Интерполяционное пространство

В области математического анализа интерполяционное пространство — это пространство, которое находится «между» двумя другими банаховыми пространствами . Основные приложения находятся в пространствах Соболева , где пространства функций, имеющих нецелое число производных, интерполируются из пространств функций с целым числом производных.

История

Теория интерполяции векторных пространств началась с наблюдения Юзефа Марцинкевича , позже обобщенного и теперь известного как теорема Рисса-Торина . Проще говоря, если линейная функция непрерывна в некотором пространстве L ^п а также на некотором пространстве L ^д , то оно также непрерывно в пространстве L ^р , для любого промежуточного r между p и q . Другими словами, Л ^р — это пространство, промежуточное между L ^п и Л ^д .

При разработке пространств Соболева стало ясно, что пространства следов не являются обычными функциональными пространствами (с целым числом производных), и Жак-Луи Лионс обнаружил, что действительно эти пространства следов состоят из функций, имеющих нецелую степень. дифференцируемости.

Для генерации таких пространств функций было разработано множество методов, в том числе преобразование Фурье , комплексная интерполяция, реальная интерполяция, а также другие инструменты (см., например, дробную производную ).

Настройка интерполяции

Банахово пространство X называется непрерывно вложенным в хаусдорфово топологическое векторное пространство Z, если X является линейным подпространством Z таким, что отображение включения из X в Z непрерывно. ( Совместимая пара X0 , _{которые} X1 ) _X0 банаховых пространств состоит из двух банаховых пространств и _{и то же} X1 , _{непрерывно} топологическое векторное пространство Хаусдорфа Z. вложены в одно Вложение в линейное пространство Z позволяет рассмотреть два линейных подпространства

$X_{0}\cap X_{1}$

и

$X_{0}+X_{1}=\left\{z\in Z:z=x_{0}+x_{1},\ x_{0}\in X_{0},\,x_{1}\in X_{1}\right\}.$

Интерполяция не зависит только от изоморфных (и изометрических) классов эквивалентности X ₀ и X ₁ . Это существенным образом зависит от конкретного относительного положения , которое X ₀ и X ₁ занимают в большем пространстве Z .

можно определить Нормы на X ₀ ∩ X ₁ и X ₀ + X ₁ формулой

$\|x\|_{X_{0}\cap X_{1}}:=\max \left(\left\|x\right\|_{X_{0}},\left\|x\right\|_{X_{1}}\right),$

$\|x\|_{X_{0}+X_{1}}:=\inf \left\{\left\|x_{0}\right\|_{X_{0}}+\left\|x_{1}\right\|_{X_{1}}\ :\ x=x_{0}+x_{1},\;x_{0}\in X_{0},\;x_{1}\in X_{1}\right\}.$

С учетом этих норм пересечение и сумма являются банаховыми пространствами. Следующие включения непрерывны:

$X_{0}\cap X_{1}\subset X_{0},\ X_{1}\subset X_{0}+X_{1}.$

Интерполяция изучает семейство пространств X , которые являются промежуточными пространствами между X ₀ и X ₁ в том смысле, что

$X_{0}\cap X_{1}\subset X\subset X_{0}+X_{1},$

где два отображения включений непрерывны.

Примером такой ситуации является пара ( L ¹ ( Р ), Л ^∞ ( R )) , где два банаховых пространства непрерывно вложены в пространство Z измеримых функций на вещественной прямой, наделенное топологией сходимости по мере. В этой ситуации пространства L ^п ( R ) для 1 ≤ p ≤ ∞ являются промежуточными между L ¹ ( р ) и л ^∞ ( Р ) . В более общем смысле,

$L^{p_{0}}(\mathbf {R} )\cap L^{p_{1}}(\mathbf {R} )\subset L^{p}(\mathbf {R} )\subset L^{p_{0}}(\mathbf {R} )+L^{p_{1}}(\mathbf {R} ),\ \ {\text{when}}\ \ 1\leq p_{0}\leq p\leq p_{1}\leq \infty ,$

с непрерывными впрысками, так что при данном условии L ^п ( R ) занимает промежуточное положение между L ^{п ₀} ( р ) и л ^{п ₁} ( Р ) .

