Строго выпуклое пространство

В математике — строго выпуклое пространство это нормированное векторное пространство ( X , || ||), для которого замкнутый единичный шар является строго выпуклым множеством . Другими словами, строго выпуклое пространство — это пространство, для которого при любых двух различных точках x и y на единичной сфере ∂ B (т. е. границе единичного шара B пространства X ) отрезок, соединяющий x и y ∂ B. , пересекает только в точках х и у . Строгая выпуклость находится где-то между пространством внутреннего продукта (все пространства внутреннего продукта строго выпуклые) и общим нормированным пространством с точки зрения структуры. Это также гарантирует единственность наилучшего приближения элемента из X (строго выпуклого) из выпуклого подпространства Y при условии, что такое приближение существует.

Если нормированное пространство X полно Петтиса и удовлетворяет несколько более сильному свойству равномерной выпуклости (что подразумевает строгую выпуклость), то оно также рефлексивно по теореме Милмана – .

Свойства [ править ]

Следующие свойства эквивалентны строгой выпуклости.

Нормированное векторное пространство ( X , || ||) является строго выпуклым тогда и только тогда, когда x ≠ y и || х || = || й || = 1 вместе означают, что || х + у || < 2.
Нормированное векторное пространство ( X , || ||) является строго выпуклым тогда и только тогда, когда x ≠ y и || х || = || й || = 1 вместе означают, что || αx + (1 − α ) y || < 1 для всех 0 < α < 1.
Нормированное векторное пространство ( X , || ||) является строго выпуклым тогда и только тогда, когда x ≠ 0 и y ≠ 0 и || х + у || = || х || + || й || вместе подразумевают, что x = cy для некоторой константы c > 0 ;
Нормированное векторное пространство ( X , || ||) является строго выпуклым тогда и только тогда, когда модуль выпуклости δ для ( X , || ||) удовлетворяет условию δ (2) = 1.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Гебель, Казимеж (1970). «Выпуклость шаров и теоремы о неподвижной точке для отображений с нерасширяющим квадратом». Математическая композиция . 22 (3): 269–274.

Эта гиперболической геометрии статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .