Теорема о замкнутом графике

Эта статья о теоремах о замкнутых графах в общей топологии . Чтобы узнать о теореме о замкнутом графике в функциональном анализе , см. Теорему о замкнутом графике (функциональный анализ) .

График кубической функции $f(x)=x^{3}-9x$ на интервале $[-4,4]$ замкнуто, поскольку функция непрерывна . График функции Хевисайда на $[-2,2]$ не замкнута, поскольку функция не является непрерывной.

В математике теорема о замкнутом графике может относиться к одному из нескольких основных результатов, характеризующих непрерывные функции с точки зрения их графиков . Каждый из них дает условия, при которых функции с замкнутыми графиками обязательно непрерывны.

Графики и карты с замкнутыми графиками

Основная статья: Закрытый граф

Если $f:X\to Y$ является отображением топологических пространств то график , $f$ это набор $\operatorname {Gr} f:=\{(x,f(x)):x\in X\}$ или эквивалентно,

$$\operatorname {Gr} f:=\{(x,y)\in X\times Y:y=f(x)\}$$

Говорят, что график $f$ закрыто , если $\operatorname {Gr} f$ является закрытым подмножеством $X\times Y$ (с топологией продукта ).

Любая непрерывная функция в хаусдорфовом пространстве имеет замкнутый график.

Любая линейная карта, $L:X\to Y,$ между двумя топологическими векторными пространствами, топологии которых (Коши) полны относительно трансляционно-инвариантных метрик, и если дополнительно (1a) $L$ секвенциально непрерывно в смысле топологии произведения, то отображение $L$ непрерывен и его график Gr L обязательно замкнут. И наоборот, если $L$ является таким линейным отображением, у которого вместо (1а) график $L$ известно, что (1b) замкнуто в декартовом пространстве произведений $X\times Y$, затем $L$ непрерывно и, следовательно, обязательно секвенциально непрерывно.

Примеры непрерывных карт, не имеющих замкнутого графа

Если $X$ это любое пространство, то тождественная карта $\operatorname {Id} :X\to X$ непрерывен, но его график, представляющий собой диагональ $\operatorname {Gr} \operatorname {Id} :=\{(x,x):x\in X\},$, закрыт в $X\times X$ тогда и только тогда, когда $X$ является Хаусдорф. В частности, если $X$ тогда это не Хаусдорф $\operatorname {Id} :X\to X$ непрерывна, но не имеет замкнутого графика.

Позволять $X$ обозначать действительные числа $\mathbb {R}$ с обычной евклидовой топологией и пусть $Y$ обозначать $\mathbb {R}$ с недискретной топологией (где заметим, что $Y$ является не Хаусдорфом и что каждая функция, имеющая значение в $Y$ является непрерывным). Позволять $f:X\to Y$ определяться $f(0)=1$ и $f(x)=0$ для всех $x\neq 0$. Затем $f:X\to Y$ непрерывен, но его график не замкнут в $X\times Y$.

Теорема о замкнутом графе в топологии множества точек

В топологии точечного множества теорема о замкнутом графике утверждает следующее:

Теорема о замкнутом графике - Если $f:X\to Y$ это карта топологического пространства $X$ в хаусдорфово пространство $Y,$ тогда график $f$ закрыто, если $f:X\to Y$ является непрерывным . Обратное верно, когда $Y$ компактен ​ . (Обратите внимание, что компактность и хаусдорфовость не предполагают друг друга.)

Доказательство

Первая часть по сути по определению.

Вторая часть:

Для любого открытого $V\subset Y$ , мы проверяем $f^{-1}(V)$ открыт. Так что бери любой $x\in f^{-1}(V)$ , мы построим некоторую открытую окрестность $U$ из $x$ , такой, что $f(U)\subset V$ .

Поскольку график $f$ замкнуто, для каждой точки $(x,y')$ на «вертикальной линии в точке x», с $y'\neq f(x)$ , нарисуйте открытый прямоугольник $U_{y'}\times V_{y'}$ не пересекается с графиком $f$ . Эти открытые прямоугольники, проецируемые на ось Y, закрывают ось Y, за исключением $f(x)$ , поэтому добавьте еще один набор $V$.

