Теорема Атьи – Зингера об индексе

Теорема Атьи – Зингера об индексе

Поле	Дифференциальная геометрия
Первое доказательство	Майкл Атья и Айседор Сингер
Первое доказательство в	1963
Последствия	Chern–Gauss–Bonnet theorem Теорема Гротендика – Римана – Роха. Теорема о сигнатурах Хирцебруха Теорема Рохлина

В дифференциальной геометрии теорема об индексе Атьи-Зингера , доказанная Майклом Атьей и Исадором Сингером (1963), утверждает, что для эллиптического дифференциального оператора на компактном многообразии аналитический индекс (связанный с размерностью пространства решений) равен топологическому индексу (определенному через некоторые топологические данные). Он включает в себя множество других теорем, таких как теорема Черна-Гаусса-Бонне и теорема Римана-Роха , как частные случаи, и имеет приложения к теоретической физике .

История

Задачу об индексе для эллиптических дифференциальных операторов поставил Израиль Гельфанд . Он заметил гомотопическую инвариантность индекса и попросил дать для него формулу с помощью топологических инвариантов . Некоторые из мотивирующих примеров включали теорему Римана-Роха и ее обобщение, теорему Хирцебруха-Римана-Роха и сигнатурную теорему Хирцебруха . Фридрих Хирцебрух и Арман Борель доказали целостность рода Â спинового многообразия, и Атья предположил, что эту целостность можно было бы объяснить, если бы это был индекс оператора Дирака (который был переоткрыт Атьей и Зингером в 1961 году).

Теорема Атьи-Зингера была объявлена ​​в 1963 году. Доказательство, изложенное в этом объявлении, ими никогда не публиковалось, хотя оно присутствует в книге Пале. Он также появляется в «Семинаре Картана-Шварца 1963/64». который проходил в Париже одновременно с семинаром Ришара Пале в Принстонском университете . Последний доклад в Париже был сделан Атьей о многообразиях с краем. Их первое опубликованное доказательство заменили теорию кобордизмов первого доказательства на К-теорию , и они использовали ее для доказательства различных обобщений в другой серии статей.

• 1965: Сергей П. Новиков опубликовал свои результаты о топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина на гладких многообразиях.
• Робиона Кирби и Лорана К. Зибенмана , Результаты в сочетании с Рене Тома статьей доказал существование рациональных классов Понтрягина на топологических многообразиях. Рациональные классы Понтрягина являются важными компонентами теоремы об индексе на гладких и топологических многообразиях.
• 1969: Майкл Атья определяет абстрактные эллиптические операторы в произвольных метрических пространствах. Абстрактные эллиптические операторы стали главными героями теории Каспарова и некоммутативной дифференциальной геометрии Конна.
• 1971: Исадор Сингер предлагает комплексную программу будущего расширения теории индексов.
• 1972: Геннадий Каспаров публикует свою работу по реализации K-гомологии абстрактными эллиптическими операторами.
• 1973: Атья, Рауль Ботт и Виджай Патоди дали новое доказательство теоремы об индексе. используя уравнение теплопроводности , описанное в статье Мелроуза.
• 1977: Деннис Салливан устанавливает свою теорему о существовании и единственности липшицевых и квазиконформных структур на топологических многообразиях размерности, отличной от 4.
• 1983: Эзра Гетцлер мотивирован идеями Эдварда Виттена и Луис Альварес-Гоме дали краткое доказательство теоремы о локальном индексе для операторов, которые являются локальными операторами Дирака ; это охватывает многие полезные случаи.
• 1983: Николае Телеман доказывает, что аналитические индексы сигнатурных операторов со значениями в векторных расслоениях являются топологическими инвариантами.
• 1984: Телеман устанавливает теорему об индексе топологических многообразий.
• 1986: Ален Конн публикует свою фундаментальную статью по некоммутативной геометрии .
• 1989: Саймон К. Дональдсон и Салливан изучают теорию Янга – Миллса на квазиконформных многообразиях размерности 4. Они вводят сигнатурный оператор S, определенный на дифференциальных формах степени два.
• 1990: Конн и Анри Московичи доказывают формулу локального индекса в контексте некоммутативной геометрии.
• 1994: Конн, Салливан и Телеман доказывают теорему об индексе для сигнатурных операторов на квазиконформных многообразиях.

Обозначения

• X — компактное гладкое многообразие (без края).
• E и F гладкие векторные расслоения над X. —
• D эллиптический дифференциальный оператор из E в F. — Таким образом, в локальных координатах он действует как дифференциальный оператор, переводя гладкие участки E в гладкие участки F .

Символ дифференциального оператора

Если D — дифференциальный оператор в евклидовом пространстве порядка n от k переменных $x_{1},\dots ,x_{k}$, то его символ является функцией 2 k переменных $x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}$, заданный удалением всех членов порядка меньше n и заменой $\partial /\partial x_{i}$ к $y_{i}$. Таким образом, символ однороден по переменным y степени n . Символ четко определен, хотя $\partial /\partial x_{i}$ не ездит с $x_{i}$ потому что мы сохраняем только члены высшего порядка, а дифференциальные операторы коммутируют «с точностью до членов более низкого порядка». Оператор называется эллиптическим , если его символ ненулевой, если хотя бы один y не равен нулю.

Пример: оператор Лапласа в k переменных имеет символ $y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}$, и поэтому является эллиптическим, поскольку оно не равно нулю, когда любое из $y_{i}$ненулевые. Волновой оператор имеет символ $-y_{1}^{2}+\cdots +y_{k}^{2}$, который не является эллиптическим, если $k\geq 2$, поскольку символ исчезает для некоторых ненулевых значений y s.