Определение. Учитывая две совместимые пары ( X ₀ , X ₁ ) и ( Y ₀ , Y ₁ ) , интерполяционная пара — это пара ( X , Y ) банаховых пространств с двумя следующими свойствами:

• Пространство X является промежуточным между X ₀ и X ₁ , а Y является промежуточным между Y ₀ и Y ₁ .
• Если L — любой линейный оператор из X ₀ + X ₁ в Y ₀ + Y ₁ , который непрерывно отображает X ₀ в Y ₀ и X ₁ в Y ₁ , то он также непрерывно отображает X в Y .

интерполяционная пара ( X , Y ) Говорят, что имеет показатель степени θ (при 0 < θ < 1 ), если существует константа C такая, что

$\|L\|_{X,Y}\leq C\|L\|_{X_{0},Y_{0}}^{1-\theta }\;\|L\|_{X_{1},Y_{1}}^{\theta }$

для всех операторов L, как указано выше. Обозначение || Л || _{X , Y} обозначает норму L отображение X в Y. как Если C = 1 , мы говорим, что ( X , Y ) — точная интерполяционная пара показателя θ .

Комплексная интерполяция

Если скаляры являются комплексными числами , свойства комплексных аналитических функций используются для определения пространства интерполяции. Учитывая совместимую пару ( X ₀ , X ₁ ) банаховых пространств, линейное пространство ${\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})$ состоит из всех функций   f : C → X ₀ + X ₁ , аналитических на S = { z : 0 < Re( z ) < 1}, непрерывных на S = { z : 0 ⩽ Re( z ) ⩽ 1}, и для которого ограничены все следующие подмножества:

{ ж ( z ) : z ∈ S } ⊂ Икс ₀ + Икс ₁ ,

{ ж ( оно ) : т ∈ р } ⊂ Икс ₀ ,

{ ж (1 + оно ) : т ∈ р } ⊂ Икс ₁ .

${\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})$ является банаховым пространством по норме

$\|f\|_{{\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}=\max \left\{\sup _{t\in \mathbf {R} }\|f(it)\|_{X_{0}},\;\sup _{t\in \mathbf {R} }\|f(1+it)\|_{X_{1}}\right\}.$

Определение. Для 0 < θ < 1 комплексное интерполяционное пространство ( X ₀ , X ₁ ) _θ является линейным подпространством X ₀ + X _1, состоящим из всех значений f ( θ ), когда f изменяется в предыдущем пространстве функций,

$(X_{0},X_{1})_{\theta }=\left\{x\in X_{0}+X_{1}:x=f(\theta ),\;f\in {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})\right\}.$

Норма в комплексном интерполяционном пространстве ( X ₀ , X ₁ ) _θ определяется формулой

$\ \|x\|_{\theta }=\inf \left\{\|f\|_{{\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})}\ :\ f(\theta )=x,\;f\in {\mathcal {F}}(X_{0},X_{1})\right\}.$

Оборудованное этой нормой комплексное интерполяционное пространство ( X ₀ , X ₁ ) _θ является банаховым пространством.

Теорема. Учитывая две совместимые пары банаховых пространств ( X ₀ , X ₁ ) и ( Y ₀ , Y ₁ ) , пара ( ( X ₀ , X ₁ ) _θ , ( Y ₀ , Y ₁ ) _θ ) является точной интерполяционной парой показатель θ , т. е. если T : X ₀ + X ₁ → Y ₀ + Y ₁ , является линейным оператором, ограниченным от X _j до Y _j , j = 0, 1 , то T ограничен из ( X ₀ , X ₁ ) _θ к ( Y ₀ , Y ₁ ) _θ и $$\|T\|_{\theta }\leq \|T\|_{0}^{1-\theta }\|T\|_{1}^{\theta }.$$

Семья Л. ^п пространства (состоящие из комплексных функций) хорошо себя ведут при комплексной интерполяции. Если ( R , Σ, µ ) — произвольное пространство с мерой , если 1 ⩽ p ₀ , p ₁ ⩽ ∞ и 0 < θ < 1 , то

$\left(L^{p_{0}}(R,\Sigma ,\mu ),L^{p_{1}}(R,\Sigma ,\mu )\right)_{\theta }=L^{p}(R,\Sigma ,\mu ),\qquad {\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},$

с равенством норм. Этот факт тесно связан с теоремой Рисса–Торина .

