Ультраборнологическое пространство

В функциональном анализе топологическое векторное пространство (ТВП). $X$ называется ультраборнологическим , если каждый ограниченный линейный оператор из $X$в другой ТВС обязательно непрерывен . Общая версия теоремы о замкнутом графике справедлива для ультраборнологических пространств. Ультраборнологические пространства были введены Александром Гротендиком (Grotendieck [1955, стр. 17] «espace du type (β)»).

Определения

Позволять $X$ быть топологическим векторным пространством (ТВП).

Предварительные сведения

Диск — выпуклое и сбалансированное множество. Диск в ТВС $X$ называется родоядным если он поглощает каждое ограниченное подмножество $X.$

Линейное отображение между двумя TVS называется инфраограниченным. если он отображает банаховы диски в ограниченные диски.

Диск $D$ в ТВС $X$ называется инфраборноядным, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. $D$ поглощает все банаховы диски в $X.$

в то время как если $X$ локально выпуклый, то к этому списку можно добавить:

2. калибр ​ ​ $D$ — инфраграничная карта;

в то время как если $X$ локально выпуклая и хаусдорфова, то к этому списку можно добавить:

3. $D$ поглощает все компакт-диски; то есть, $D$ является «компактивным».

Ультраборнологическое пространство

ТВС $X$ является ультраборнологическим , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. каждый диск инфраноядных в $X$ – окрестность начала координат;

в то время как если $X$ является локально выпуклым пространством, то к этому списку можно добавить:

2. каждый ограниченный линейный оператор из $X$ в полную метризуемую TVS обязательно непрерывна;
3. каждый диск инфрарожденных является окрестностью 0;
4. $X$ — индуктивный предел пространств $X_{D}$ поскольку D меняется на всех компакт-дисках в $X$;
5. полунорма на $X$ ограниченная на каждом банаховом диске, обязательно непрерывна;
6. для всякого локально выпуклого пространства $Y$ и каждая линейная карта $u:X\to Y,$ если $u$ ограничено на каждом банаховом диске, тогда $u$ является непрерывным;
7. для каждого банахова пространства $Y$ и каждая линейная карта $u:X\to Y,$ если $u$ ограничено на каждом банаховом диске, тогда $u$ является непрерывным.

в то время как если $X$ является хаусдорфовым локально выпуклым пространством, то к этому списку можно добавить:

8. $X$ – индуктивный предел банаховых пространств;

Свойства

Каждое локально выпуклое ультраборнологическое пространство бочкообразно . квазиультраствольное пространство и борнологическое пространство , но существуют борнологические пространства, которые не являются ультраборнологическими.

• Каждое ультраборнологическое пространство $X$ — индуктивный предел семейства ядерных пространств Фреше , охватывающих $X.$
• Каждое ультраборнологическое пространство $X$ — индуктивный предел семейства ядерных DF-пространств , охватывающих $X.$

Примеры и достаточные условия

Конечное произведение локально выпуклых ультраборнологических пространств является ультраборнологическим. Индуктивные пределы ультраборнологических пространств являются ультраборнологическими.

Каждое хаусдорфово секвенциально полное борнологическое пространство является ультраборнологическим. Таким образом, любое полное хаусдорфово борнологическое пространство является ультраборнологическим. В частности, каждое пространство Фреше является ультраборнологическим.

Сильное дуальное пространство полного пространства Шварца является ультраборнологическим.

борнологическое пространство хаусдорфово Каждое квазиполное является ультраборнологическим.

Контрпримеры

Существуют ультрабочковые пространства , которые не являются ультраборнологическими. Существуют ультраборнологические пространства, которые не являются ультрабочонками.

См. также

• Ограниченный линейный оператор — линейное преобразование между топологическими векторными пространствами. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство) - Обобщение ограниченности
• Борнологическое пространство - Пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
• Борнология - математическое обобщение ограниченности.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Пространство линейных карт
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.
• Векторная борнология

Внешние ссылки

• Некоторые характеристики ультраборнологических пространств

Ссылки

• Хогбе-Нленд, Анри (1977). Борнология и функциональный анализ . Амстердам: North-Holland Publishing Co., стр. xii+144. ISBN  0-7204-0712-5 . МР   0500064 .
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-68143-6 . ОСЛК   30593138 .
• Гротендик, Александр (1955). «Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires» [Топологические тензорные произведения и ядерные пространства]. Мемуары Американского математического общества (на французском языке). 16 . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1216-7 . МР   0075539 . OCLC   1315788 .
• Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: Издательство Gordon and Breach Science. ISBN  978-0-677-30020-7 . OCLC   886098 .
• Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-11565-6 . OCLC   8588370 .
• Кригль, Андреас ; Михор, Питер В. (1997). Удобная настройка глобального анализа (PDF) . Математические обзоры и монографии. Том. 53. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-0780-4 . OCLC   37141279 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc.  978-0-486-49353-4 . OCLC   849801114 .