Символ дифференциального оператора порядка n на гладком многообразии X определяется почти таким же образом с использованием локальных координатных карт и является функцией на кокасательном расслоении X , однородной степени n в каждом кокасательном пространстве. (В целом, дифференциальные операторы преобразуются довольно сложным образом при преобразовании координат (см. расслоение струй ); однако члены высшего порядка преобразуются как тензоры, поэтому мы получаем хорошо определенные однородные функции на кокасательных пространствах, которые не зависят от выбора локальных карт .) В более общем смысле, символ дифференциального оператора между двумя векторными расслоениями E и F сечение обратного образа расслоения Hom( E , F ) к кокасательному пространству X. представляет собой Дифференциальный оператор называется эллиптическим , если элемент Hom( E _x , F _x ) обратим для всех ненулевых котангенс векторов в любой точке x множества X .

Ключевым свойством эллиптических операторов является то, что они почти обратимы; это тесно связано с тем, что их символы почти обратимы. Точнее, эллиптический оператор D на компактном многообразии имеет (неединственный) параметрикс (или псевдообратный ) D ′ такой, что DD′-1 и D′D-1 оба являются компактными операторами. Важным следствием является то, что ядро ​​оператора D конечномерно, поскольку все собственные пространства компактных операторов, кроме ядра, конечномерны. (Псевдообратный эллиптический дифференциальный оператор почти никогда не является дифференциальным оператором. Однако это эллиптический псевдодифференциальный оператор .)

Аналитический индекс

Поскольку эллиптический дифференциальный оператор D имеет псевдообратный, он является оператором Фредгольма . Любой оператор Фредгольма имеет индекс , определяемый как разность между (конечной) размерностью ядра D ( D) . решения Df = 0) и (конечной) размерностью коядра оператора D (ограничениями на правую часть часть неоднородного уравнения типа Df = g или, что то же самое, ядро ​​сопряженного оператора). Другими словами,

Индекс ( D ) = тусклый Кер (D) − тусклый Кокер ( D ) = тусклый Кер (D) − тусклый Кер ( D * ).

называют аналитическим D. индексом Иногда его

Пример: предположим, что многообразие представляет собой круг (представляемый как R / Z ), а D — оператор d/dx − λ для некоторой комплексной константы λ. (Это простейший пример эллиптического оператора.) Тогда ядро ​​представляет собой пространство кратных exp(λ x ), если λ является целым кратным 2π i и равно 0 в противном случае, а ядро ​​сопряженного оператора представляет собой аналогичное пространство с заменой λ на его комплексно-сопряженную величину. Итак, D имеет индекс 0. Этот пример показывает, что ядро ​​и коядро эллиптических операторов могут скачкообразно изменяться при изменении эллиптического оператора, поэтому не существует хорошей формулы для их размерностей в терминах непрерывных топологических данных. Однако скачки размеров ядра и коядра одинаковы, поэтому индекс, определяемый разностью их размерностей, действительно непрерывно меняется и может быть задан через топологические данные по теореме об индексе.

Топологический индекс

Топологический индекс эллиптического дифференциального оператора $D$ между гладкими векторными расслоениями $E$ и $F$ на $n$-мерное компактное многообразие $X$ дается

$(-1)^{n}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)[X]=(-1)^{n}\int _{X}\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)$

другими словами, значение верхней размерной компоненты класса смешанных когомологий $\operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)$ о фундаментальном классе гомологии многообразия $X$ с точностью до разницы знаков.Здесь,

• $\operatorname {Td} (X)$ является классом Тодда комплексифицированного касательного расслоения $X$.
• $\operatorname {ch} (D)$ равно $\varphi ^{-1}(\operatorname {ch} (d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))))$, где
  • $\varphi :H^{k}(X;\mathbb {Q} )\to H^{n+k}(B(X)/S(X);\mathbb {Q} )$ — изоморфизм Тома для расслоения сфер $p:B(X)/S(X)\to X$
  • $\operatorname {ch} :K(X)\otimes \mathbb {Q} \to H^{*}(X;\mathbb {Q} )$ это персонаж Черна
  • $d(p^{*}E,p^{*}F,\sigma (D))$ является «элементом различия» в $K(B(X)/S(X))$ связанный с двумя векторными расслоениями $p^{*}E$ и $p^{*}F$ на $B(X)$ и изоморфизм $\sigma (D)$ между ними в подпространстве $S(X)$.
  • $\sigma (D)$ является символом $D$

В некоторых ситуациях можно упростить приведенную выше формулу для вычислительных целей. В частности, если $X$ это $2m$-мерное ориентируемое (компактное) многообразие с ненулевым классом Эйлера $e(TX)$, затем применив изоморфизм Тома и разделив на класс Эйлера, топологический индекс может быть выражен как

$(-1)^{m}\int _{X}{\frac {\operatorname {ch} (E)-\operatorname {ch} (F)}{e(TX)}}\operatorname {Td} (X)$

где разделение имеет смысл путем вытягивания $e(TX)^{-1}$ обратно из кольца когомологий классифицирующего пространства $BSO$.

Можно также определить топологический индекс, используя только K-теорию (и это альтернативное определение в определенном смысле совместимо с приведенной выше конструкцией характера Черна). Если X — компактное подмногообразие многообразия Y , то существует прямое (или «кричащее») отображение K( TX ) в K( TY ). Топологический индекс элемента K( TX ) определяется как образ этой операции с Y некоторым евклидовым пространством, для которого K( TY ) естественным образом отождествляется с целыми числами Z (как следствие боттовской периодичности). Это отображение не зависит от вложения X в евклидово пространство. Теперь дифференциальный оператор, как указано выше, естественным образом определяет элемент K( TX ), а образ в Z при этом отображении «является» топологическим индексом.

Как обычно, D — эллиптический дифференциальный оператор между векторными расслоениями E и F над компактным многообразием X .

заключается Проблема индекса в следующем: вычислить (аналитический) индекс D, используя только символ s и топологические данные, полученные из многообразия и векторного расслоения. Теорема об индексе Атьи – Зингера решает эту проблему и утверждает:

Аналитический индекс D равен его топологическому индексу.