Реальная интерполяция

Существует два способа введения реального метода интерполяции . Первым и наиболее часто используемым при фактическом выявлении примеров интерполяционных пространств является K-метод. Второй метод, J-метод, дает те же пространства интерполяции, что и K-метод, когда параметр θ находится в (0, 1) . Согласование J- и K-методов важно для изучения двойственных интерполяционных пространств: по сути, двойственное интерполяционному пространству, построенному K-методом, оказывается пространством, построенным из двойственной пары J-методом; см. ниже .

К-метод

К-метод действительной интерполяции может использоваться для банаховых пространств над полем R действительных чисел .

Определение. Пусть ( X ₀ , X ₁ ) — совместимая пара банаховых пространств. Для t > 0 и каждого x ∈ X ₀ + X ₁ пусть

$K(x,t;X_{0},X_{1})=\inf \left\{\left\|x_{0}\right\|_{X_{0}}+t\left\|x_{1}\right\|_{X_{1}}\ :\ x=x_{0}+x_{1},\;x_{0}\in X_{0},\,x_{1}\in X_{1}\right\}.$

Изменение порядка двух пространств приводит к:

$K(x,t;X_{0},X_{1})=tK\left(x,t^{-1};X_{1},X_{0}\right).$

Позволять

${\begin{aligned}\|x\|_{\theta ,q;K}&=\left(\int _{0}^{\infty }\left(t^{-\theta }K(x,t;X_{0},X_{1})\right)^{q}\,{\tfrac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}},&&0<\theta <1,1\leq q<\infty ,\\\|x\|_{\theta ,\infty ;K}&=\sup _{t>0}\;t^{-\theta }K(x,t;X_{0},X_{1}),&&0\leq \theta \leq 1.\end{aligned}}$

K-метод вещественной интерполяции состоит в том, что в качестве K _{θ , q} ( X ₀ , X ₁ ) берется линейное подпространство X ₀ + X _{1 ,} состоящее из всех x таких, что || х || _{θ , q ; К} < ∞ .

Пример

Важным примером является случай пары ( L ¹ ( р , Σ, м ), L ^∞ ( R , Σ, µ )) , где функционал K ( t , f ; L ¹ , Л ^∞ ) можно вычислить явно. Мера µ предполагается σ -конечной . В этом контексте лучший способ разрезать функцию   f ∈ L ¹ + Л ^∞ как сумма двух функций   f ₀ ∈ L ¹   и   f ₁ ∈ L ^∞   состоит в том, чтобы для некоторого s > 0 выбрать функцию t и позволить   f ₁ ( x ) задаваться для всех x ∈ R формулой

$f_{1}(x)={\begin{cases}f(x)&|f(x)|<s,\\{\frac {sf(x)}{|f(x)|}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Оптимальный выбор s приводит к формуле

$K\left(f,t;L^{1},L^{\infty }\right)=\int _{0}^{t}f^{*}(u)\,du,$

где   f  ^∗ — перестановка f   .   убывающая

J-метод

Как и K-метод, J-метод можно использовать для реальных банаховых пространств.

Определение. Пусть ( X ₀ , X ₁ ) — совместимая пара банаховых пространств. Для t > 0 и для любого вектора x ∈ X ₀ ∩ X ₁ пусть $$J(x,t;X_{0},X_{1})=\max \left(\|x\|_{X_{0}},t\|x\|_{X_{1}}\right).$$

Вектор x в X ₀ + X ₁ принадлежит интерполяционному пространству J _{θ , q} ( X ₀ , X ₁ ) тогда и только тогда, когда его можно записать как

$x=\int _{0}^{\infty }v(t)\,{\frac {dt}{t}},$

где v ( t ) измеримо со значениями в X ₀ ∩ X ₁ и такое, что

$\Phi (v)=\left(\int _{0}^{\infty }\left(t^{-\theta }J(v(t),t;X_{0},X_{1})\right)^{q}\,{\tfrac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}<\infty .$

Норма x в J _{θ , q} ( X ₀ , X ₁ ) задается формулой

$\|x\|_{\theta ,q;J}:=\inf _{v}\left\{\Phi (v)\ :\ x=\int _{0}^{\infty }v(t)\,{\tfrac {dt}{t}}\right\}.$

Связь между методами интерполяции

Два реальных метода интерполяции эквивалентны, когда 0 < θ < 1 .

