Функциональный анализ

Эта статья о области математики. О методе изучения поведения человека см. Функциональный анализ (психология) . Чтобы узнать о методе лингвистики, см. Функциональный анализ (лингвистика) .

Один из возможных режимов вибрации идеализированной круглой барабанной головки . Эти режимы являются собственными функциями линейного оператора в функциональном пространстве, обычной конструкции в функциональном анализе.

Функциональный анализ — раздел математического анализа , ядро ​​которого составляет исследование векторных пространств, наделенных некоторой предельной структурой (например, скалярным произведением , нормой или топологией ) и линейными функциями, определенными на этих пространствах. и надлежащим образом уважая эти структуры. Исторические корни функционального анализа лежат в изучении пространств функций и формулировке свойств преобразований функций, таких как преобразование Фурье , как преобразований, определяющих, например, непрерывные или унитарные операторы между функциональными пространствами. Эта точка зрения оказалась особенно полезной при изучении дифференциальных и интегральных уравнений .

Использование слова функциональный в качестве существительного восходит к вариационному исчислению , подразумевая функцию, аргументом которой является функция . Этот термин был впервые использован в Адамара книге на эту тему в 1910 году. Однако общее понятие функционала ранее было введено в 1887 году итальянским математиком и физиком Вито Вольтеррой . Теорию нелинейных функционалов продолжили ученики Адамара, в частности Фреше и Леви . Адамар также основал современную школу линейного функционального анализа, развитую в дальнейшем и группой польских математиков Риссом вокруг Стефана Банаха .

В современных вводных текстах по функциональному анализу этот предмет рассматривается как исследование векторных пространств, наделенных топологией, в частности бесконечномерных пространств . Напротив, линейная алгебра имеет дело в основном с конечномерными пространствами и не использует топологию. Важной частью функционального анализа является распространение теорий меры , интегрирования и вероятности на бесконечномерные пространства, также известное как бесконечномерный анализ .

Нормированные векторные пространства

Основной и исторически первый класс пространств, изучаемых в функциональном анализе, — полные нормированные векторные пространства над действительными или комплексными числами . Такие пространства называются банаховыми . Важным примером является гильбертово пространство , где норма возникает из скалярного произведения. Эти пространства имеют фундаментальное значение во многих областях, включая математическую формулировку квантовой механики , машинное обучение , уравнения в частных производных и анализ Фурье .

В более общем смысле функциональный анализ включает изучение пространств Фреше и других топологических векторных пространств, не наделенных нормой.

Важным объектом изучения функционального анализа являются непрерывные линейные операторы, определенные в банаховом и гильбертовом пространствах. Это естественным образом приводит к определению С*-алгебр и других операторных алгебр .

Гильбертовы пространства

Гильбертово пространство можно полностью классифицировать: существует единственное с точностью до изоморфизма гильбертово пространство для каждой мощности ортонормированного базиса . Конечномерные гильбертовы пространства полностью понятны в линейной алгебре , а бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны $\ell ^{\,2}(\aleph _{0})\,$. Поскольку разделимость важна для приложений, функциональный анализ гильбертовых пространств, следовательно, в основном касается этого пространства. Одной из открытых проблем функционального анализа является доказательство того, что каждый ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве имеет собственное инвариантное подпространство . Многие частные случаи этой проблемы инвариантного подпространства уже доказаны.

Банаховы пространства

Общие банаховые пространства сложнее гильбертовых пространств и не могут быть классифицированы так просто, как они. В частности, во многих банаховых пространствах отсутствует понятие, аналогичное ортонормированному базису .

Примеры банаховых пространств: $L^{p}$-пробелы для любого действительного числа $p\geq 1$. Учитывая также меру $\mu$ на съемочной площадке $X$, затем $L^{p}(X)$, иногда также обозначаемый $L^{p}(X,\mu )$ или $L^{p}(\mu )$, имеет в качестве векторов классы эквивалентности $[\,f\,]$ измеримых функций, которых абсолютное значение равно $p$-я степень имеет конечный интеграл; то есть функции $f$ для чего есть

$$\int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<\infty .$$

Если $\mu$ – считающая мера , то интеграл можно заменить суммой. То есть, мы требуем

$$\sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p}<\infty .$$

Тогда не приходится иметь дело с классами эквивалентности, и пространство обозначается $\ell ^{p}(X)$, написано проще $\ell ^{p}$ в случае, когда $X$ представляет собой набор неотрицательных целых чисел .

В банаховых пространствах большая часть исследования включает двойственное пространство : пространство всех непрерывных линейных отображений пространства в лежащее в его основе поле, так называемых функционалов. Банахово пространство можно канонически отождествить с подпространством его бидуального пространства, которое является двойственным его дуальному пространству. Соответствующее отображение является изометрией, но, вообще говоря, не является изометрией. Общее банахово пространство и его бидуальное пространство даже не обязательно должны быть изометрически изоморфными, в отличие от конечномерной ситуации. Это объясняется в статье о двойном пространстве.