Несмотря на свое сложное определение, топологический индекс обычно легко вычислить явно. Это дает возможность оценить аналитический показатель. (Коядро и ядро ​​эллиптического оператора, как правило, чрезвычайно сложно вычислить по отдельности; теорема об индексе показывает, что мы обычно можем, по крайней мере, оценить их разницу .) Многие важные инварианты многообразия (например, сигнатура) могут быть заданы как индекс подходящих дифференциальных операторов, поэтому теорема об индексе позволяет нам оценивать эти инварианты с точки зрения топологических данных.

Хотя аналитический индекс обычно трудно оценить напрямую, он, по крайней мере, очевидно, является целым числом. Топологический индекс по определению является рациональным числом, но из определения обычно совсем не очевидно, что оно также является целым. Таким образом, теорема об индексе Атьи – Зингера подразумевает некоторые глубокие свойства целостности, поскольку из нее следует, что топологический индекс является целым.

Индекс эллиптического дифференциального оператора, очевидно, обращается в нуль, если оператор самосопряженный. Он также обращается в нуль, если многообразие X имеет нечетную размерность, хотя существуют псевдодифференциальные эллиптические операторы, индекс которых не обращается в нуль в нечетных измерениях.

к Гротендику-Риману

Теорема Гротендика -Римана-Роха была одной из основных мотиваций теоремы об индексе, поскольку теорема об индексе является аналогом этой теоремы в случае реальных многообразий. Теперь, если есть карта $f:X\to Y$ компактных стабильно почти комплексных многообразий, то существует коммутативная диаграмма

${\begin{array}{ccc}&&&\\&K(X)&{\xrightarrow[{}]{{\text{Td}}(X)\cdot {\text{ch}}}}&H(X;\mathbb {Q} )&\\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f_{*}\\&K(Y)&{\xrightarrow[{{\text{Td}}(Y)\cdot {\text{ch}}}]{}}&H(Y;\mathbb {Q} )&\\&&&\\\end{array}}$

если $Y=*$ является точкой, то мы восстанавливаем приведенное выше утверждение. Здесь $K(X)$ — группа Гротендика комплексных векторных расслоений. Эта коммутативная диаграмма формально очень похожа на теорему GRR, поскольку группы когомологий справа заменены кольцом Чоу гладкого многообразия, а группа Гротендика слева задается группой Гротендика алгебраических векторных расслоений.

Атьи – Зингера

Телемана

Благодаря ( Телеман 1983 ), ( Телеман 1984 ):

Для любого абстрактного эллиптического оператора ( Атья 1970 ) на замкнутом ориентированном топологическом многообразии аналитический индекс равен топологическому индексу.

Доказательство этого результата основано на конкретных соображениях, включая распространение теории Ходжа на комбинаторные и липшицевы многообразия ( Телеман 1980 ), ( Телеман 1983 ), распространение сигнатурного оператора Атьи-Зингера на липшицевы многообразия ( Телеман 1983 ), К-каспарова гомология ( Каспаров 1972 ) и топологический кобордизм ( Кирби и Зибенманн 1977 ).

Этот результат показывает, что теорема об индексе — это не просто утверждение о дифференцируемости, а скорее топологическое утверждение.

Салливана – Телемана об

По причине ( Дональдсон и Салливан, 1989 г. ), ( Конн, Салливан и Телеман, 1994 г. ):

Для любого квазиконформного многообразия существует локальная конструкция характеристических классов Хирцебруха–Тома.

Эта теория основана на сигнатурном операторе S , определенном на дифференциальных формах средней степени на четномерных квазиконформных многообразиях (ср. ( Donaldson & Sullivan 1989 )).

Используя топологический кобордизм и K-гомологию, можно дать полную формулировку теоремы об индексе квазиконформных многообразий (см. стр. 678 книги ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 )). Работа ( Конн, Салливан и Телеман, 1994 ) «предлагает локальные конструкции для характеристических классов, основанные на родственниках более высокой размерности измеримого отображения Римана в измерении два и теории Янга – Миллса в измерении четыре».

Эти результаты представляют собой значительный прогресс в направлении программы Сингера «Перспективы математики» ( Singer 1971 ). В то же время они также обеспечивают эффективную конструкцию рациональных классов Понтрягина на топологических многообразиях. Статья ( Телеман, 1985 ) обеспечивает связь между оригинальной конструкцией Тома рациональных классов Понтрягина ( Том, ​​1956 ) и теорией индекса.

Важно отметить, что формула индекса является топологическим утверждением. Теории препятствий Милнора, Кервера, Кирби, Зибенмана, Салливана, Дональдсона показывают, что лишь меньшинство топологических многообразий обладает дифференцируемыми структурами, и они не обязательно уникальны. Результат Салливана о Липшице и квазиконформных структурах ( Салливан, 1979 ) показывает, что любое топологическое многообразие в размерности, отличной от 4, обладает такой структурой, которая уникальна (с точностью до изотопии, близкой к тождеству).

Квазиконформные структуры ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ) и, в более общем плане, L ^п -структуры, p > n ( n +1)/2, введенные М. Хилсумом ( Hilsum 1999 ), являются слабейшими аналитическими структурами на топологических многообразиях размерности n, для которых, как известно, справедлива теорема об индексе.