Теорема. Пусть ( X ₀ , X ₁ ) — совместимая пара банаховых пространств. Если 0 < θ < 1 и 1 ≤ q ≤ ∞ , то $$J_{\theta ,q}(X_{0},X_{1})=K_{\theta ,q}(X_{0},X_{1}),$$ с эквивалентностью норм .

Теорема охватывает вырожденные случаи, которые не были исключены: например, если X ₀ и X ₁ образуют прямую сумму, то пересечение и J-пространства являются нулевым пространством, а простое вычисление показывает, что K-пространства также являются нулевыми. .

При 0 < θ < 1 можно говорить с точностью до эквивалентной перенормировки о банаховом пространстве, полученном вещественным методом интерполяции с параметрами θ и q . Обозначение этого реального интерполяционного пространства: ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} . У одного это есть

$(X_{0},X_{1})_{\theta ,q}=(X_{1},X_{0})_{1-\theta ,q},\qquad 0<\theta <1,1\leq q\leq \infty .$

Для данного значения θ реальные интерполяционные пространства увеличиваются с увеличением q : если 0 < θ < 1 и 1 ≤ q ≤ r ≤ ∞ , справедливо следующее непрерывное включение:

$(X_{0},X_{1})_{\theta ,q}\subset (X_{0},X_{1})_{\theta ,r}.$

Теорема. Учитывая 0 < θ < 1 , 1 ≤ q ≤ ∞ и две совместимые пары ( X ₀ , X ₁ ) и ( Y ₀ , Y ₁ ) , пара (( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} , ( Y ₀ , Y ₁ ) _{θ , q} ) — точная интерполяционная пара показателя θ .

Комплексное интерполяционное пространство обычно не изоморфно одному из пространств, заданных вещественным методом интерполяции. Однако существует общая зависимость.

Теорема. Пусть ( X ₀ , X ₁ ) — совместимая пара банаховых пространств. Если 0 < θ < 1 , то $$(X_{0},X_{1})_{\theta ,1}\subset (X_{0},X_{1})_{\theta }\subset (X_{0},X_{1})_{\theta ,\infty }.$$

Примеры

Когда X ₀ = C ([0, 1]) и X ₁ = C ¹ ([0, 1]) , пространство непрерывно дифференцируемых функций на [0, 1] , метод интерполяции ( θ , ∞) для 0 < θ < 1 дает пространство Гёльдера C ^{0, я} показателя θ . Это связано с тем, что K-функционал K ( f , t ; X ₀ , X ₁ ) этой пары эквивалентен

$\sup \left\{|f(u)|,\,{\frac {|f(u)-f(v)|}{1+t^{-1}|u-v|}}\ :\ u,v\in [0,1]\right\}.$

только значения 0 < t < 1 Здесь интересны .

Реальная интерполяция между L ^п пробелы дает семейство пространств Лоренца . Предполагая 0 < θ < 1 и 1 ≤ q ≤ ∞ , имеем:

$\left(L^{1}(\mathbf {R} ,\Sigma ,\mu ),L^{\infty }(\mathbf {R} ,\Sigma ,\mu )\right)_{\theta ,q}=L^{p,q}(\mathbf {R} ,\Sigma ,\mu ),\qquad {\text{where }}{\tfrac {1}{p}}=1-\theta ,$

с эквивалентными нормами. Это следует из неравенства Харди и приведенного выше значения К-функционала для этой совместимой пары. Когда q = p , пространство Лоренца L ^{п , п} равен L ^п , вплоть до перенормировки. При q = ∞ пространство Лоренца L ^{п ,∞} равно слабому L ^п .

Теорема повторения

Промежуточное пространство X совместимой пары X0 , _, X1 ) _если называется принадлежащим классу θ (

$(X_{0},X_{1})_{\theta ,1}\subset X\subset (X_{0},X_{1})_{\theta ,\infty },$

при непрерывных инъекциях. Помимо всех действительных интерполяционных пространств ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} с параметром θ и 1 ≤ q ≤ ∞ , комплексное интерполяционное пространство ( X ₀ , X ₁ ) _θ является промежуточным пространством класса θ совместимой пары ( X ₀ , Икс ₁ ) .

