Пространство последовательностей Орлича

В математике — пространство последовательностей Орлича это любой из определенного класса линейных пространств скалярных последовательностей , наделенных специальной нормой , указанной ниже, при которой оно образует банахово пространство . Пространства последовательностей Орлича обобщают $\ell _{p}$ пространства и как таковые играют важную роль в функциональном анализе . Пространства последовательностей Орлича являются частными примерами пространств Орлича .

Определение

Исправить $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ так что $\mathbb {K}$ обозначает либо действительное, либо комплексное скалярное поле. Мы говорим, что функция $M:[0,\infty )\to [0,\infty )$ является функцией Орлича , если она непрерывна, неубывает и (возможно, нестрого) выпукла, причем $M(0)=0$ и ${\textstyle \lim _{t\to \infty }M(t)=\infty }$. В частном случае, когда существует $b>0$ с $M(t)=0$ для всех $t\in [0,b]$ это называется дегенеративным .

В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем считать все функции Орлича невырожденными. Это подразумевает $M(t)>0$ для всех $t>0$.

Для каждой скалярной последовательности $(a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ набор

$\left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{M}=\inf \left\{\rho >0:\sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )\leqslant 1\right\}.$

Затем мы определяем пространство последовательностей Орлича относительно $M$, обозначенный $\ell _{M}$, как линейное пространство всех $(a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }$ такой, что ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )<\infty }$ для некоторых $\rho >0$, наделенный нормой $\|\cdot \|_{M}$.

Два других определения будут важны в последующей дискуссии. Функция Орлича $M$ говорят, что он удовлетворяет условию ∆ ₂ в нуле всякий раз, когда

$\limsup _{t\to 0}{\frac {M(2t)}{M(t)}}<\infty .$

Обозначим через $h_{M}$ подпространство скалярных последовательностей $(a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{M}$ такой, что ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|/\rho )<\infty }$ для всех $\rho >0$.

Характеристики

Пространство $\ell _{M}$ является банаховым пространством и обобщает классическое $\ell _{p}$ пространства в следующем точном смысле: когда $M(t)=t^{p}$, $1\leqslant p<\infty$, затем $\|\cdot \|_{M}$ совпадает с $\ell _{p}$-норма и, следовательно, $\ell _{M}=\ell _{p}$; если $M$ – вырожденная функция Орлича, тогда $\|\cdot \|_{M}$ совпадает с $\ell _{\infty }$-норма и, следовательно, $\ell _{M}=\ell _{\infty }$ в этом особом случае и $h_{M}=c_{0}$ когда $M$ является вырожденным.

В общем, единичные векторы не могут служить основой для $\ell _{M}$, и поэтому следующий результат имеет важное значение.

Теорема 1. Если $M$ является функцией Орлича, то следующие условия эквивалентны:

1. $M$ удовлетворяет условию ∆ ₂ в нуле, т.е. ${\textstyle \limsup _{t\to 0}M(2t)/M(t)<\infty }$.
2. Для каждого $\lambda >0$ существуют положительные константы $K=K(\lambda )$ и $b=b(\lambda )$ так что $M(\lambda t)\leqslant KM(t)$ для всех $t\in [0,b]$.
3. ${\textstyle \limsup _{t\to 0}tM'(t)/M(t)<\infty }$ (где $M'$ — неубывающая функция, определенная всюду, кроме разве что счетного множества, где вместо этого мы можем взять правую производную, определенную всюду).
4. $\ell _{M}=h_{M}$.
5. Орты образуют ограниченно полный симметричный базис для $\ell _{M}$.
6. $\ell _{M}$ является разделимым.
7. $\ell _{M}$ не содержит подпространства, изоморфного $\ell _{\infty }$.
8. $(a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell _{M}$ тогда и только тогда, когда ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }M(|a_{n}|)<\infty }$.

Две функции Орлича $M$ и $N$ удовлетворяющие _{условию ∆2} в нуле, называются эквивалентными , если существуют положительные константы $A,B,b>0$ такой, что $AN(t)\leqslant M(t)\leqslant BN(t)$ для всех $t\in [0,b]$. Это имеет место тогда и только тогда, когда базисы единичных векторов $\ell _{M}$ и $\ell _{N}$ эквивалентны.

