Теорема о сигнатурах Хирцебруха

В дифференциальной топологии , области математики , сигнатурная теорема Хирцебруха (иногда называемая теоремой об индексе Хирцебруха)результат Фридриха Хирцебруха 1954 года, выражающий подпись гладкого замкнутого ориентированного многообразия линейной комбинацией чисел Понтрягина, называемой L-род .Он использовался при доказательстве теоремы Хирцебруха–Римана–Роха .

Формулировка теоремы

L-род - это род мультипликативной последовательности многочленов. связанный с характеристическим степенным рядом

${x \over \tanh(x)}=\sum _{k\geq 0}{{2^{2k}B_{2k} \over (2k)!}x^{2k}}=1+{x^{2} \over 3}-{x^{4} \over 45}+\cdots .$

Первые два из полученных L-полиномов:

• $L_{1}={\tfrac {1}{3}}p_{1}$
• $L_{2}={\tfrac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})$

(подробнее о L -полиномах см. или OEIS : A237111 ).

Взяв за $p_{i}$ классы Понтрягина $p_{i}(M)$ касательного расслоения 4n - мерного гладкого замкнутого ориентированногомногообразии M, получаем L-классы M.Хирцебрух показал, что n-й L-класс M оценивается по фундаментальному классу M, $[M]$, равно $\sigma (M)$, подпись М.(т.е. сигнатура формы пересечения 2 n -й группы когомологий M):

$\sigma (M)=\langle L_{n}(p_{1}(M),\dots ,p_{n}(M)),[M]\rangle .$

Эскиз доказательства сигнатурной теоремы

Рене Том ранее доказал, что подпись задавалась некоторой линейной комбинацией чисел Понтрягина , а Хирцебрух нашел точную формулу для этой линейной комбинации.введением понятия рода мультипликативной последовательности.

Поскольку кольцо рациональных ориентированных кобордизмов $\Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q}$ равно

$\Omega _{*}^{\text{SO}}\otimes \mathbb {Q} =\mathbb {Q} [\mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} ),\mathbb {P} ^{4}(\mathbb {C} ),\ldots ],$

алгебра полиномов, порожденная классами ориентированных кобордизмов $[\mathbb {P} ^{2i}(\mathbb {C} )]$ четномерных комплексных проективных пространств ,достаточно убедиться в этом

$\sigma (\mathbb {P} ^{2i})=1=\langle L_{i}(p_{1}(\mathbb {P} ^{2i}),\ldots ,p_{n}(\mathbb {P} ^{2i})),[\mathbb {P} ^{2i}]\rangle$

для всех я.

Обобщения

Теорема о сигнатурах является частным случаем теоремы об индексе Атьи – Зингера дляоператор подписи .Аналитический индекс сигнатурного оператора равен сигнатуре многообразия, а его топологический индекс — это L-род многообразия.По теореме об индексе Атьи – Зингера они равны.

Источники

• Ф. Хирцебрух, Теорема о сигнатурах. Воспоминания и отдых. Перспективы математики, Анналы математических исследований, Группа 70, 1971, С. 3–31.
• Милнор, Джон В .; Сташефф, Джеймс Д. (1974). Характерные классы . Анналы математических исследований. Издательство Принстонского университета; Издательство Токийского университета. ISBN  0-691-08122-0 .