Почти оператор Матье

В математической физике — почти оператор Матье , названный в честь сходства с оператором Матье. представил Эмиль Леонар Матье , возникает при изучении квантового эффекта Холла . Это дано

$[H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }u](n)=u(n+1)+u(n-1)+2\lambda \cos(2\pi (\omega +n\alpha ))u(n),\,$

действуя как самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве $\ell ^{2}(\mathbb {Z} )$. Здесь $\alpha ,\omega \in \mathbb {T} ,\lambda >0$ являются параметрами. В чистой математике его важность обусловлена ​​тем фактом, что он является одним из наиболее понятных примеров эргодического оператора Шрёдингера . Например, в трех задачах (теперь все решенных) из пятнадцати задач Барри Саймона об операторах Шредингера «для двадцать первого века» фигурировал почти оператор Матье. В физике почти операторы Матье можно использовать для изучения переходов металл-изолятор, например, в модели Обри-Андре .

Для $\lambda =1$, почти оператор Матье иногда называют уравнением Харпера .

«Проблема десяти мартини»

Структура спектра этого оператора была впервые выдвинута Марком Кацем , который предложил десять мартини за первое доказательство следующей гипотезы:

Для всех $\lambda \neq 0$, все иррационально $a$, и все целые числа $n_{1},n_{2}$, с $0<n_{1}+n_{2}a<1$, существует пробел для почти оператора Матье, на котором $k(E)=n_{1}+n_{2}a$, где $k(E)$ – интегральная плотность состояний .

назвал «сухой задачей десяти мартини», Эту задачу Барри Саймон поскольку она была «более сильной», чем более слабая задача, которая стала известна как «задача десяти мартини»:

Для всех $\lambda \neq 0$, все иррационально $a$, и все $\omega$спектр почти оператора Матье является канторовым множеством .

Спектральный класс

Если $\alpha$ является рациональным числом , то $H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }$— периодический оператор, и по теории Флоке его спектр чисто абсолютно непрерывен .

Теперь к случаю, когда $\alpha$ является иррациональным .С момента трансформации $\omega \mapsto \omega +\alpha$ минимален, то отсюда следует, что спектр $H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }$ не зависит от $\omega$. С другой стороны, в силу эргодичности носители абсолютно непрерывной, сингулярно непрерывной и чисто точечной частей спектра почти наверняка не зависят от $\omega$.Теперь известно, что

• Для $0<\lambda <1$, $H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }$ имеет заведомо чисто абсолютно непрерывный спектр. (Это была одна из проблем Саймона.)
• Для $\lambda =1$, $H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }$ заведомо имеет чисто сингулярный непрерывный спектр для любого иррационального $\alpha$.
• Для $\lambda >1$, $H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }$ имеет почти наверняка чистый точечный спектр и демонстрирует локализацию Андерсона . (Известно, что почти наверняка нельзя заменить на наверняка.)

Что спектральные меры сингулярны, когда $\lambda \geq 1$ следует (благодаря работам Йорама Ласта и Саймона) исходя из нижней оценки показателя Ляпунова $\gamma (E)$ данный

$\gamma (E)\geq \max\{0,\log(\lambda )\}.\,$

Эта нижняя оценка была независимо доказана Джозефом Авроном, Саймоном и Майклом Херманами после более раннего, почти строгого аргумента Сержа Обри и Жиля Андре. Фактически, когда $E$ принадлежит спектру, неравенство становится равенством (формула Обри–Андре), доказанным Жаном Бургеном и Светланой Житомирской .

Структура спектра

Бабочка Хофштадтера

Другая поразительная особенность почти оператора Матье состоит в том, что его спектр представляет собой канторово множество для всех иррациональных $\alpha$ и $\lambda >0$. Это было показано Авилой и Житомирской, решавшими тогда известную «задачу десяти мартини». (также одна из проблем Саймона) после нескольких более ранних результатов (включая общие и почти наверняка по параметрам).

Кроме того, известно, что мера Лебега спектра почти оператора Матье равна

$\operatorname {Leb} (\sigma (H_{\omega }^{\lambda ,\alpha }))=|4-4\lambda |\,$

для всех $\lambda >0$. Для $\lambda =1$ это означает, что спектр имеет нулевую меру (впервые это было предложено Дугласом Хофштадтером и позже стало одной из проблем Саймона). Для $\lambda \neq 1$, формула была открыта численно Обри и Андре и доказана Житомирской и Красовским. Ранее Последний доказали эту формулу для большинства значений параметров.

Исследование спектра для $\lambda =1$ приводит к бабочке Хофштадтера , где спектр показан в виде набора.