Другие расширения

• Теорема Атьи-Зингера применяется к эллиптическим псевдодифференциальным операторам во многом так же, как и к эллиптическим дифференциальным операторам. Фактически, по техническим причинам большинство ранних доказательств работали с псевдодифференциальными, а не с дифференциальными операторами: их дополнительная гибкость облегчила некоторые этапы доказательства.
• Вместо работы с эллиптическим оператором между двумя векторными расслоениями иногда удобнее работать с эллиптическим комплексом.
  $$0\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \dotsm \rightarrow E_{m}\rightarrow 0$$
  векторных расслоений. Разница в том, что символы теперь образуют точную последовательность (за пределами нулевого участка). В случае, когда в комплексе есть только два ненулевых расслоения, это означает, что символ является изоморфизмом нулевого сечения, поэтому эллиптический комплекс с двумя членами по сути то же самое, что эллиптический оператор между двумя векторными расслоениями. И наоборот, теорему об индексе для эллиптического комплекса можно легко свести к случаю эллиптического оператора: два векторных расслоения задаются суммами четных или нечетных членов комплекса, а эллиптический оператор представляет собой сумму операторов эллиптический комплекс и его сопряженные, ограниченные суммой четных расслоений.
• Если многообразию разрешено иметь границу, то необходимо наложить некоторые ограничения на область определения эллиптического оператора, чтобы обеспечить конечный индекс. Эти условия могут быть локальными (например, требование, чтобы сечения области исчезали на границе) или более сложными глобальными условиями (например, требование, чтобы сечения области решали какое-то дифференциальное уравнение). Локальный случай был разработан Атьей и Боттом, но они показали, что многие интересные операторы (например, сигнатурный оператор ) не допускают локальных граничных условий. Чтобы справиться с этими операторами, Атья , Патоди и Сингер ввели глобальные граничные условия, эквивалентные присоединению цилиндра к многообразию вдоль границы, а затем ограничению области измерения теми сечениями, которые интегрируемы с квадратом вдоль цилиндра. Эта точка зрения принята в доказательстве Мелроузом (1993) теоремы об индексе Атьи–Патоди–Зингера .
• Вместо одного эллиптического оператора можно рассмотреть семейство эллиптических операторов, параметризованное некоторым пространством Y . В этом случае индекс является элементом K-теории Y , а не целым числом. Если операторы в семействе вещественные, то индекс принадлежит вещественной K-теории Y . Это дает немного дополнительной информации, поскольку отображение реальной K-теории Y в комплексную K-теорию не всегда инъективно.
• Если существует групповое действие группы G на компактном многообразии X , коммутирующее с эллиптическим оператором, то обычную К-теорию заменяют эквивариантной К-теорией . Более того, можно получить обобщения теоремы Лефшеца о точке с членами, происходящими из подмногообразий с неподвижной точкой группы G. неподвижной См. также: теорема об эквивариантном индексе .
• Атья (1976) показал, как распространить теорему об индексе на некоторые некомпактные многообразия, на которые действует дискретная группа с компактным фактором. Ядро эллиптического оператора в этом случае, вообще говоря, бесконечномерно, но можно получить конечный индекс, используя размерность модуля над алгеброй фон Неймана ; этот индекс обычно имеет вещественное, а не целочисленное значение. Эта версия называется L. ² теорема об индексе и была использована Атьей и Шмидом (1977) для повторного вывода свойств представлений дискретных серий полупростых групп Ли .
• Теорема Каллиаса об индексе — это теорема об индексе оператора Дирака в некомпактном нечетномерном пространстве. Индекс Атьи – Зингера определен только на компактных пространствах и обращается в нуль, когда их размерность нечетна. В 1978 году Константин Каллиас по предложению доктора философии. Советник Роман Джекив использовал осевую аномалию для вывода этой теоремы об индексе в пространствах, оснащенных эрмитовой матрицей, называемой полем Хиггса . Индекс оператора Дирака является топологическим инвариантом, который измеряет намотку поля Хиггса на сферу на бесконечности. Если U — единичная матрица в направлении поля Хиггса, то индекс пропорционален интегралу от U ( dU ) ^{п -1} над ( n −1)-сферой на бесконечности. Если n четное, оно всегда равно нулю.
  • Топологическая интерпретация этого инварианта и его связь с индексом Хёрмандера , предложенная Борисом Федосовым и обобщенная Ларсом Хёрмандером , была опубликована Раулем Боттом и Робертом Томасом Сили .

Примеры

Chern-Gauss-Bonnet theorem

Предположим, что $M$ представляет собой компактное ориентированное многообразие размерности $n=2r$. Если мы возьмем $\Lambda ^{\text{even}}$ быть суммой четных внешних степеней коткасательного расслоения и $\Lambda ^{\text{odd}}$ чтобы быть суммой нечетных степеней, определите $D=d+d^{*}$, рассматриваемая как карта из $\Lambda ^{\text{even}}$ к $\Lambda ^{\text{odd}}$. Тогда аналитический показатель $D$ это эйлерова характеристика $\chi (M)$ Ходжа когомологий ​ $M$, а топологический индекс — это интеграл класса Эйлера по многообразию. Формула индекса для этого оператора дает теорему Черна – Гаусса – Бонне .

Конкретное вычисление происходит следующим образом: согласно одному варианту принципа расщепления , если $E$ является действительным векторным расслоением размерности $n=2r$, для доказательства утверждений, касающихся характеристических классов, можно предположить, что существуют комплексные линейные расслоения $l_{1},\,\ldots ,\,l_{r}$ такой, что $E\otimes \mathbb {C} =l_{1}\oplus {\overline {l_{1}}}\oplus \dotsm l_{r}\oplus {\overline {l_{r}}}$. Поэтому можно рассматривать корни Чженя $x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}(l_{i})$, $x_{r+i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}{\mathord {\left({\overline {l_{i}}}\right)}}=-x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )$, $i=1,\,\ldots ,\,r$.

Используя корни Чженя, как указано выше, и стандартные свойства класса Эйлера, мы имеем, что ${\textstyle e(TM)=\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )}$. Что касается персонажа Черна и класса Тодда,

${\begin{aligned}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{\text{even}}-\Lambda ^{\text{odd}}\right)}}&=1-\operatorname {ch} (T^{*}M\otimes \mathbb {C} )+\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}-\ldots +(-1)^{n}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{n}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}\\&=1-\sum _{i}^{n}e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\sum _{i<j}e^{-x_{i}}e^{-x_{j}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\ldots +(-1)^{n}e^{-x_{1}}\dotsm e^{-x_{n}}(TM\otimes \mathbb {C} )\\&=\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)(TM\otimes \mathbb {C} )\\[3pt]\operatorname {Td} (TM\otimes \mathbb {C} )&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )\end{aligned}}$

Применяя теорему об индексе,

$\chi (M)=(-1)^{r}\int _{M}{\frac {\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)}{\prod _{i}^{r}x_{i}}}\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )=(-1)^{r}\int _{M}(-1)^{r}\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )=\int _{M}e(TM)$

которая является «топологической» версией теоремы Черна-Гаусса-Бонне (геометрическая получается путем применения гомоморфизма Черна-Вейля ).