Теоремы повторения, по сути, говорят, что интерполяция с параметром θ в некотором роде ведет себя как формирование выпуклой комбинации a = (1 − θ ) x ₀ + θx ₁ : взятие следующей выпуклой комбинации двух выпуклых комбинаций дает еще одну выпуклую комбинацию. комбинация.

Теорема. Пусть A ₀ , A ₁ — промежуточные пространства совместимой пары ( X ₀ , X ₁ ) класса θ ₀ и θ ₁ соответственно, причем 0 < θ ₀ ≠ θ ₁ < 1 . Когда 0 < θ < 1 и 1 ≤ q ≤ ∞ , имеем $$(A_{0},A_{1})_{\theta ,q}=(X_{0},X_{1})_{\eta ,q},\qquad \eta =(1-\theta )\theta _{0}+\theta \theta _{1}.$$

Примечательно, что при интерполяции реальным методом между A ₀ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 0 , q 0} и A ₁ = ( X ₀ , X ₁ ) _{θ 1 , q 1} , только значения θ ₀ и θ ₁ имеет значение. Кроме того, A ₀ и A ₁ могут быть комплексными интерполяционными пространствами между X ₀ и X ₁ с параметрами θ ₀ и θ ₁ соответственно.

Существует также теорема повторения для комплексного метода.

Теорема. Пусть ( X ₀ , X ₁ ) — совместимая пара комплексных банаховых пространств и предположим, что X ₀ ∩ X ₁ плотно в X ₀ и в X ₁ . Пусть А ₀ = ( Икс ₀ , Икс ₁ ) _{θ 0} и А ₁ = ( Икс ₀ , Икс ₁ ) _{θ 1} , где 0 ≤ θ ₀ ≤ θ ₁ ≤ 1 . Предположим далее, что X ₀ ∩ X ₁ плотно в A ₀ ∩ A ₁ . Тогда для каждого 0 ⩽ θ ⩽ 1 $$\left(\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta _{0}},\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta _{1}}\right)_{\theta }=(X_{0},X_{1})_{\eta },\qquad \eta =(1-\theta )\theta _{0}+\theta \theta _{1}.$$

Условие плотности всегда выполняется, когда X ₀ ⊂ X ₁ или X ₁ ⊂ X ₀ .

Двойственность

Пусть ( X ₀ , X ₁ ) совместимая пара и предположим, что X ₀ ∩ X ₁ плотно в X ₀ и в X ₁ . В этом случае отображение ограничения из (непрерывного) двойственного $X'_{j}$ X ∩ _j , j = 0, 1, двойственному X ₀ X к ₁ взаимно однозначно. Отсюда следует, что пара дуалов $\left(X'_{0},X'_{1}\right)$ — совместимая пара, непрерывно вложенная в двойственный ( Икс ₀ ∩ Икс ₁ )′ .

Для метода комплексной интерполяции справедлив следующий результат двойственности:

Теорема. Пусть ( X ₀ , X ₁ ) — совместимая пара комплексных банаховых пространств и предположим, что X ₀ ∩ X ₁ плотно в X ₀ и в X ₁ . Если X ₀ и X ₁ рефлексивны , то двойственное комплексному интерполяционному пространству получается интерполяцией двойственных чисел, $$((X_{0},X_{1})_{\theta })'=\left(X'_{0},X'_{1}\right)_{\theta },\qquad 0<\theta <1.$$

В общем случае двойственное пространство ( X ₀ , X ₁ ) _θ равно к $\left(X'_{0},X'_{1}\right)^{\theta },$ пространство, определенное вариантом комплексного метода. Методы верхнего θ и нижнего θ в общем случае не совпадают, но они совпадают, если хотя бы одно из X ₀ , X ₁ является рефлексивным пространством.