Кроме того, понятие производной можно распространить на произвольные функции между банаховыми пространствами. См., например, производную статью Фреше .

и

Есть четыре основные теоремы, которые иногда называют четырьмя столпами функционального анализа:

• теорема Хана – Банаха
• теорема об открытом отображении
• теорема о замкнутом графике
• принцип равномерной ограниченности , также известный как теорема Банаха–Штайнхауза .

К важным результатам функционального анализа относятся:

Принцип

Основная статья: теорема Банаха-Штайнхауза

Принцип равномерной ограниченности , или теорема Банаха–Штайнхауза, является одним из фундаментальных результатов функционального анализа. Вместе с теоремой Хана-Банаха и теоремой об открытом отображении она считается одним из краеугольных камней в этой области. В своей основной форме он утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов (и, следовательно, ограниченных операторов), областью определения которых является банахово пространство , поточечная ограниченность эквивалентна равномерной ограниченности в операторной норме.

Теорема была впервые опубликована в 1927 году Стефаном Банахом и Хьюго Штейнхаусом, но она также была независимо доказана Гансом Ханом .

Теорема (принцип равномерной ограниченности) — Пусть $X$ быть банаховым пространством и $Y$ быть нормированным векторным пространством . Предположим, что $F$ представляет собой набор непрерывных линейных операторов из $X$ к $Y$. Если для всех $x$ в $X$ у одного есть

$$\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,$$

затем

$$\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .$$

теорема

Основная статья: Спектральная теорема

Существует множество теорем, известных как спектральная теорема , но одна, в частности, имеет множество приложений в функциональном анализе.

Спектральная теорема - Позволять $A$ — ограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве $H$. Тогда существует пространство с мерой $(X,\Sigma ,\mu )$ и вещественная существенно ограниченная измеримая функция $f$ на $X$ и унитарный оператор $U:H\to L_{\mu }^{2}(X)$ такой, что

$$U^{*}TU=A$$

где T — оператор умножения :

$$[T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x).$$

и $\|T\|=\|f\|_{\infty }$.

Это начало обширной области исследований функционального анализа, называемой теорией операторов ; см. также спектральную меру .

Существует также аналогичная спектральная теорема для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница в заключении состоит в том, что теперь $f$ может быть комплексным.

Хана

Основная статья: теорема Хана – Банаха

Теорема Хана –Банаха — центральный инструмент функционального анализа. Он позволяет расширить ограниченные линейные функционалы, определенные в подпространстве некоторого векторного пространства, на все пространство, а также показывает, что существует «достаточно» непрерывных линейных функционалов, определенных в каждом нормированном векторном пространстве, чтобы сделать изучение двойственного пространства «интересным». ".

Теорема Хана – Банаха: - Если $p:V\to \mathbb {R}$ является сублинейной функцией и $\varphi :U\to \mathbb {R}$ — линейный функционал на линейном подпространстве $U\subseteq V$ в котором преобладает $p$ на $U$; то есть,

$$\varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U$$

то существует линейное расширение $\psi :V\to \mathbb {R}$ из $\varphi$ на все пространство $V$ в котором преобладает $p$ на $V$; т. е. существует линейный функционал $\psi$ такой, что

$${\begin{aligned}\psi (x)&=\varphi (x)&\forall x\in U,\\\psi (x)&\leq p(x)&\forall x\in V.\end{aligned}}$$

открытом

Основная статья: Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)

Теорема об открытом отображении , также известная как теорема Банаха–Шаудера (названная в честь Стефана Банаха и Юлиуша Шаудера ), является фундаментальным результатом, который утверждает, что если непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами сюръективен , то он является открытым отображением . Точнее,

Теорема об открытом отображении - Если $X$ и $Y$ являются банаховыми пространствами и $A:X\to Y$ — сюръективный непрерывный линейный оператор, то $A$ является открытой картой (т.е. если $U$ представляет собой открытый набор в $X$, затем $A(U)$ открыт в $Y$).

В доказательстве используется теорема Бэра о категориях и полнота обеих $X$ и $Y$ является существенным для теоремы. Утверждение теоремы перестает быть верным, если любое пространство просто предполагается нормированным , но верно, если $X$ и $Y$ считаются пространствами Фреше .

замкнутом

Основная статья: Теорема о замкнутом графике

Теорема о замкнутом графике гласит следующее:Если $X$ является топологическим пространством и $Y$ — компактное хаусдорфово пространство , то график линейного отображения $T$ от $X$ к $Y$ закрыто тогда и только тогда, когда $T$ является непрерывным .

Другие темы

Основная статья: Список тем функционального анализа

Основы

Большинство пространств, рассматриваемых в функциональном анализе, имеют бесконечную размерность. Чтобы показать существование базиса векторного пространства для таких пространств, может потребоваться лемма Цорна . несколько другая концепция — базис Шаудера Однако в функциональном анализе обычно более актуальна . Многие теоремы требуют теоремы Хана-Банаха , обычно доказываемой с использованием выбранной аксиомы , хотя достаточно и строго более слабой булевой теоремы о простых идеалах . Теорема Бэра о категории , необходимая для доказательства многих важных теорем, также требует определенной формы аксиомы выбора.