Наивно пытаясь взять $U:=\bigcap _{y'\neq f(x)}U_{y'}$ создаст набор, содержащий $x$, но его открытость не гарантируется, поэтому здесь мы используем компактность.

С $Y$ компактно, мы можем взять конечное открытое покрытие $Y$ как $\{V,V_{y'_{1}},...,V_{y'_{n}}\}$.

Теперь возьми $U:=\bigcap _{i=1}^{n}U_{y'_{i}}$. Это открытый район $x$, поскольку это всего лишь конечное пересечение. Мы утверждаем, что это открытая окрестности $U$ что мы хотим.

Предположим, нет, тогда есть какой-то неуправляемый $x'\in U$ такой, что $f(x')\not \in V$ , то это будет означать $f(x')\in V_{y'_{i}}$ для некоторых $i$ открытым укрытием, но затем $(x',f(x'))\in U\times V_{y'_{i}}\subset U_{y'_{i}}\times V_{y'_{i}}$ , противоречие, поскольку предполагается, что он не пересекается с графиком $f$ .

Нехаусдорфовые пространства встречаются редко, но некомпактные пространства встречаются часто. Пример некомпактного $Y$ — действительная линия, позволяющая разрывной функции с замкнутым графиком $f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}}{\text{ if }}x\neq 0,\\0{\text{ else}}\end{cases}}$.

Для функций с множеством значений

Теорема о замкнутом графике для многозначных функций — Для Хаусдорфа компактного пространства $Y$, функция с множеством значений $F:X\to 2^{Y}$ имеет замкнутый граф тогда и только тогда, когда он полунепрерывен сверху и F ( x ) является замкнутым множеством для всех $x\in X$.

В функциональном анализе

Основная статья: Теорема о замкнутом графике (функциональный анализ)

Если $T:X\to Y$ является линейным оператором между топологическими векторными пространствами (ТВП), то мы говорим, что $T$ является замкнутым оператором, если график $T$ закрыт в $X\times Y$ когда $X\times Y$ наделен топологией продукта.

Теорема о замкнутом графике — важный результат функционального анализа, гарантирующий непрерывность замкнутого линейного оператора при определенных условиях. Исходный результат многократно обобщался. Хорошо известная версия теорем о замкнутом графике состоит в следующем.

Теорема — Линейное отображение между двумя F-пространствами (например, банаховыми пространствами ) непрерывно тогда и только тогда, когда его график замкнут.

См. также

• Почти открытая линейная карта — карта, удовлетворяющая условию, аналогичному условию открытой карты. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Бочковое пространство - тип топологического векторного пространства.
• Закрытый график — график карты, закрытой в пространстве продукта. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Закрытый линейный оператор — график карты, замкнутой в пространстве продукта. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Прерывистая линейная карта
• Теорема Какутани о неподвижной точке - Теорема о неподвижной точке для многозначных функций
• Теорема об открытом отображении (функциональный анализ) - условие открытости линейного оператора.
• Теорема Урсеску - обобщение замкнутого графа, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности
• Перепончатое пространство - пространство, в котором выполняются теоремы об открытом отображении и закрытом графе.
• Основная теорема Зариского - Теорема алгебраической геометрии и коммутативной алгебры.

Библиография

• Бурбаки, Николя (1987) [1981]. Топологические векторные пространства: главы 1–5 . Элементы математики . Перевод Эгглстона, Х.Г.; Мадан, Южный Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-13627-4 . OCLC   17499190 .
• Фолланд, Джеральд Б. (1984), Реальный анализ: современные методы и их применение (1-е изд.), John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-80958-6
• Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: Б. Г. Тойбнер. ISBN  978-3-519-02224-4 . OCLC   8210342 .
• Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I. Основные принципы математических наук. Том 159. Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-642-64988-2 . МР   0248498 . OCLC   840293704 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN  978-0-13-181629-9 . OCLC   42683260 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .
• Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN  978-981-4488-15-0 . МР   1921556 . OCLC   285163112 – через Интернет-архив .
• «Доказательство теоремы о замкнутом графике» . ПланетаМатематика .