Теорема Хирцебруха–Римана–Роха

В качестве X возьмем комплексное многообразие (комплексной) размерности n с голоморфным векторным расслоением V . Пусть векторные расслоения E и F будут суммами расслоений дифференциальных форм с коэффициентами в V типа (0, i ) с i четным или нечетным, а дифференциальный оператор D будет суммой

${\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}$

ограничено E. ​

Этот вывод теоремы Хирцебруха–Римана–Роха будет более естественным, если мы будем использовать теорему об индексе для эллиптических комплексов, а не для эллиптических операторов. Мы можем принять комплекс за

$0\rightarrow V\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,1}T^{*}(X)\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,2}T^{*}(X)\rightarrow \dotsm$

с дифференциалом, определяемым ${\overline {\partial }}$. Тогда i'- я группа когомологий — это просто когерентная группа когомологий H ^я ( X , V , поэтому аналитический индекс этого комплекса является голоморфной эйлеровой характеристикой V ) :

$\operatorname {index} (D)=\sum _{p}(-1)^{p}\dim H^{p}(X,V)=\chi (X,V)$

Поскольку мы имеем дело с комплексными расслоениями, вычисление топологического индекса упрощается. Используя корни Чженя и выполняя вычисления, аналогичные предыдущему примеру, класс Эйлера имеет вид ${\textstyle e(TX)=\prod _{i}^{n}x_{i}(TX)}$ и

${\begin{aligned}\operatorname {ch} \left(\sum _{j}^{n}(-1)^{j}V\otimes \Lambda ^{j}{\overline {T^{*}X}}\right)&=\operatorname {ch} (V)\prod _{j}^{n}\left(1-e^{x_{j}}\right)(TX)\\\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (TX)\operatorname {Td} \left({\overline {TX}}\right)&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}\prod _{j}^{n}{\frac {-x_{j}}{1-e^{x_{j}}}}(TX)\end{aligned}}$

Применяя теорему об индексе, получаем теорему Хирцебруха-Римана-Роха :

$\chi (X,V)=\int _{X}\operatorname {ch} (V)\operatorname {Td} (TX)$

Фактически мы получаем его обобщение на все комплексные многообразия: доказательство Хирцебруха работало только для проективных комплексных многообразий X .

Теорема

утверждает Теорема о сигнатуре Хирцебруха , что сигнатура компактного ориентированного многообразия X размерности 4 k задается родом L многообразия. Это следует из теоремы об индексе Атьи-Зингера, примененной к следующему сигнатурному оператору .

Расслоения E и F задаются собственными пространствами +1 и −1 оператора на расслоении дифференциальных форм X , который действует на k -формы как $i^{k(k-1)}$ раз звездный оператор Ходжа . Оператор D является лапласианом Ходжа.

$D\equiv \Delta \mathrel {:=} \left(\mathbf {d} +\mathbf {d^{*}} \right)^{2}$

ограничено E , где d Картана — внешняя производная , а d * — ее сопряженная.

Аналитический индекс D — это сигнатура многообразия X , а его топологический индекс — это L-род X , поэтому они равны.

 род и теорема Рохлина

Род Â — это рациональное число, определенное для любого многообразия, но, как правило, не целое число. Борель и Хирцебрух показали, что оно является целым для спиновых многообразий и четным целым числом, если, кроме того, размерность равна 4 по модулю 8. Это можно вывести из теоремы об индексе, из которой следует, что род Â для спиновых многообразий является индексом Дирака. оператор. Дополнительный коэффициент 2 в размерностях 4 по модулю 8 обусловлен тем, что в этом случае ядро ​​и коядро оператора Дирака имеют кватернионную структуру, поэтому, как комплексные векторные пространства, они имеют четные измерения, поэтому индекс четный.

В размерности 4 из этого результата следует теорема Рохлина о том, что сигнатура 4-мерного спинового многообразия делится на 16: это следует из того, что в размерности 4 род Â равен минус одной восьмой сигнатуры.

Методы доказательства

Псевдодифференциальные операторы

Основная статья: псевдодифференциальный оператор

Псевдодифференциальные операторы легко объяснить в случае операторов с постоянными коэффициентами в евклидовом пространстве. В этом случае дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами — это просто преобразования Фурье умножения на многочлены, а псевдодифференциальные операторы с постоянными коэффициентами — это просто преобразования Фурье умножения на более общие функции.

Во многих доказательствах теоремы об индексе используются псевдодифференциальные операторы, а не дифференциальные операторы. Причина этого в том, что для многих целей не хватает дифференциальных операторов. Например, псевдообратный эллиптическому дифференциальному оператору положительного порядка не является дифференциальным оператором, а является псевдодифференциальным оператором. Также существует прямое соответствие между данными, представляющими элементы K(B( X ), S ( X )) (функции сцепления) и символами эллиптических псевдодифференциальных операторов.

Псевдодифференциальные операторы имеют порядок, который может быть любым действительным числом или даже -∞, и имеют символы (которые больше не являются полиномами в кокасательном пространстве), а эллиптические дифференциальные операторы - это те, символы которых обратимы для достаточно больших кокасательных векторов. Большинство версий теоремы об индексе можно расширить от эллиптических дифференциальных операторов до эллиптических псевдодифференциальных операторов.

Кобордизм

Первоначальное доказательство было основано на доказательстве теоремы Хирцебруха-Римана-Роха (1954 г.) и включало теорию кобордизмов и псевдодифференциальные операторы .

