Теория Томиты-Такесаки

В теории алгебр фон Неймана , части математической области функционального анализа , теория Томиты-Такесаки представляет собой метод построения модулярных автоморфизмов алгебр фон Неймана из полярного разложения некоторой инволюции. Это важно для теории факторов типа III и привело к созданию хорошей теории структуры этих ранее трудноразрешимых объектов.

Теория была представлена Минору Томитой ( 1967 ), но за его работой было трудно следить, и она по большей части не публиковалась, и на нее мало обращали внимания, пока Масамичи Такесаки ( 1970 ) не написал отчет о теории Томиты. ^{[ 1 ]}

Модульные автоморфизмы состояния

Предположим, что M — алгебра фон Неймана, действующая в гильбертовом пространстве H , а Ω — циклический и разделяющий вектор H означает нормы 1. ( Циклическое , что MΩ плотно в H , а разделяющее отображение из M в MΩ означает, что инъективное.) Пишем $\phi$ для векторного состояния $\phi (x)=(x\Omega ,\Omega )$ M H , так что построен из $\phi$ с использованием конструкции Гельфанда–Наймарка–Сигала . Поскольку Ω разделяющая, $\phi$ верен.

оператор S0 _{Мы можем определить (не обязательно ограниченный) антилинейный} на H с плотной областью определения MΩ, полагая $S_{0}(m\Omega )=m^{*}\Omega$ для всех m в M , и аналогичным образом мы можем определить (не обязательно ограниченный) антилинейный оператор F ₀ в H с плотной областью определения M'Ω , полагая $F_{0}(m\Omega )=m^{*}\Omega$ для m в M , где M ′ — коммутант M ′ .

Эти операторы замкнуты, и мы обозначим их замыкания через S и F = S *. Они имеют полярное разложение

{\begin{aligned}S=J|S|&=J\Delta ^{\frac {1}{2}}=\Delta ^{-{\frac {1}{2}}}J\\F=J|F|&=J\Delta ^{-{\frac {1}{2}}}=\Delta ^{\frac {1}{2}}J\end{aligned}}

где $J=J^{-1}=J^{*}$ представляет собой антилинейную изометрию H, называемую модульным сопряжением , и $\Delta =S^{*}S=FS$ — положительный (следовательно, самосопряженный) и плотно определенный оператор, называемый модулярным оператором .

Теорема о коммутации

Основной результат теории Томиты – Такесаки гласит, что:

\Delta ^{it}M\Delta ^{-it}=M

за все т и все такое

JMJ=M',

коммутант М.

Существует однопараметрическая группа модульных автоморфизмов. $\sigma ^{\phi _{t}}$ M , связанный с государством $\phi$ , определяемый $\sigma ^{\phi _{t}}(x)=\Delta ^{it}x\Delta ^{-it}$ .

Модульный оператор сопряжения J и 1-параметрическая унитарная группа $\Delta ^{it}$ удовлетворить

J\Delta ^{it}J=\Delta ^{it}

и

J\Delta J=\Delta ^{-1}.

Цикл Конна

Группа модулярных автоморфизмов алгебры фон Неймана M зависит от выбора состояния φ. Конн модулярного автоморфизма во внешней группе автоморфизмов M обнаружил, что изменение состояния не меняет образ . Точнее, учитывая два точных состояния φ и ψ M , мы можем найти унитарные элементы для _всех действительных u t M t таких , что

\sigma ^{\psi _{t}}(x)=u_{t}\sigma ^{\phi _{t}}(x)u_{t}^{-1}

так что модулярные автоморфизмы отличаются внутренними автоморфизмами, и, кроме того, u _t удовлетворяет условию 1-коцикла

u_{s+t}=u_{s}\sigma ^{\phi _{s}}(u_{t})

В частности, существует канонический гомоморфизм аддитивной группы действительных чисел во внешнюю группу автоморфизмов M , который не зависит от выбора точного состояния.

КМС заявляет

Термин «состояние КМС» происходит от условия Кубо-Мартина-Швингера в квантовой статистической механике .

Состояние KMS $\phi$ на алгебре фон Неймана M с заданной 1-параметрической группой автоморфизмов α _t — это состояние, фиксируемое автоморфизмами такое, что для каждой пары элементов A , B из M существует ограниченная непрерывная функция F в полосе 0 ⩽ Im( t ) ≤ 1 , голоморфный внутри, такой, что

{\begin{aligned}F(t)&=\phi (A\alpha _{t}(B)),\\F(t+i)&=\phi (\alpha _{t}(B)A)\end{aligned}}

Такесаки и Виннинк показали, что любое (точно полуконечное нормальное) состояние $\phi$ является состоянием KMS для 1-параметрической группы модульных автоморфизмов $\sigma ^{\phi _{-t}}$ . Более того, это характеризует модулярные автоморфизмы $\phi$ .

(В теории состояний KMS часто используется дополнительный параметр, обозначаемый β. В приведенном выше описании он был нормализован до 1 путем изменения масштаба однопараметрического семейства автоморфизмов.)