Точки зрения

Функциональный анализ включает в себя следующие тенденции:

• Абстрактный анализ . Подход к анализу, основанный на топологических группах , топологических кольцах и топологических векторных пространствах .
• Геометрия банаховых пространств содержит множество тем. Один из них — комбинаторный подход, связанный с Жаном Бургеном ; другой — это характеристика банаховых пространств, в которых выполняются различные формы закона больших чисел .
• Некоммутативная геометрия . Разработан Аленом Конном , частично основываясь на более ранних понятиях, таких как Джорджа Макки подход к эргодической теории .
• Связь с квантовой механикой . Либо определяется узко, как в математической физике , либо широко интерпретируется, например, Израилем Гельфандом , включая большинство типов теории представлений .

См. также

• Список тем функционального анализа
• Спектральная теория

Дальнейшее чтение

• Алипрантис, CD, Border, KC: Бесконечный размерный анализ: Путеводитель для путешествующих автостопом , 3-е изд., Springer 2007, ISBN   978-3-540-32696-0 . Онлайн дои : 10.1007/3-540-29587-9 (по подписке)
• Бахман Г., Наричи Л.: Функциональный анализ , Academic Press, 1966. (перепечатка Dover Publications)
• Банах С. Теория линейных операций. Архивировано 28 октября 2021 г. в Wayback Machine . Том 38, Математическая библиотека Северной Голландии, 1987 г., ISBN   0-444-70184-2
• Брезис, Х .: Функциональный анализ , Дюно ISBN   978-2-10-004314-9 или ISBN   978-2-10-049336-4
• Конвей, Дж. Б .: Курс функционального анализа , 2-е издание, Springer-Verlag, 1994, ISBN   0-387-97245-5
• Данфорд Н. и Шварц Дж. Т .: Линейные операторы, Общая теория, John Wiley & Sons и другие 3 тома, включая диаграммы визуализации.
• Эдвардс, Р.Э.: Функциональный анализ, теория и приложения , Холд, Райнхарт и Уинстон, 1965.
• Эйдельман, Юлий, Виталий Мильман и Антонис Цсоломитис: Функциональный анализ: Введение , Американское математическое общество, 2004.
• Фридман А .: Основы современного анализа , Dover Publications, издание в мягкой обложке, 21 июля 2010 г.
• Джайлз, младший: Введение в анализ нормированных линейных пространств , издательство Кембриджского университета, 2000 г.
• Хирш Ф., Лакомб Г. - «Элементы функционального анализа», Springer 1999.
• Хатсон В., Пим Дж. С., Клауд М. Дж.: Приложения функционального анализа и теории операторов , 2-е издание, Elsevier Science, 2005 г., ISBN   0-444-51790-1
• Канторовиц, С., Введение в современный анализ , Oxford University Press, 2003, 2-е изд. 2006 г.
• Колмогоров А.Н. и Фомин С.В .: Элементы теории функций и функционального анализа , Dover Publications, 1999.
• Крейциг, Э .: Вводный функциональный анализ с приложениями , Wiley, 1989.
• Лакс, П .: Функциональный анализ , Wiley-Interscience, 2002, ISBN   0-471-55604-1
• Лебедев Л.П. и Ворович И.И. Функциональный анализ в механике , Springer-Verlag, 2002.
• Мишель, Энтони Н. и Чарльз Дж. Херге: Прикладная алгебра и функциональный анализ , Дувр, 1993.
• Питч, Альбрехт: История банаховых пространств и линейных операторов , Birkhäuser Boston Inc., 2007, ISBN   978-0-8176-4367-6
• Рид М. , Саймон Б .: «Функциональный анализ», Academic Press, 1980.
• Рисс Ф. и Сз-Надь Б.: Функциональный анализ , Dover Publications, 1990 г.
• Рудин, В .: Функциональный анализ , McGraw-Hill Science, 1991.
• Сакс, Карен: Начало функционального анализа , Springer, 2001 г.
• Шехтер, М.: Принципы функционального анализа , AMS, 2-е издание, 2001 г.
• Шилов, Георгий Э.: Элементарный функциональный анализ , Дувр, 1996.
• Соболев С.Л .: Приложения функционального анализа в математической физике , АМН, 1963.
• Фогт Д., Мейзе Р.: Введение в функциональный анализ , Oxford University Press, 1997.
• Йосида, К .: Функциональный анализ , Springer-Verlag, 6-е издание, 1980 г.

Внешние ссылки

• «Функциональный анализ» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Темы реального и функционального анализа , Джеральд Тешль , Венский университет.
• Конспект лекций по функциональному анализу Евгения Виленского, Нью-Йоркский университет.
• Видеолекции Грега Морроу по функциональному анализу. Архивировано 1 апреля 2017 г. в Wayback Machine из Университета Колорадо, Колорадо-Спрингс.