Идея этого первого доказательства примерно такова. Рассмотрим кольцо, порожденное парами ( X , V ), где V — гладкое векторное расслоение на компактном гладком ориентированном многообразии X , с соотношениями, что сумма и произведение кольца на этих образующих задаются дизъюнктным объединением и произведением многообразий (с очевидные операции над векторными расслоениями), а любая граница многообразия с векторным расслоением равна 0. Это похоже на кольцо кобордизмов ориентированных многообразий, за исключением того, что многообразия также имеют векторное расслоение. Топологические и аналитические индексы переинтерпретируются как функции от этого кольца к целым числам. Затем проверяется, что эти две функции на самом деле являются кольцевыми гомоморфизмами. Тогда для того, чтобы доказать их одинаковость, необходимо лишь проверить их одинаковость на множестве образующих этого кольца. Теория кобордизмов Тома дает набор генераторов; например, комплексные векторные пространства с тривиальным расслоением вместе с некоторыми расслоениями над четномерными сферами. Таким образом, теорему об индексе можно доказать, проверив ее на этих особенно простых случаях.

К-теория

Первое опубликованное доказательство Атьи и Сингера использовало К-теорию, а не кобордизм. Если i — любое включение компактных многообразий из X в Y , они определили операцию «продвижения вперед» i _! от эллиптических операторов X к эллиптическим операторам Y , сохраняющим индекс. Взяв Y за некоторую сферу, в которую входит X , это сводит теорему об индексе к случаю сфер. Если Y — сфера, а X — некоторая точка, вложенная в Y , то любой эллиптический оператор на Y является образом под i _! некоторого эллиптического оператора в точке. Это сводит теорему об индексе к случаю точки, где она тривиальна.

Уравнение теплопроводности

Атья, Ботт и Патоди ( 1973 ) дали новое доказательство теоремы об индексе с использованием уравнения теплопроводности , см., например, Berline, Getzler & Vergne (1992) . Доказательство также опубликовано в ( Melrose 1993 ) и ( Gilkey 1994 ).

Если D — дифференциальный оператор с присоединенным D* , то D*D и DD* — самосопряженные операторы, ненулевые собственные значения которых имеют одинаковую кратность. Однако их нулевые собственные пространства могут иметь разные кратности, поскольку эти кратности являются размерностями ядер D и D* . Следовательно, индекс D определяется выражением

$\operatorname {index} (D)=\dim \operatorname {Ker} (D^{*})=\operatorname {Tr} \left(e^{-tD^{*}D}\right)-\operatorname {Tr} \left(e^{-tDD^{*}}\right)$

для любого положительного t . Правая часть представляет собой след разности ядер двух операторов теплопроводности. Они имеют асимптотическое разложение для малых положительных t , которое можно использовать для оценки предела, когда t стремится к 0, что дает доказательство теоремы об индексе Атьи – Зингера. Асимптотические разложения для малых t кажутся очень сложными, но теория инвариантов показывает, что между членами существуют огромные сокращения, что позволяет явно найти главные члены. Эти сокращения позже были объяснены с помощью суперсимметрии.

См. также

• (-1)F – термин в квантовой теории поля. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Индекс Виттена – модифицированная функция секционирования

Ссылки

Статьи Атьи переизданы в томах 3 и 4 его собрания сочинений (Атья 1988a , 1988b ).

