{cases}0{\text{ if }}x=0,\\+\infty {\text{ else.}}\end{cases}}$

Пространства Орлича

Позволять $L_{\Phi }^{\dagger }$ — множество измеримых функций f : X → R таких, что интеграл

$\int _{X}\Phi (|f|)\,d\mu$

конечно, где, как обычно, функции, совпадающие почти всюду отождествляются .

Это может не быть векторным пространством (т. е. оно может не замкнуться при скалярном умножении). Векторное пространство функций, натянутое на $L_{\Phi }^{\dagger }$ – пространство Орлича, обозначаемое $L_{\Phi }$. Другими словами, это наименьшее линейное пространство, содержащее $L_{\Phi }^{\dagger }$. Другими словами,

$$L_{\Phi }=\left\{f{\Big |}\exists k>0,\int _{X}\Phi (k|f|)\,d\mu <\infty \right\}$$

Существует еще одно пространство Орлича («маленькое» пространство Орлича), определяемое формулой

$$M_{\Phi }=\left\{f{\Big |}\forall k>0,\int _{X}\Phi (k|f|)\,d\mu <\infty \right\}$$

Другими словами, это самое большое линейное пространство, содержащееся в $L_{\Phi }^{\dagger }$.

Норма

Чтобы определить норму $L_{\Phi }$, пусть Ψ — дополнение Юнга к Φ; то есть,

$\Psi (x)=\int _{0}^{x}(\Phi ')^{-1}(t)\,dt.$

Обратите внимание, что неравенство Юнга для продуктов справедливо:

$ab\leq \Phi (a)+\Psi (b).$

Тогда норма определяется выражением

$\|f\|_{\Phi }=\sup \left\{\|fg\|_{1}\mid \int \Psi (|g|)\,d\mu \leq 1\right\}.$

Более того, пространство $L_{\Phi }$ есть в точности пространство измеримых функций, для которых эта норма конечна.

Эквивалентная норма, называемая нормой Люксембурга, определяется на L _Φ формулой

$\|f\|'_{\Phi }=\inf \left\{k\in (0,\infty )\mid \int _{X}\Phi (|f|/k)\,d\mu \leq 1\right\},$

и аналогично $L_{\Phi }(\mu )$ — пространство всех измеримых функций, для которых эта норма конечна.

Предложение.

• Обе нормы эквивалентны в том смысле, что $\|f\|_{\Phi }'\leq \|f\|_{\Phi }\leq 2\|f\|_{\Phi }'$ для всех измеримых $f$.
• По теореме о монотонной сходимости , если $0<\|f\|_{\Phi }'<\infty$, затем $\int _{X}\Phi (|f|/\|f\|_{\Phi }')\,d\mu \leq 1$.

Примеры

Для любого $p\in [1,\infty ]$, $L^{p}$ пространство - это пространство Орлича с функцией Орлича $\Phi (t)=t^{p}$. Здесь $t^{\infty }={\begin{cases}0&{\text{ if }}t\in [0,1],\\+\infty &{\text{ else.}}\end{cases}}$

Когда $1<p<\infty$, малое и большое пространства Орлича для $\Phi (x)=x^{p}$ равны: $M_{\Phi }\simeq L_{\Phi }$.

Пример, где $L_{\Phi }^{\dagger }$ не является векторным пространством и строго меньше, чем $L_{\Phi }$. Предположим, что X — открытый единичный интервал (0,1), Φ( x ) = exp( x ) – 1 – x , и f ( x ) = log( x ). Тогда af находится в пространстве $L_{\Phi }$ но есть только в комплекте $L_{\Phi }^{\dagger }$ если | а | < 1.

Свойства

Предложение. Норма Орлича есть норма.

Доказательство. С $\Phi (x)>0$ для некоторых $x>0$, у нас есть $\|f\|_{\Phi }=0\to f=0$ ае. Что $\|kf\|_{\Phi }=|k|\|f\|_{\Phi }$ очевидно по определению. Для треугольного неравенства имеем:

$${\begin{aligned}&\int _{\mathcal {X}}\Phi \left({\frac {f+g}{\|f\|_{\Phi }+\|g\|_{\Phi }}}\right)d\mu \\=&\int _{\mathcal {X}}\Phi \left({\frac {\|f\|_{\Phi }}{\|f\|_{\Phi }+\|g\|_{\Phi }}}{\frac {f}{\|f\|_{\Phi }}}+{\frac {\|g\|_{\Phi }}{\|f\|_{\Phi }+\|g\|_{\Phi }}}{\frac {g}{\|g\|_{\Phi }}}\right)d\mu \\\leq &{\frac {\|f\|_{\Phi }}{\|f\|_{\Phi }+\|g\|_{\Phi }}}\int _{\mathcal {X}}\Phi \left({\frac {f}{\|f\|_{\Phi }}}\right)d\mu +{\frac {\|g\|_{\Phi }}{\|f\|_{\Phi }+\|g\|_{\Phi }}}\int _{\mathcal {X}}\Phi \left({\frac {g}{\|g\|_{\Phi }}}\right)d\mu \\\leq &1\end{aligned}}$$

Теорема. Пространство Орлича $L^{\varphi }(X)$ — банахово пространство — полное нормированное векторное пространство .

