Теорема Хирцебруха – Римана – Роха.

Теорема Хирцебруха – Римана – Роха.

Поле	Алгебраическая геометрия
Первое доказательство	Фридрих Хирцебрух
Первое доказательство в	1954
Обобщения	Теорема Атьи – Зингера об индексе Теорема Гротендика – Римана – Роха.
Последствия	Теорема Римана – Роха Теорема Римана–Роха для поверхностей

В математике теорема Хирцебруха -Римана-Роха , названная в честь Фридриха Хирцебруха , Бернхарда Римана и Густава Роха , представляет собой результат Хирцебруха 1954 года, обобщающий классическую теорему Римана-Роха о римановых поверхностях на все комплексные алгебраические многообразия более высоких размерностей. Этот результат проложил путь к теореме Гротендика–Хирцебруха–Римана–Роха, доказанной примерно три года спустя.

Формулировка теоремы Хирцебруха–Римана–Роха.

Теорема Хирцебруха-Римана-Роха применяется к любому голоморфному векторному расслоению E на компактном комплексном многообразии X для вычисления характеристики E голоморфной эйлеровой в пучковых когомологиях , а именно знакопеременной суммы

$\chi (X,E)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\dim _{\mathbb {C} }H^{i}(X,E)$

размерностей как комплексные векторные пространства, где n — комплексная размерность X .

Теорема Хирцебруха утверждает, что χ( X , E ) вычислимо в терминах классов Чженя c _k ( E ) из E и классов Тодда $\operatorname {td} _{j}(X)$ голоморфного касательного расслоения к X . они лежат в кольце когомологий X ; Все используя фундаментальный класс (или, другими словами, интегрирование по X ), мы можем получать числа из классов в $H^{2n}(X).$ Формула Хирцебруха утверждает, что

$\chi (X,E)=\sum \operatorname {ch} _{n-j}(E)\operatorname {td} _{j}(X),$

где сумма берется по всем соответствующим j (так что 0 ≤ j ≤ n ), используя характер Черна ch( E ) в когомологиях. Другими словами, произведения образуются в кольце когомологий всех «совпадающих» степеней, сумма которых равна 2 n . В другой формулировке оно дает равенство

$\chi (X,E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {td} (X)$

где $\operatorname {td} (X)$ — класс Тодда касательного расслоения X .

Важными особыми случаями являются случаи, когда E — комплексное линейное расслоение и когда X — алгебраическая поверхность ( формула Нётер ). В его область действия включены теорема Вейля Римана–Роха для векторных расслоений на кривых и теорема Римана–Роха для алгебраических поверхностей (см. ниже). Формула также точным образом выражает смутное представление о том, что классы Тодда в некотором смысле являются обратными типами характера Черна .

Теорема Римана-Роха для кривых

Для кривых теорема Хирцебруха-Римана-Роха по сути является классической теоремой Римана-Роха . Чтобы убедиться в этом, вспомним, что для каждого дивизора D кривой существует обратимый пучок O( D ) (который соответствует линейному расслоению) такой, что линейная система D на является более или менее пространством сечений O( D ) . Для кривых класс Тодда равен $1+c_{1}(T(X))/2,$ а характер Черна пучка O( D ) равен всего лишь 1 + c ₁ (O( D )), поэтому теорема Хирцебруха–Римана–Роха утверждает, что

$h^{0}({\mathcal {O}}(D))-h^{1}({\mathcal {O}}(D))=c_{1}({\mathcal {O}}(D))+c_{1}(T(X))/2\ \ \$ (интегрированный по X ).

Но ч ⁰ (O( D )) — это просто l ( D ), размерность линейной системы D , и по двойственности Серра h ¹ (О( D )) = час ⁰ (O( K - D )) знак равно l ( K - D ) где K канонический делитель . Более того, c ₁ (O( D )) , проинтегрированный по X , является степенью D , а c ₁ ( T ( X )) , проинтегрированный по X , является классом Эйлера 2 − 2 g кривой X , где g - род. Итак, мы получаем классическую теорему Римана-Роха.

$\ell (D)-\ell (K-D)={\text{deg}}(D)+1-g.$

Для векторных расслоений V характер Черна равен Rank( V ) + c ₁ ( V ), поэтому мы получаем теорему Вейля Римана-Роха для векторных расслоений над кривыми:

$h^{0}(V)-h^{1}(V)=c_{1}(V)+\operatorname {rank} (V)(1-g).$

Теорема Римана-Роха для поверхностей

Основная статья: Теорема Римана – Роха для поверхностей

Для поверхностей теорема Хирцебруха–Римана–Роха по сути представляет собой теорему Римана–Роха для поверхностей.

$\chi (D)=\chi ({\mathcal {O}})+((D.D)-(D.K))/2.$

в сочетании с формулой Нётер.

Если мы хотим, мы можем использовать двойственность Серра, чтобы выразить h ² (O( D )) и h ⁰ (O( K − D )), но, в отличие от кривых, вообще говоря, нет простого способа записать h ¹ (O( D )) в форме, не включающей пучковых когомологий (хотя на практике он часто исчезает).

Асимптотика Римана–Роха.

Пусть D — обильный дивизор Картье на неприводимом проективном многообразии X размерности n . Затем

$h^{0}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)={\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).$

В более общем смысле, если ${\mathcal {F}}$ — любой когерентный пучок на X, тогда

$h^{0}\left(X,{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)=\operatorname {rank} ({\mathcal {F}}){\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).$

См. также

• Теорема Гротендика – Римана – Роха - содержит множество вычислений и примеров.
• Полином Гильберта - HRR можно использовать для вычисления полиномов Гильберта.

Ссылки

• Фридрих Хирцебрух , Топологические методы в алгебраической геометрии ISBN   3-540-58663-6

Внешние ссылки

• Теорема Хирцебруха-Римана-Роха