Для реального метода интерполяции двойственность сохраняется при условии, что параметр q конечен:

Теорема. Пусть 0 < θ < 1, 1 ⩽ q < ∞ и ( X ₀ , X ₁ ) — совместимая пара вещественных банаховых пространств. Предположим, что X ₀ ∩ X ₁ плотно в X ₀ и в X ₁ . Затем $$\left(\left(X_{0},X_{1}\right)_{\theta ,q}\right)'=\left(X'_{0},X'_{1}\right)_{\theta ,q'},$$ где ${\tfrac {1}{q'}}=1-{\tfrac {1}{q}}.$

Дискретные определения

Поскольку функция t → K ( x , t ) меняется регулярно (она возрастает, но ⁠ 1 / t ⁠ K ( x , t ) убывает), определение K _{θ , q} -нормы вектора n , ранее заданное интегралом, эквивалентно определению, заданному рядом. Этот ряд получается разбиением (0, ∞) на куски (2 ^н , 2 ^{п +1} ) равной массы для меры ⁠ d t / t ⁠ ,

$\|x\|_{\theta ,q;K}\simeq \left(\sum _{n\in \mathbf {Z} }\left(2^{-\theta n}K\left(x,2^{n};X_{0},X_{1}\right)\right)^{q}\right)^{\frac {1}{q}}.$

частном случае, когда непрерывно _В вложено в X1 _X0 , можно опустить часть ряда с отрицательными индексами n . В этом случае каждая из функций x → K ( x , 2 ^н ; X ₀ , X ₁ ) определяет эквивалентную норму на X ₁ .

Интерполяционное пространство ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} является «диагональным подпространством» ℓ ^д -сумма последовательности банаховых пространств (каждое из которых изоморфно X ₀ + X ₁ ). Следовательно, когда q конечно, двойственное ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} является фактором ℓ к ^п -сумма двойников, ⁠ 1 / p ⁠ + ⁠ 1 / q ⁠ = 1 , что приводит к следующей формуле для дискретной J _{θ , p} -нормы функционала x' в двойственном к ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} :

$\|x'\|_{\theta ,p;J}\simeq \inf \left\{\left(\sum _{n\in \mathbf {Z} }\left(2^{\theta n}\max \left(\left\|x'_{n}\right\|_{X'_{0}},2^{-n}\left\|x'_{n}\right\|_{X'_{1}}\right)\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\ :\ x'=\sum _{n\in \mathbf {Z} }x'_{n}\right\}.$

Обычная формула для дискретной J _{θ , p} -нормы получается заменой n на − n .

Дискретное определение облегчает изучение ряда вопросов, среди которых уже упоминавшаяся идентификация двойственного. Другими такими вопросами являются компактность или слабокомпактность линейных операторов. Лайонс и Пеэтре доказали, что:

Теорема. Если линейный оператор T компактен до от X ₀ банахова пространства Y и ограничен от X ₁ до Y , то T компактен от ( X ₀ , X ₁ ) _{θ , q} до Y, когда 0 < θ < 1 , 1 ≤ q ≤ ∞ .

Дэвис, Фигил, Джонсон и Пелчинский использовали интерполяцию в доказательстве следующего результата:

Теорема. Ограниченный линейный оператор между двумя банаховыми пространствами слабо компактен тогда и только тогда, когда он факторизуется через рефлексивное пространство .

Общий метод интерполяции

Пространство ℓ ^д используемое для дискретного определения, можно заменить произвольным пространством последовательностей Y с безусловным базисом и весами a _n = 2 ^{− θn} , б _п = 2 ^{(1− θ ) п} , которые используются для K _{θ , q} -нормы, можно заменить общими весами

$a_{n},b_{n}>0,\ \ \sum _{n=1}^{\infty }\min(a_{n},b_{n})<\infty .$

Интерполяционное пространство K ( X ₀ , X ₁ , Y , { a _n }, { b _n }) состоит из векторов x из X ₀ + X ₁ таких, что

$\|x\|_{K(X_{0},X_{1})}=\sup _{m\geq 1}\left\|\sum _{n=1}^{m}a_{n}K\left(x,{\tfrac {b_{n}}{a_{n}}};X_{0},X_{1}\right)\,y_{n}\right\|_{Y}<\infty ,$

{ yn _} — безусловный базис Y. где Этот абстрактный метод можно использовать, например, для доказательства следующего результата:

Теорема. Банахово пространство с безусловным базисом изоморфно дополняемому подпространству пространства с симметричным базисом .