• Атья, М.Ф. (1970), "Глобальная теория эллиптических операторов", Proc. Межд. Конф. по функциональному анализу и смежным темам (Токио, 1969) , Токийский университет, Zbl   0193.43601
• Атья, М.Ф. (1976), «Эллиптические операторы, дискретные группы и алгебры фон Неймана», Коллоквиум «Анализ и топология» в честь Анри Картана (Орсе, 1974) , Asterisk, vol. 32–33, Соц. Математика. Франция, Париж, с. 43–72, МР   0420729
• Атья, Миссури ; Сигал, ГБ (1968), «Индекс эллиптических операторов: II», Annals of Mathematics , Second Series, 87 (3): 531–545, doi : 10.2307/1970716 , JSTOR   1970716. Это переформулирует результат как своего рода Лефшеца. теорема о неподвижной точке с использованием эквивариантной K-теории.
• Атья, Майкл Ф .; Сингер, Исадор М. (1963), «Индекс эллиптических операторов на компактных многообразиях», Bull. амер. Математика. Соц. , 69 (3): 422–433, doi : 10.1090/S0002-9904-1963-10957-X Анонс теоремы об индексе.
• Атья, Майкл Ф .; Сингер, Исадор М. (1968a), «Индекс эллиптических операторов I», Annals of Mathematics , 87 (3): 484–530, doi : 10.2307/1970715 , JSTOR   1970715. Это дает доказательство с использованием K-теории вместо когомологий. .
• Атья, Майкл Ф .; Сингер, Исадор М. (1968b), «Индекс эллиптических операторов III», Annals of Mathematics , Second Series, 87 (3): 546–604, doi : 10.2307/1970717 , JSTOR   1970717. В этой статье показано, как преобразовать из Версия K-теории к версии, использующей когомологии.
• Атья, Майкл Ф .; Сингер, Исадор М. (1971a), «Индекс эллиптических операторов IV», Annals of Mathematics , Second Series, 93 (1): 119–138, doi : 10.2307/1970756 , JSTOR   1970756. В этой статье изучаются семейства эллиптических операторов, где индекс теперь является элементом K-теории пространства, параметризующего семейство.
• Атья, Майкл Ф .; Сингер, Исадор М. (1971b), «Индекс эллиптических операторов V», Анналы математики , вторая серия, 93 (1): 139–149, doi : 10.2307/1970757 , JSTOR   1970757 . При этом изучаются семейства реальных (а не сложных) эллиптических операторов, когда иногда можно выжать немного дополнительной информации.
• Атья, Миссури ; Ботт, Р. (1966), "Формула Лефшеца с неподвижной точкой для эллиптических дифференциальных операторов", Bull. Являюсь. Математика. Соц. , 72 (2): 245–50, номер документа : 10.1090/S0002-9904-1966-11483-0 . Это формулирует теорему о вычислении числа Лефшеца эндоморфизма эллиптического комплекса.
• Атья, Миссури ; Ботт, Р. (1967), «Формула Лефшеца с фиксированной точкой для эллиптических комплексов: I», Annals of Mathematics , Вторая серия, 86 (2): 374–407, doi : 10.2307/1970694 , JSTOR   1970694 и Атья, МФ; Ботт, Р. (1968), «Формула Лефшеца с фиксированной точкой для эллиптических комплексов: II. Приложения», Annals of Mathematics , Second Series, 88 (3): 451–491, doi : 10.2307/1970721 , JSTOR   1970721. Они дают доказательства и некоторые приложения результатов, анонсированных в предыдущей статье.
• Атья, М .; Ботт, Р .; Патоди В.К. (1973), "Об уравнении теплопроводности и теореме об индексе", Инвент. Математика. , 19 (4): 279–330, Bibcode : 1973InMat..19..279A , doi : 10.1007/BF01425417 , MR   0650828 , S2CID   115700319 . Атья, М.; Ботт, Р.; Патоди, В.К. (1975), «Ошибки», Инвент. Математика. , 28 (3): 277–280, Бибкод : 1975InMat..28..277A , doi : 10.1007/BF01425562 , MR   0650829
• Атья, Майкл ; Шмид, Вильфрид (1977), «Геометрическая конструкция дискретного ряда для полупростых групп Ли», Invent. Математика. , 42 : 1–62, Bibcode : 1977InMat..42....1A , doi : 10.1007/BF01389783 , MR   0463358 , S2CID   189831012 , Атья, Майкл; Шмид, Вильфрид (1979), «Ошибка», Invent. Математика. , 54 (2): 189–192, Бибкод : 1979InMat..54..189A , doi : 10.1007/BF01408936 , MR   0550183
• Атья, Майкл (1988a), Собрание сочинений. Том. 3. Теория индекса: 1 , Oxford Science Publications, Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN.  978-0-19-853277-4 , МР   0951894
• Атья, Майкл (1988b), Собрание сочинений. Том. 4. Теория индекса: 2 , Oxford Science Publications, Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN.  978-0-19-853278-1 , МР   0951895
• Баум, П .; Фултон, В .; Макферсон, Р. (1979), «Риман-Рох для особых многообразий» , Acta Mathematica , 143 : 155–191, doi : 10.1007/BF02684299 , S2CID   83458307 , Zbl   0332.14003
• Берлина, Николь; Гетцлер, Эзра; Вернь, Мишель (1992), Тепловые ядра и операторы Дирака , Берлин: Springer, ISBN  978-3-540-53340-5 Это дает элементарное доказательство теоремы об индексе для оператора Дирака с использованием уравнения теплопроводности и суперсимметрии.
• Бисмут, Жан-Мишель (1984), «Теоремы Атьи – Зингера: вероятностный подход. I. Теорема об индексе», J. Funct. Анальный. , 57 : 56–99, doi : 10.1016/0022-1236(84)90101-0 Висмут доказывает теорему для эллиптических комплексов, используя вероятностные методы, а не методы уравнения теплопроводности.
• Картан-Шварц (1965), Семинар Анри Картана. Теорема Атьи-Зингера об индексе эллиптического дифференциального оператора. 16 год: 1963/64, режиссёры Анри Картан и Лоран Шварц. Фаск. 1; Фаск. 2. (французский) , Высшая нормальная школа, Математический секретариат, Париж, Zbl   0149.41102.
• Конн, А. (1986), «Некоммутативная дифференциальная геометрия» , Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 62 : 257–360, doi : 10.1007/BF02698807 , S2CID   122740195 , Zbl   0592.46056
• Конн, А. (1994), Некоммутативная геометрия , Сан-Диего: Academic Press, ISBN  978-0-12-185860-5 , Збл   0818.46076
• Конн, А .; Московичи, Х. (1990), «Циклические когомологии, гипотеза Новикова и гиперболические группы» (PDF) , Топология , 29 (3): 345–388, doi : 10.1016/0040-9383(90)90003-3 , Zbl   0759.58047
• Конн, А .; Салливан, Д .; Телеман, Н. (1994), «Квазиконформные отображения, операторы в гильбертовом пространстве и локальные формулы для характеристических классов», Топология , 33 (4): 663–681, doi : 10.1016/0040-9383(94)90003-5 , Zbl   0840.57013
• Дональдсон, СК ; Салливан, Д. (1989), «Квазиконформные 4-многообразия», Acta Mathematica , 163 : 181–252, doi : 10.1007/BF02392736 , Zbl   0704.57008