$\ell _{M}$ может быть изоморфен $\ell _{N}$ без эквивалентности их баз единичных векторов. (См. приведенный ниже пример пространства последовательностей Орлича с двумя неэквивалентными симметричными базисами.)

Теорема 2. Пусть $M$ быть функцией Орлича. Затем $\ell _{M}$ рефлексивно тогда и только тогда, когда

$\liminf _{t\to 0}{\frac {tM'(t)}{M(t)}}>1\;\;$ и $\;\;\limsup _{t\to 0}{\frac {tM'(t)}{M(t)}}<\infty$.

Теорема 3 (К. Дж. Линдберг). Позволять $X$ — бесконечномерное замкнутое подпространство сепарабельного пространства последовательностей Орлича. $\ell _{M}$. Затем $X$ имеет подпространство $Y$ изоморфен некоторому пространству последовательностей Орлича $\ell _{N}$ для некоторой функции Орлича $N$ удовлетворяющее условию ∆2 _в нуле. Если, кроме того, $X$ имеет безусловную основу, то $Y$ могут быть выбраны для дополнения в $X$, и если $X$ имеет симметричный базис, тогда $X$ сам по себе изоморфен $\ell _{N}$.

Теорема 4 (Линденштраусс/Цафрири). Каждое сепарабельное пространство последовательностей Орлича $\ell _{M}$ содержит подпространство, изоморфное $\ell _{p}$ для некоторых $1\leqslant p<\infty$.

Следствие. Каждое бесконечномерное замкнутое подпространство сепарабельного пространства последовательностей Орлича содержит дополнительное подпространство, изоморфное $\ell _{p}$ для некоторых $1\leqslant p<\infty$.

Обратите внимание, что в приведенной выше теореме 4 копия $\ell _{p}$ не всегда могут быть выбраны для дополнения, как показывает следующий пример.

Пример (Линденштраусс/Цафрири). Существует сепарабельное и рефлексивное пространство последовательностей Орлича. $\ell _{M}$ который не содержит дополненную копию $\ell _{p}$ для любого $1\leqslant p\leqslant \infty$. Это же пространство $\ell _{M}$ содержит не менее двух неэквивалентных симметричных базисов.

Теорема 5 (К. Дж. Линдберг и Линденштраусс/Цафрири). Если $\ell _{M}$ является пространством последовательностей Орлича, удовлетворяющим ${\textstyle \liminf _{t\to 0}tM'(t)/M(t)=\limsup _{t\to 0}tM'(t)/M(t)}$ (т. е. существует двусторонний предел), то все следующие утверждения верны.

1. $\ell _{M}$ является разделимым.
2. $\ell _{M}$ содержит дополненную копию $\ell _{p}$ для некоторых $1\leqslant p<\infty$.
3. $\ell _{M}$ имеет единственный симметричный базис (с точностью до эквивалентности).

Пример. Для каждого $1\leqslant p<\infty$, функция Орлича $M(t)=t^{p}/(1-\log(t))$ удовлетворяет условиям теоремы 5 выше, но не эквивалентно $t^{p}$.

Ссылки

• Линденштраусс, Йорам ; Цафрири, Лиор (1977), Классические банаховые пространства I, Пространства последовательностей , ISBN  978-3-642-66559-2
• Линденштраусс, Йорам ; Цафрири, Лиор (сентябрь 1971 г.). «О пространствах последовательностей Орлича» . Израильский математический журнал . 10 (3): 379–390. дои : 10.1007/BF02771656 .
• Линденштраусс, Йорам ; Цафрири, Лиор (декабрь 1972 г.). «О пространствах последовательностей Орлича. II» . Израильский математический журнал . 11 (4): 355–379. дои : 10.1007/BF02761463 .
• Линденштраусс, Йорам ; Цафрири, Лиор (декабрь 1973 г.). «О пространствах последовательностей Орлича III» . Израильский математический журнал . 14 (4): 368–389. дои : 10.1007/BF02764715 .