Interpolation of Sobolev and Besov spaces

Доступно несколько результатов интерполяции для пространств Соболева и пространств Бесова на R. ^н ,

${\begin{aligned}&H_{p}^{s}&&s\in \mathbf {R} ,1\leq p\leq \infty \\&B_{p,q}^{s}&&s\in \mathbf {R} ,1\leq p,q\leq \infty \end{aligned}}$

Эти пространства являются пространствами измеримых функций на R ^н при s ≥ 0 и умеренных распределениях на R ^н когда с < 0 . В оставшейся части раздела будут использоваться следующие настройки и обозначения:

${\begin{aligned}0&<\theta <1,\\1&\leq p,p_{0},p_{1},q,q_{0},q_{1}\leq \infty ,\\s,&s_{0},s_{1}\in \mathbf {R} ,\\s_{\theta }&=(1-\theta )s_{0}+\theta s_{1},\\[4pt]{\frac {1}{p_{\theta }}}&={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},\\[4pt]{\frac {1}{q_{\theta }}}&={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}.\end{aligned}}$

Комплексная интерполяция хорошо работает в классе пространств Соболева. $H_{p}^{s}$ ( потенциальные пространства Бесселя ), а также пространства Бесова:

${\begin{aligned}\left(H_{p_{0}}^{s_{0}},H_{p_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta }&=H_{p_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1},1<p_{0},p_{1}<\infty .\\\left(B_{p_{0},q_{0}}^{s_{0}},B_{p_{1},q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta }&=B_{p_{\theta },q_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1}.\end{aligned}}$

Реальная интерполяция между пространствами Соболева может дать пространства Бесова, за исключением случаев, когда s ₀ = s ₁ ,

$\left(H_{p_{0}}^{s},H_{p_{1}}^{s}\right)_{\theta ,p_{\theta }}=H_{p_{\theta }}^{s}.$

Когда s ₀ ≠ s ₁ , но p ₀ = p ₁ , реальная интерполяция между пространствами Соболева дает пространство Бесова:

$\left(H_{p}^{s_{0}},H_{p}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q}=B_{p,q}^{s_{\theta }},\qquad s_{0}\neq s_{1}.$

Также,

${\begin{aligned}\left(B_{p,q_{0}}^{s_{0}},B_{p,q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q}&=B_{p,q}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1}.\\\left(B_{p,q_{0}}^{s},B_{p,q_{1}}^{s}\right)_{\theta ,q}&=B_{p,q_{\theta }}^{s}.\\\left(B_{p_{0},q_{0}}^{s_{0}},B_{p_{1},q_{1}}^{s_{1}}\right)_{\theta ,q_{\theta }}&=B_{p_{\theta },q_{\theta }}^{s_{\theta }},&&s_{0}\neq s_{1},p_{\theta }=q_{\theta }.\end{aligned}}$

См. также

• Теорема Рисса–Торина
• Теория интерполяции Марцинкевича

Ссылки

• Кальдерон, Альберто П. (1964), «Промежуточные пространства и интерполяция, комплексный метод», Studia Math. , 24 (2): 113–190, doi : 10,4064/см-24-2-113-190 .
• Львы, Жак-Луи. ; Пеэтре, Яак (1964), «Об одном классе интерполяционных пространств» , Ин-т. Высшие исследования Sci. Опубл. Математика. (на французском языке), 19 :5–68, doi : 10.1007/bf02684796 , S2CID   124471748 .
• Беннетт, Колин; Шарпли, Роберт (1988), Интерполяция операторов , Чистая и прикладная математика, том. 129, Academic Press, Inc., Бостон, Массачусетс, стр. xiv+469, ISBN.  978-0-12-088730-9 .
• Берг, Йоран; Лёфстрем, Йорген (1976), Интерполяционные пространства. Введение , Основы математических наук, вып. 223, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+207, ISBN.  978-3-540-07875-3 .
• Леони, Джованни (2017). Первый курс в пространствах Соболева: Второе издание . Аспирантура по математике . 181 . Американское математическое общество. стр. 734. ISBN   978-1-4704-2921-8 .
• Линденштраусс, Йорам ; Цафрири, Лиор (1979), Классические банаховы пространства. II Функциональные пространства , Результаты по математике и ее пограничным областям [Результаты по математике и смежным областям], вып. 97, Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+243, ISBN.  978-3-540-08888-2 .
• Тартар, Люк (2007), Введение в пространства Соболева и интерполяцию , Springer, ISBN  978-3-540-71482-8 .