Подпись оператора

В математике сигнатурный оператор — эллиптический дифференциальный оператор, определенный на некотором подпространстве пространства дифференциальных форм на четномерном компактном римановом многообразии , аналитический индекс которого совпадает с топологической сигнатурой многообразия, если размерность многообразия кратно четырем. ^[1] Это экземпляр оператора типа Дирака.

Определение в четномерном случае

Позволять $M$ — компактное риманово многообразие четной размерности $2l$ . Позволять

d:\Omega ^{p}(M)\rightarrow \Omega ^{p+1}(M)

быть внешней производной на $i$ -го порядка Дифференциальные формы на $M$ . Риманова метрика на $M$ позволяет нам определить звездный оператор Ходжа $\star$ и вместе с ним внутренний продукт

\langle \omega ,\eta \rangle =\int _{M}\omega \wedge \star \eta

на формах. Обозначим через

d^{*}:\Omega ^{p+1}(M)\rightarrow \Omega ^{p}(M)

сопряженный оператор внешнего дифференциала $d$ . Этот оператор можно выразить чисто через звездный оператор Ходжа следующим образом:

d^{*}=(-1)^{2l(p+1)+2l+1}\star d\star =-\star d\star

Теперь рассмотрим $d+d^{*}$ действуя на пространство всех форм $\Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{2l}\Omega ^{p}(M)$ .Один из способов рассматривать его как градуированный оператор заключается в следующем: пусть $\tau$ быть инволюцией в пространстве всех форм, определяемых:

\tau (\omega )=i^{p(p-1)+l}\star \omega \quad ,\quad \omega \in \Omega ^{p}(M)

Подтверждено, что $d+d^{*}$ против поездок на работу с $\tau$ и, следовательно, переключает $(\pm 1)$ - собственные пространства $\Omega _{\pm }(M)$ из $\tau$

Следовательно,

d+d^{*}={\begin{pmatrix}0&D\\D^{*}&0\end{pmatrix}}

Определение: Оператор $d+d^{*}$ с указанной выше оценкой соответственно вышеуказанному оператору $D:\Omega _{+}(M)\rightarrow \Omega _{-}(M)$ называется подписи оператором $M$ . ^[2]

Определение в нечетномерном случае

В нечетномерном случае оператор подписи определяется как $i(d+d^{*})\tau$ актерское мастерство о четномерных формах $M$ .

Теорема о сигнатуре Хирцебруха

Если $l=2k$ , так что размерность $M$ кратно четырем, то теория Ходжа предполагает, что:

\mathrm {index} (D)=\mathrm {sign} (M)

где правая часть — это топологическая сигнатура ( т. е. сигнатура квадратичной формы на $H^{2k}(M)\$ определяется продуктом чашки ).

показать , что : Затем можно использовать подход уравнения теплопроводности к теореме об индексе Атьи-Зингера, чтобы

\mathrm {sign} (M)=\int _{M}L(p_{1},\ldots ,p_{l})

где $L$ – L-полином Хирцебруха , ^[3] и $p_{i}\$ Понтрягин образуется на $M$ . ^[4]

Гомотопическая инвариантность высших индексов

Каминкер и Миллер доказали, что высшие индексы сигнатурного оператора гомотопически инвариантны. ^[5]

См. также

Примечания

Ссылки

Атья, МФ; Ботт, Р. (1967), «Формула Лефшеца с фиксированной точкой для эллиптических комплексов I», Annals of Mathematics , 86 (2): 374–407, doi : 10.2307/1970694 , JSTOR 1970694
Атья, МФ; Ботт, Р.; Патоди, В.К. (1973), «Об уравнении теплопроводности и теореме об индексе», Inventiones Mathematicae , 19 (4): 279–330, Bibcode : 1973InMat..19..279A , doi : 10.1007/bf01425417 , S2CID 115700319
Гилки, П.Б. (1973), «Кривизна и собственные значения лапласиана для эллиптических комплексов», Advance in Mathematics , 10 (3): 344–382, doi : 10.1016/0001-8708(73)90119-9
Хирцебрух, Фридрих (1995), Топологические методы в алгебраической геометрии, 4-е издание , Берлин и Гейдельберг: Springer-Verlag. Стр. 234, ISBN 978-3-540-58663-0
Каминкер, Джером; Миллер, Джон Г. (1985), «Гомотопическая инвариантность аналитического индекса сигнатурных операторов над C *-алгебрами» (PDF) , Журнал теории операторов , 14 : 113–127

[1] Атья и Ботт 1967

[2] Атья и Ботт 1967

[3] Хирцебрух 1995 г.

[4] Гилки 1973 , Атья, Ботт и Патоди 1973

[5] Каминкер и Миллер, 1985 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]