Теорема. $M_{\Phi },L_{\Phi ^{*}}$ являются топологически дуальными банаховыми пространствами .

В частности, если $M_{\Phi }=L_{\Phi }$, затем $L_{\Phi ^{*}},L_{\Phi }$ являются топологически дуальными пространствами. В частности, $L^{p},L^{q}$ являются двойственными банаховыми пространствами, когда $1/p+1/q=1$ и $1<p<\infty$.

Relations to Sobolev spaces

Некоторые пространства Соболева вложены в пространства Орлича: при $n>1$ и $X\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ открыт и ограничен липшицевой границей $\partial X$, у нас есть

$W_{0}^{1,n}(X)\subseteq L^{\varphi }(X)$

для

$\varphi (t):=\exp \left(|t|^{n/(n-1)}\right)-1.$

Таково аналитическое содержание неравенства Трудингера : $X\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ открыт и ограничен липшицевой границей $\partial X$, рассмотрим пространство $W_{0}^{k,p}(X)$ с $kp=n$ и $p>1$. Тогда существуют константы $C_{1},C_{2}>0$ такой, что

$\int _{X}\exp \left(\left({\frac {|u(x)|}{C_{1}\|\mathrm {D} ^{k}u\|_{L^{p}(X)}}}\right)^{n/(n-k)}\right)\,\mathrm {d} x\leq C_{2}|X|.$

Норма

Аналогично норма Орлича случайной величины характеризует ее следующим образом:

$\|X\|_{\Psi }\triangleq \inf \left\{k\in (0,\infty )\mid \operatorname {E} [\Psi (|X|/k)]\leq 1\right\}.$

Эта норма однородна и определяется только тогда, когда это множество непусто.

Когда $\Psi (x)=x^{p}$, это совпадает с p -м моментом случайной величины. Другие частные случаи экспоненциального семейства рассматриваются в отношении функций $\Psi _{q}(x)=\exp(x^{q})-1$ (для $q\geq 1$). Случайная величина с конечной $\Psi _{2}$ норма называется « субгауссовой » и случайной величиной с конечной величиной. $\Psi _{1}$ Норма называется « субэкспоненциальной ». Действительно, ограниченность $\Psi _{p}$ норма характеризует предельное поведение функции распределения вероятностей:

$\|X\|_{\Psi _{p}}<\infty \iff {\mathbb {P}}(|X|\geq x)\leq Ke^{-K'x^{p}}\qquad {\rm {for\ some\ constants\ }}K,K'>0,$

так что хвост функции распределения вероятностей ограничен сверху величиной $O(e^{-K'x^{p}})$.

The $\Psi _{1}$ норму можно легко вычислить из строго монотонной производящей момент функции . Например, производящая момент функция случайной величины X с хи-квадратом с K степенями свободы равна $M_{X}(t)=(1-2t)^{-K/2}$, так что обратная величина $\Psi _{1}$ норма связана с функциональным обратным производящей момент функцией:

$\|X\|_{\Psi _{1}}^{-1}=M_{X}^{-1}(2)=(1-4^{-1/K})/2.$

Дальнейшее чтение

• Красносельский, М.А.; Рутицкий, Я Б. (1961-01-01). Выпуклые функции и пространства Орлича (1-е изд.). Гордон и Брич. ISBN  978-0-677-20210-5 . Содержит наиболее часто используемые свойства пространств Орлича над $\mathbb {R} ^{n}$ с мерой Лебега.
• Рао, ММ; Рен, З.Д. (1991). Теория пространств Орлича . Чистая и прикладная математика. Марсель Деккер. ISBN  0-8247-8478-2 . Содержит свойства пространств Орлича над общими пространствами с общими мерами, включая множество патологических примеров.
• Рубштейн, Бен-Цион А.; Грабарник, Генадий Я; Муратов, Мустафа А.; Пашкова, Юлия С. (20 декабря 2016 г.). Основы симметричных пространств измеримых функций: пространства Лоренца, Марцинкевича и Орлича (1-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-3-319-42756-0 .
• Бирнбаум, ZW; Орлич, В. (1931), «Об обобщении концепции взаимно сопряженных степеней» (PDF) , Studia Mathematica , 3 : 1–67, заархивировано из оригинала (PDF) 27 сентября 2011 г. Оригинальная бумага.
• Бунд, Ирасема (1975), «Пространства Бирнбаума – Орлича функций на группах», Pacific Mathematics Journal , 58 (2): 351–359 .
• Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл, Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag .
• Зигмунд, Антони , «Глава IV: Классы функций и ряды Фурье», Тригонометрический ряд, Том 1 (3-е изд.), Cambridge University Press .
• Леду, Мишель; Талагранд, Мишель, Вероятность в банаховых пространствах , Springer-Verlag .

Внешние ссылки

• «Пространство Орлича» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]