Структура факторов III типа

Выше мы видели, что существует канонический гомоморфизм δ группы вещественных чисел во внешнюю группу автоморфизмов алгебры фон Неймана, заданный модулярными автоморфизмами. Ядро δ является важным инвариантом алгебры. Для простоты предположим, что алгебра фон Неймана является фактором. Тогда возможности ядра δ таковы:

Вся настоящая линия. В этом случае δ тривиально, а фактор имеет тип I или II.
Собственная плотная подгруппа вещественной прямой. Тогда фактор называется фактором типа III ₀ .
Дискретная подгруппа, порожденная некоторым x > 0. Тогда фактор называется фактором типа III _λ с 0 < λ = exp(−2 π / x ) < 1, или иногда фактором Пауэрса.
Тривиальная группа 0. Тогда фактор называется фактором типа III ₁ . (В некотором смысле это общий случай.)

Левые гильбертовы алгебры

Основные результаты теории Томиты–Такесаки были доказаны с использованием левых и правых гильбертовых алгебр. ^{[ 2 ]}

Левая гильбертова алгебра — это алгебра ${\mathfrak {A}}$ с инволюцией x → x ^♯ и внутренний продукт (·,·) такой, что

Умножение слева на фиксированное a ∈ ${\mathfrak {A}}$ является ограниченным оператором.
♯ является сопряженным; другими словами ( xy , z ) = ( y , x ^♯С ) .
Инволюция ^♯ является предзакрытым.
Подалгебра, натянутая на все произведения xy , плотна в ${\mathfrak {|}}$ относительно внутреннего продукта.

Правая гильбертова алгебра определяется аналогично (с инволюцией ♭) с поменянными местами левым и правым местами в приведенных выше условиях.

(Унимодулярная) гильбертова алгебра — это левая гильбертова алгебра, для которой ♯ является изометрией, другими словами ( x , y ) = ( y ^♯, х ^♯) . В этом случае инволюция обозначается x * вместо x ^♯ и совпадает с модулярным сопряжением J . Это частный случай гильбертовых алгебр . Модульный оператор тривиален, а соответствующая алгебра фон Неймана представляет собой прямую сумму алгебр фон Неймана типа I и типа II.

Примеры:

Если M — алгебра фон Неймана, действующая в гильбертовом пространстве H с циклическим разделяющим единичным вектором v , то положим ${\mathfrak {A}}$ = Mv и определим ( xv )( yv ) = xyv и ( xv ) ^♯ = х * v . Вектор v является тождеством ${\mathfrak {A}}$ , так ${\mathfrak {A}}$ является единичной левой гильбертовой алгеброй. ^{[ 3 ]}
Если G — локально компактная группа, то векторное пространство всех непрерывных комплексных функций на G с компактным носителем является правой гильбертовой алгеброй, если умножение задается сверткой, а x ^♭( г ) знак равно Икс ( г ⁻¹)* . ^{[ 3 ]}

Для фиксированной левой гильбертовой алгебры ${\mathfrak {A}}$ , пусть H — его пополнение в гильбертовом пространстве. Умножение слева на x дает ограниченный оператор λ( x ) в H и, следовательно, *-гомоморфизм λ оператора ${\mathfrak {A}}$ в B ( H ). *-алгебра $\lambda ({\mathfrak {A}})$ порождает алгебру фон Неймана

{\cal {R}}_{\lambda }({\mathfrak {A}})=\lambda ({\mathfrak {A}})^{\prime \prime }.

Ключевое открытие Томиты касалось замечательных свойств замыкания оператора ^♯ и его полярное разложение. Если S обозначает это замыкание (линейно-сопряженный неограниченный оператор), пусть ∆ = S * S — положительный неограниченный оператор. Пусть S = J ∆ ^1/2 обозначим его полярное разложение . Тогда J — сопряженно-линейная изометрия, удовлетворяющая ^{[ 4 ]}

S=S^{-1},\,\,\,

J^{2}=I,\,\,\,

J\Delta J=\Delta ^{-1}\,\,\,

и

\,S=\Delta ^{-1/2}J

.

∆ называется модулярным оператором , а J — модульным сопряжением .

В Такесаки (2003 , стр. 5–17) есть автономное доказательство основной коммутационной теоремы Томиты-Такесаки:

\Delta ^{it}{\cal {R}}_{\lambda }({\mathfrak {A}})\Delta ^{-it}={\cal {R}}_{\lambda }({\mathfrak {A}})\,\,

и

\,\,J{\cal {R}}_{\lambda }({\mathfrak {A}})J={\cal {R}}_{\lambda }({\mathfrak {A}})^{\prime }.

Доказательство основано на вычислении операторного интеграла: ^{[ 5 ]}

e^{s/2}\Delta ^{1/2}\,(\Delta +e^{s})^{-1}=\int _{-\infty }^{\infty }{e^{-ist} \over e^{\pi t}+e^{-\pi t}}\,\Delta ^{it}\,{\rm {d}}t.