• Гельфанд И. М. (1960), "Об эллиптических уравнениях", Изв. Математика. Выж. , 15 (3): 113–123, Bibcode : 1960RuMaS..15..113G , doi : 10.1070/rm1960v015n03ABEH004094 перепечатано в томе 1 его собрания сочинений, с. 65–75, ISBN   0-387-13619-3 . На стр. 120 Гельфанд предполагает, что индекс эллиптического оператора должен быть выразим через топологические данные.
• Гетцлер, Э. (1983), "Псевдодифференциальные операторы на супермногообразиях и теорема Атьи-Зингера об индексе" , Commun. Математика. Физ. , 92 (2): 163–178, Bibcode : 1983CMaPh..92..163G , doi : 10.1007/BF01210843 , S2CID   55438589
• Гетцлер, Э. (1988), «Краткое доказательство локальной теоремы об индексе Атьи – Зингера», Topology , 25 : 111–117, doi : 10.1016/0040-9383(86)90008-X
• Гилки, Питер Б. (1994), Теория инвариантности, уравнение теплопроводности и теорема Атьи-Зингера , CRC Press, ISBN  978-0-8493-7874-4 Бесплатный онлайн-учебник, доказывающий теорему Атьи – Зингера с помощью уравнения теплопроводности.
• Гамильтон, MJD (2020). «Бозон Хиггса для математиков. Конспект лекций по калибровочной теории и нарушению симметрии». arXiv : 1512.02632 [ math.DG ].
• Каяни, У. (2020). «Динамическое усиление суперсимметрии горизонтов черных дыр». arXiv : 1910.01080 [ геп-й ].
• Хигсон, Найджел; Роу, Джон (2000), Аналитическая K-гомология , Oxford University Press, ISBN  9780191589201
• Хилсум, М. (1999), "Структуры riemaniennes L ^п et K -homologie", Annals of Mathematics , 149 (3): 1007–1022, arXiv : math/9905210 , doi : 10.2307/121079 , JSTOR   121079 , S2CID   119708566
• Каспаров, Г.Г. (1972), "Топологическая инвариантность эллиптических операторов, I: K-гомологии", Матем. Известия СССР (англ. пер.) , 9 (4): 751–792, Бибкод : 1975ИзМат...9..751К , doi : 10.1070/IM1975v009n04ABEH001497
• Кирби, Р .; Зибенманн, LC (1969), "О триангуляции многообразий и Hauptvermutung", Bull. амер. Математика. Соц. , 75 (4): 742–749, номер документа : 10.1090/S0002-9904-1969-12271-8.
• Кирби, Р .; Зибенманн, LC (1977), Основополагающие очерки по топологическим многообразиям, сглаживаниям и триангуляциям , Анналы математических исследований в области математики, том. 88, Принстон: Издательство Принстонского университета и Издательство Токийского университета.
• Лоусон, Х. Блейн ; Майкельсон, Мария-Луиза (1989), Спиновая геометрия , Princeton University Press, ISBN  0-691-08542-0
• Мелроуз, Ричард Б. (1993), Теорема об индексе Атьи-Патоди-Зингера , Уэлсли, Массачусетс: Питерс, ISBN  978-1-56881-002-7 Бесплатный онлайн-учебник.
• Новиков, С.П. (1965), "Топологическая инвариантность рациональных классов Понтрягина" (PDF) , Доклады Академии наук СССР , 163 : 298–300
• Пале, Ричард С. (1965), Семинар по теореме об индексе Атьи – Зингера , Анналы математических исследований, том. 57, SL: Princeton Univ Press, ISBN  978-0-691-08031-4 Здесь описывается оригинальное доказательство теоремы (Атья и Сингер сами никогда не публиковали свое оригинальное доказательство, а лишь его улучшенные версии).
• Шанахан, П. (1978), Теорема об индексе Атьи-Зингера , Конспект лекций по математике, том. 638, Springer, CiteSeerX   10.1.1.193.9222 , номер doi : 10.1007/BFb0068264 , ISBN  978-0-387-08660-6
• Зингер, И.М. (1971), «Будущие расширения теории индекса и эллиптических операторов», Перспективы математики , Анналы математических исследований по математике, том. 70, стр. 171–185.
• Салливан, Д. (1979), «Гиперболическая геометрия и гомеоморфизмы», Дж. Кандрелл, «Геометрическая топология», Proc. Конференция по топологии Джорджии. Афины, Джорджия, 1977 , Нью-Йорк: Academic Press, стр. 543–595, ISBN.  978-0-12-158860-1 , Збл   0478.57007
• Салливан, Д .; Телеман, Н. (1983), «Аналитическое доказательство теоремы Новикова о рациональных классах Понтрягина» , Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 58 , Париж: 291–293, doi : 10.1007/BF02953773 , S2CID   8348213 , Zbl   0531.58045
• Телеман, Н. (1980), «Комбинаторная теория Ходжа и оператор сигнатуры», Inventiones Mathematicae , 61 (3): 227–249, Bibcode : 1980InMat..61..227T , doi : 10.1007/BF01390066 , S2CID   122247909
• Телеман, Н. (1983), «Индекс сигнатурных операторов на липшицевых многообразиях» , Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 58 : 251–290, doi : 10.1007/BF02953772 , S2CID   121497293 , Zbl   0531.5804 4
• Телеман, Н. (1984), «Теорема об индексе топологических многообразий», Acta Mathematica , 153 : 117–152, doi : 10.1007/BF02392376 , Zbl   0547.58036
• Телеман, Н. (1985), «Трансверсальность и теорема об индексе», Интегральные уравнения и теория операторов , 8 (5): 693–719, doi : 10.1007/BF01201710 , S2CID   121137053
• Том, Р. (1956), "Характеристические классы Понтрягина триангулированных многообразий", Symp. Межд. Большой. Алг. Мексика , с. 54–67
• Виттен, Эдвард (1982), «Суперсимметрия и теория Морса», J. Diff. Геом. , 17 (4): 661–692, doi : 10.4310/jdg/1214437492 , MR   0683171
• Шинг-Тунг Яу , изд. (2009) [Впервые опубликовано в 2005 году], Основатели теории индексов (2-е изд.), Сомервилл, Массачусетс: International Press of Boston, ISBN  978-1571461377 - Личные аккаунты Атьи , Ботта , Хирцебруха и Зингера .

Внешние ссылки

Ссылки по теории

• Маццео, Рэйф. «Теорема об индексе Атьи-Зингера: что это такое и почему вас это должно волновать» (PDF) . Архивировано из оригинала 24 июня 2006 года . Проверено 3 января 2006 г. {{cite web}}: CS1 maint: bot: статус исходного URL неизвестен ( ссылка ) Презентация в формате PDF.
• Войцеховский, М.И.; Шубин, М.А. (2001) [1994], «Индексные формулы» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Вассерман, Антоний . «Конспекты лекций по теореме об индексе Атьи – Зингера» . Архивировано из оригинала 29 марта 2017 года.

Ссылки на интервью

• Рауссен, Мартин; Скау, Кристиан (2005), «Интервью с Майклом Атьей и Исадор Сингер» (PDF) , Уведомления AMS , стр. 223–231.
• Р. Р. Сили и другие (1999) Воспоминания о первых днях теории индексов и псевдодифференциальных операторов - частичная стенограмма неформальной беседы после ужина во время симпозиума, состоявшегося в Роскилле, Дания, в сентябре 1998 года.