По теореме спектральной ^{[ 6 ]} что эквивалентно доказательству равенства с e ^х замена Δ; тождество для скаляров следует за контурным интегрированием. Оно отражает известный факт, что при подходящей нормировке функция ${\rm {sech}}$ является собственным преобразованием Фурье.

Примечания

^ Такесаки 2003 , стр. 38–39.
^ Такесаки 2003 , стр. 1–39.
^ Перейти обратно: ^а ^б Такэсаки 2003 , стр. 2.
^ Такесаки 2003 , стр. 4.
^ Такесаки 2003 , стр. 15–16.
^ Рудин 1991 .

Ссылки

Борчерс, Х.Дж. (2000), «О революции в квантовой теории поля с помощью модульной теории Томиты», Журнал математической физики , 41 (6): 3604–3673, Бибкод : 2000JMP....41.3604B , doi : 10.1063/1.533323 , MR 1768633
- Более длинная версия с доказательствами
Браттели, О .; Робинсон, Д.В. (1987), Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1, второе издание , Springer-Verlag, ISBN 3-540-17093-6
Конн, Ален (1973), «Классификация факторов типа III» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 4-я серия, 6 (2): 133–252, doi : 10.24033/asens.1247
Конн, Ален (1994), Некоммутативная геометрия , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5
Диксмье, Жак (1981), алгебры фон Неймана , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 27, перевод Ф. Джелле, Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-86308-9 , МР 0641217
Иноуэ, А. (2001) [1994], «Теория Томиты – Такесаки» , Энциклопедия математики , EMS Press
Лонго, Роберто (1978), «Простое доказательство существования модулярных автоморфизмов в приблизительно конечномерных алгебрах фон Неймана» , Pacific J. Math. , 75 : 199–205, doi : 10.2140/pjm.1978.75.199 , hdl : 2108/19146
Накано, Хидегоро (1950), «Алгебры Гильберта», Математический журнал Тохоку , вторая серия, 2 : 4–23, doi : 10.2748/tmj/1178245666 , MR 0041362
Педерсен, Г.К. (1979), C*-алгебры и их группы автоморфизмов , Монографии Лондонского математического общества, том. 14, Академик Пресс, ISBN 0-12-549450-5
Риффель, Массачусетс; ван Даэле, А. (1977), «Ограниченный операторный подход к теории Томиты – Такесаки», Pacific J. Math. , 69 : 187–221, doi : 10.2140/pjm.1977.69.187
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5 . OCLC 21163277 .
Штерн, А.И. (2001) [1994], «Алгебра Гильберта» , Энциклопедия математики , EMS Press
Саммерс, SJ (2006), «Модульная теория Томиты – Такесаки», Франсуаза, Жан-Пьер; Набер, Грегори Л.; Цун, Цоу Шеунг (ред.), Энциклопедия математической физики , Academic Press/Elsevier Science, Оксфорд, arXiv : math-ph/0511034 , Bibcode : 2005math.ph..11034S , ISBN 978-0-12-512660-1 , МР 2238867
Сандер, В.С. (1987), Приглашение к алгебре фон Неймана , Universitext, Springer , doi : 10.1007/978-1-4613-8669-8 , ISBN 978-0-387-96356-3
Стратила, Щербан; Жидо, Ласло (1979), Лекции по алгебрам фон Неймана. Переработка оригинала 1975 года. , перевод Сильвиу Телемана, Танбридж Уэллс: Abacus Press, ISBN 0-85626-109-2
Стратила, Шербан (1981), Модульная теория в операторных алгебрах , перевод Шербана Стрэтила, Танбридж Уэллс: Abacus Press, ISBN 0-85626-190-4
Такесаки, М. (1970), Теория Томиты модулярных гильбертовых алгебр и ее приложения , Lecture Notes Math., vol. 128, Спрингер, номер домена : 10.1007/BFb0065832 , ISBN. 978-3-540-04917-3
Такесаки, Масамичи (2003), Теория операторных алгебр. II , Энциклопедия математических наук, том. 125, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-42914-2 , МР 1943006
Томита, Минору (1967), «О канонических формах алгебр фон Неймана», Пятый симпозиум по функциональному анализу. (Университет Тохоку, Сендай, 1967) (на японском языке), Университет Тохоку, Сендай: Math. Ин-т, стр. 101–102, МР 0284822.
Томита, М. (1967), Квазистандартные алгебры фон Неймана , мимографическая заметка, неопубликовано

[1] Такесаки 2003 , стр. 38–39.

[2] Такесаки 2003 , стр. 1–39.

[tak-2-3] Перейти обратно: ^а ^б Такэсаки 2003 , стр. 2.

[4] Такесаки 2003 , стр. 4.

[5] Такесаки 2003 , стр. 15–16.

[FOOTNOTERudin1991-6] Рудин 1991 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem

v т и гильбертовы пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F

v т и банахового пространства Темы
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Banach–Mazur compactum Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics